Lista de probleme 974

Fie A = (a[1],a[2],…,a[N]) o permutare a mulțimii {1,2,…,N}.

Permutarea A o numim K-swap dacă prin aplicarea algoritmului de sortare bubble-sort sunt necesare exact K swapuri (interschimbări) pentru ca aceasta să devină permutarea identică.
Reamintim algoritmul bubble-sort:

do {   
    ok = 1;    
    for ( i = 1; i < N; i ++ )      
        if ( a[i] > a[i+1] ){        
             swap(a[i], a[i+1]);   
             ok = 0;   
        }
}while( ok == 0 );          

Pentru N și K dat să se determine numărul de permutări K-swap ale mulțimii {1,2,…,N}.

Victor are la dispoziție multe cuburi din lemn, toate de aceeași dimensiune, fiecare fiind colorat cu una din culorile 0, 1, 2, …, 9. El a inventat un joc sub forma unui algoritm:

• Pasul 0 – Se inițializează variabila X cu zero.
• Pasul 1 – Se aleg la întâmplare un număr de cuburi și se formează cu ele un șir. Cuburile din șir sunt lipite unul de altul.
• Pasul 2 – Dacă toate cuburile din șir au aceeași culoare, atunci se afișează valoarea variabilei X și jocul se oprește. În caz contrar se trece la pasul 3.
• Pasul 3 – Se alege o culoare C și apoi toate cuburile de culoarea C se elimină din șir. Locurile cuburilor eliminate rămân temporar libere.
• Pasul 4 – Orice cub din șir va fi deplasat spre stânga lui, cât timp pozițiile vecine sunt libere. Se mărește X cu 1 la fiecare deplasare cu o poziție. Operațiile de deplasare se încheie când nu se mai pot efectua mutări spre stânga. Apoi se revine la pasul 2.

Se consideră un șir cu cel puțin două elemente reprezentând culorile cuburilor din șir. Se cere să se calculeze valoarea maximă pe care o poate avea X.

Manole este extrem de răcit. Din această cauză a mers la medicul de familie care l-a sfătuit urmeze un tratament cu N pastile, din care trebuie să ia în fiecare zi câte o jumătate. A cumpărat de la farmacie o cutie în care se aflau exact N pastile, fiecare dintre ele având pe suprafață o dungă care marchează jumătatea ei.

Manole începe să își ia tratamentul și constată că poate proceda doar astfel:

• scoate din cutie o pastilă întreagă din care folosește, în ziua respectivă, doar jumătate din ea, iar jumătatea rămasă o pune înapoi în cutie;
• scoate din cutie o jumătate de pastilă, rămasă din una din zilele anterioare, pe care o folosește în ziua respectivă.

Scrieți un program care determină numărul de posibilități în care poate lua toate cele N pastile, procedând după procedeul descris mai sus.

Specificul insulelor din arhipelagul Maldive (Oceanul Indian) este faptul că toate cele N insule ale sale au forma unui triunghi. Localizarea acestor insule folosește coordonatele carteziene ale celor trei vârfuri.

Administrația acestor insule dorește să instaleze un dispozitiv de emisie-recepţie pe apă sau pe o insulă, într-un punct având coordonate numere naturale (xD, yD), ce transmite semnale numai pe direcții orizontale și verticale concomitent, cu următoarele proprietăţi:

• notând cu NRO numărul de insule la care ajunge semnalul pe orizontală și cu NRV numărul de insule la care ajunge semnalul pe verticală, suma NRO + NRV trebuie să fie maximă;
• dacă există mai multe puncte cu proprietatea anterioară, atunci se va alege punctul cel mai mic în ordine lexicografică.

Să se scrie un program care cunoscând numărul de insule N şi coordonatele carteziene ale vârfurilor acestora, determină coordonatele xD și yD cu proprietățile din enunţ.

Dându-se n fracții ireducitibile sortate crescător și un număr k să se determine numărul de subșiruri de exact k elemente în care diferența dintre două fracții consecutive este egală cu 1. De asemenea, prima fracție din subșir trebuie să nu fie supraunitara.

Să se rezolve n inecuații.

Zoli și D’Umbră s-au pierdut într-un labirint cu n x n camere dispuse pe cate n linii și n coloane. D’Umbră se află în camera (1, 1), iar Zoli se află în camera (n, n). Aceștia vor trebui să parcurgă labirintul pentru a se întâlni.

Numerele iajb sunt numerele care pot fi scrise sub forma i * a + j * b. Cunoscând a și b și un număr n, să se determine valorile i și j pentru care se vor forma primele n numere iajb in ordine crescătoare.

Se dă n un număr natural nenul. Să se afle câte soluții are ecuația x1+x2+...+xn=0 în mulțimea {-1,0,1}.

Se consideră algoritmul:

citeşte  k , n;
s = 0;
for (i1 = 1 ; i1 ≤ k ; i1++)
  for (i2 = 1 ; i2 ≤ i1 ; i2++)
    for (i3 = 1 ; i3 ≤ i2 ; i3++)
      ........................................
        for (in = 1 ; in ≤ in-1 ; in++)
          s = s + in;
scrie s;
stop.

Să se scrie un program care implementează algoritmul de mai sus.