Lista de probleme 888

Se dă o matrice cu n linii și m coloane. Pentru k poziții date, se cere să se determine drumul de lungime minimă care pleacă de la poziția i1 și j1 și trece prin toate cele k poziții (nu contează în ce ordine), ajungând în final în poziția i2 si j2.

Fie un șir a = a1, a2, …, aN de numere naturale, nu neapărat distincte, cuprinse între 1 și N. Fie de asemenea două numere naturale x și y. Se definește operația transform(i) astfel: se determină valoarea w = 1 + (x * i + y * ai) mod N, apoi toate elementele egale cu ai din secvența ai, ai+1, …, aN își modifică valoarea în w. După fiecare operație de tip transform se calculează suma elementelor șirului obținut. Să se determine suma maximă care s-a obținut în șirul a efectuând pe rând asupra șirului operațiile transform(1), transform(2), …, transform(N).

Maria este mare amatoare de cumpărături. Ea și-a cumpărat în decursul mai multor zile de la magazinul său preferat N articole de îmbrăcăminte și încălțăminte cu preturile s1, s2, …, sN lei. Iulia, prietena Mariei, observând cumpărăturile, i-a spus:
- Puteai economisi mulți bani. Nu ai văzut promoțiile magazinului? Dacă ai fi cumpărat două produse deodată, cel mai ieftin din cele două l-ai fi cumpărat la jumătate de preț. Iar dacă ai fi cumpărat trei produse deodată, ai fi primit pe cel mai ieftin din cele trei gratuit!
Maria și Iulia s-au decis să afle care ar fi fost suma minimă cheltuită pentru a achiziționa în aceeași ordine cele N produse, dar grupând câte un produs, câte două sau câte trei. Pentru că cele două fete nu se descurcă așa de bine la informatică, ele te roagă să le ajuți să determine care este această sumă minimă.

Există N candidați la alegerile prezidențiale. Fiecare dintre cei N candidați știe exact cu cine va vota. O persoană poate vota o singură altă persoană (se poate vota și pe sine). Scopul tău este să creezi confuzie între candidați. Pentru asta, ai dreptul să le interzici la cel mult K dintre candidați să participe. Atunci când un candidat este eliminat, toți candidații care ar fi votat cu el votează cu persoana cu care ar fi votat candidatul eliminat (deoarece au încredere în decizia sa). Dacă cel eliminat ar fi votat cu sine sau era INDECIS, toți cei care ar fi votat cu el devin INDECIȘI. Pentru fiecare K de la 1 la N, se cere numărul minim de candidați “deciși” pe care îi putem avea dacă am elimina K dintre candidați.

Reședința Larei a fost invadată de șobolani. Putem descrie reședința Lorei ca un arbore cu N noduri având rădăcina în nodul 1. Inițial niciun nod nu este infestat. Diverse evenimente se pot întâmpla pe rând, fiecare eveniment fiind de următoarele patru tipuri:

• 1 X – nodul X devine infestat
• 2 X – Lora vrea să elimine șobolanii din drumul de la nodul 1 la nodul X (inclusiv) folosind ultrasunete în toate nodurile simultan. Dacă se folosesc ultrasunete într-un nod infestat, șobolanii de acolo se împrăștie în toate nodurile vecine unde nu se folosesc ultrasunete, acestea devenind infestate. Nodurile unde se folosesc ultrasunete nu mai sunt infestate. După ce șobolanii au plecat, ultrasunetele se opresc, adică nodurile curățate vor putea fi infestate iar în evenimentele ulterioare.
• 3 X – Lora angajează profesioniști să curețe nodul X și fiii săi. Ca urmare, X și fiii direcți nu mai sunt infestați.
• 4 X – Lora ar vrea să știe numărul total de noduri infestate din subarborele cu rădăcina X.

Ajutați-o pe Lora să scrie un program care prelucrează fiecare eveniment și determină răspunsurile la evenimentele de tip 4.

Se dau m şi n numere naturale nenule. Să se determine două numere naturale a şi b astfel încât c.m.m.d.c.(a+i,b+j)>1 pentru orice i=0,m-1 şi orice j=0,n-1.

O tablă de șah se reprezintă ca o matrice cu n linii și n coloane în care pozițiile libere au valoarea 0, iar pozițiile ocupate de piese sunt marcate prin valoarea 1.

Să se determine numărul maxim de piese pe care le poate lua un pion care pleacă de pe prima linie a tablei și vrea să ajungă pe ultima linie. Pionul poate porni din orice poziție de pe prima linie. Pe prima linie nu se află alte piese.

Pionul aflat în pozitia i,j se poate deplasa astfel:

• în poziția i+1, j dacă este liberă
• în poziția i+1, j-1 dacă este o piesă în această poziție
• în poziția i+1, j+1 dacă este o piesă în această poziție

Se citește un număr natural n. Afișați în ordine lexicografică toate submulțimile mulțimii {1, 2, ..., n} care sunt formate dintr-un număr impar de elemente.

Se dă un şir format din n numere naturale nenule. Aflaţi lungimea maximă a unui subşir al şirului dat, astfel încât oricare două elemente consecutive din subşir să nu fie prime între ele.

Să se calculeze numărul de șiruri crescătoare de lungime n, cu numere de la 1 la m, în care fiecare element apare de cel mult k ori.