Lista de probleme 888

După ce eroii ninja l-au învins pe Nadakhan, de ziua celor dispăruți Zane trebuia să păzească cele n păpuși din muzeu. Între aceste păpuși există m coridoare pe care se poate circula în ambele sensuri. Se garantează faptul că pe cele m coridoare Zane poate ajunge la fiecare dintre cele n păpuși. Skulkiu, având la dispoziție 5 tipuri de obstacole A, B, C, D, E, încearcă să-l oprească pe Zane punând pe fiecare coridor câte 4 obstacole. Zane poate distruge obstacolele de tip A, B, C și D, dar nu poate să distrugă obstacolele de tipul E. Pentru a distruge un obstacol de tipul A arma lui Zane are nevoie de 1 unitate de energie, pentru a distruge un obstacol de tipul B de 2 unități de energie, pentru a distruge un obstacol de tipul C de 3 unități de energie, iar pentru a distruge un obstacol de tipul D de 4 unități de energie. Datorită dispozitivului cu care Skulkiu amplasează obstacolele pe coridor, cele patru obstacole de pe acelaşi coridor au o adâncime din ce în ce mai mare, ceea ce implică faptul că pentru a distruge al doilea obstacol amplasat pe coridor este nevoie de 5 ori mai multă energie decât cea obișnuită, pentru a distruge cel de-al treilea obstacol amplasat pe coridor este nevoie de 25 ori mai multă energie decât cea obișnuită, iar pentru a distruge al patrulea obstacol amplasat pe acelaşi coridor este nevoie de 125 de ori mai multă energie decât cea obișnuită. Indiferent de sensul de parcurgere al coridorului de către Zane pentru a înlătura obstacolele, energia consumată este aceeaşi, aceasta depinzând doar de ordinea în care au fost amplasate obstacolele de către Skulkiu. Zane nu va înlătura obstacolele de pe toate coridoarele ci doar strictul necesar pentru a avea acces la fiecare păpușă. Zane dorește să-i lase pe ceilalți ninja să se antreneze așa că face în așa fel încât ajutorul pentru distrugerea obstacolelor de tip E să fie minim și apoi ca el să utilizeze un număr minim de unități de energie. Pentru coridoarele pe care se află obstacole de tip E Zane consumă energie doar pentru obstacolele de tip A, B, C şi D. Inițial Zane se află lângă păpușa 1.

Cerințe:

1. Precizați la câte dintre cele n păpuși poate ajunge Zane înainte de a cere ajutorul celorlalți ninja.
2. Precizați pentru eliberarea câtor coridoare trebuie să ceară ajutor extern pentru a reuși să ajungă la toate cele n păpuși și câte obstacole de tip E sunt în total pe aceste coridoare.
3. Precizați care este numărul minim de unități de energie utilizate.

Spunem că trei numere a b c sunt în progresie armonică dacă b este media armonică a numerelor a și a, adică
\( b = \frac{2}{\frac{1}{a} + \frac{1}{c}} = \frac{2 \cdot a \cdot c} {a + c} \)

Cunoscând un număr natural b să se determine toate perechile de numere naturale (a,c) pentru care a b c sunt în progresie armonică.

Gigel vrea să confecţioneze un ornament pentru pomul de iarnă format din pătrăţele frumos colorate. Pătrăţelele pot arăta ca în desenul alăturat. Se observă faptul că ele pot avea 4 culori diferite pe cele 4 laturi, 3, 2 sau chiar o singură culoare pe toate cele 4 laturi ale pătrăţelului.

Gigel are la dispoziţie n (n pătrat perfect) pătrăţele egale de acest tip cu laturile colorate doar în patru culori (alb, roşu, galben, albastru). Le vom numerota simplu de la 1 la 4.

Să se scrie un program care primeşte o listă de n pătrăţele colorate şi determină o aranjare a lor sub forma de pătrat de forma k•k (k•k = n) astfel încât două laturi adiacente să aibă aceeaşi culoare, precum şi numărul de astfel de aranjări.

Vasile este un tânăr programator angajat recent la o firma oarecare din domenul IT. Deoarece câştigă foarte bine el şi-a achiziţionat un teren de formă dreptunghiulară. Colţurile dreptunghiului care definesc acest teren au coordonatele (0,0), (N,M), unde N şi M sunt numere naturale.

Pe acest teren Vasile doreşte să construiască în primul rând o piscină de arie maximă, de formă dreptunghiulară, cu laturile respectiv paralele cu cele ale terenului.

Deşi credea că şi-a îndeplinit visul, Vasile şi-a dat seama că în viaţă nimic nu este atât de uşor deoarece au apărut două restricţii pe care el trebuie să le respecte:

• Deoarece alimentarea cu apă se poate face doar în colţurile dreptunghiului care reprezintă terenul, piscina trebuie să aibă un punct comun cu unul dintre punctele (0,0),(0,M),(N,0) sau (N,M).
• Pe teren se află P pomi la coordonate întregi cunoscute. Aceştia nu pot face parte din dreptunghiul ce defineşte piscina. Iar Vasile nici nu se gândeşte să taie vreun copac pentru că îi place aerul curat. Copacii se pot afla însă pe marginea piscinei.

Scrieţi un program care determină aria maximă pe care o poate avea piscina respectând restricţiile din enunţ.

În clasa lui Andrei sunt n elevi, codificaţi cu numerele 1, 2, …, n. Ei au fost rugaţi de către diriginta lor să propună un coleg de clasă care să devină liderul lor. Fiecare elev şi-a exprimat opţiunea scriind pe un bileţel codul său şi codul elevului ales de el pentru funcţia de şef de clasă. În acest fel diriginta a putut afla pe cine a votat fiecare elev. După studierea propunerilor venite din partea elevilor săi, diriginta lui Andrei a dorit să determine un grup cât mai numeros de elevi care s-au votat unii pe alţii. Cu alte cuvinte, pentru fiecare elev din grup să existe un membru al grupului care să-l fi votat.

Scrieţi un program care, pe baza voturilor elevilor clasei, să determine un grup cu un număr maxim de elevi pentru care voturile primite de ei provin de la elevi aparţinând aceluiaşi grup.

La un dineu participă reprezentanţii mai multor state. Fiecare reprezentant cunoaşte un număr de limbi străine. Doi reprezentanţi vor putea discuta direct dacă există cel puţin o limbă pe care o înţeleg amândoi. Organizatorii dineului doresc să existe cel puţin o masă la care să nu fie nevoie de translator, astfel oricare două persoane care stau la această masă să se înţeleagă direct.

Cunoscând N – numărul de reprezentanţi, identificăm fiecare reprezentant cu un număr natural cuprins între 1 şi N, L – numărul limbilor străine care se vorbesc la dineu (acestea sunt codificate prin numerele naturale de la 1 la L), numărul de limbi vorbite de fiecare reprezentant şi codurile acestora să se determine numărul maxim de persoane care pot sta la o masa fără translator.

Se dau N segmente în plan, fiecare fiind paralel cu una dintre axele de coordonate. Determinați numărul total de puncte de intersecție între două segmente.

Se dă un șir de numere asupra căruia se pot face două tipuri de operații: actualizare a unui element (schimbarea valorii sale) și interogarea unui interval de indici (determinarea celui mai mare divizor comun pentru valorile aflate între cei doi indici, inclusiv).

Se dă un șir de numere asupra căruia se pot face două tipuri de operații: actualizare a unui element (schimbarea valorii sale) și determinarea, urmată de ștergerea, elementului minim. Dacă valoarea minimă apare de mai multe ori în șir, se elimină prima sa apariție. Se consideră că elementele aflate în dreapta celui eliminat se deplasează o poziție la stânga (acoperă golul lăsat).

Se dă un șir de matrice pătratice asupra căruia se pot face două tipuri de operații: actualizare a unui element (se înlocuiește matricea de pe acea poziție cu alta) și interogarea unui interval de indici (determinarea produsului matricelor memorate între cei doi indici, inclusiv).