Lista de probleme 888

Programatoarea Petra a început un curs de criptografie. Fiind un spirit creativ, Petra a creat deja o metodă elaborată de criptare a unei parole sub forma unei perechi (tabel de litere aparţinând mulţimii {‘a’...’z’}, dicţionar de cuvinte). Din păcate pentru Petra, metoda ei de criptare a parolei, poate fi decriptată de oricine astfel:

• se iau tabelul de litere şi dicţionarul de cuvinte permise
• se listează, sortează şi numără toate cuvintele care se găsesc în tabel. Un cuvânt \(c_1c_2…c_k\) care există în dicţionar există şi în tabel dacă fiecare literă \(c_i\) apare în tabel şi pentru i>1, \(c_i\) este vecină în tabel cu litera \(c_{i-1}\).
• din lista sortata de T perechi (\(cuvânt_i\), \(a_i\)), unde \(cuvânt_i\) este un cuvânt iar \(a_i\) este numărul de apariţii în tabel, reconstituie litera \(p_i\) a parolei astfel: \(p_i =\) ‘a’ + ( \(a_i\) mod 26). Încercând să îmbunătăţească algoritmul, Petra a decis să înlocuiască unele litere din tabel cu semnul întrebării '?'. Un semn '?' poate fi înlocuit cu orice literă când se parcurge tabelul. Convinge-o pe Petra că, în ciuda îmbunătăţirii, îi poţi găsi parola pornind de la orice pereche de (dicţionar, tabel de litere) dată.

În țara Zoomba trăiesc K prieteni, fiecare în localități diferite. În această țară se găsesc N orașe, oricare două fiind legate prin cel mult o șosea bidirecțională. Deoarece nu s-au mai întâlnit de mult, cei K prieteni s-au hotărât să se reîntâlnească într-un oraș. Fiecare are câte o mașină cu număr nelimitat de locuri. Pentru a trece de la un oraș la altul, o mașină consumă 1 litru de benzină.

Știind că odată ce au ajuns în același oraș 2 sau mai mulți prieteni, aceștia iși pot continua drumul cu o singură mașină, să se determine consumul minim de benzină pentru ca aceștia să ajungă în orașul Z.

Alex s-a decis să organizeze pentru colegii lui un concurs de orientare turistică, pe care l-a intitulat “Treasure Hunt”, nu pentru că ar fi avut ceva bogății de ascuns, ci pentru a-i face curioși și a-i mobiliza să mai lase puțin joaca pe calculator și să facă mișcare în aer liber. Pentru aceasta el a cercetat terenul pe care s-a decis să organizeze acest concurs și a identificat n puncte posibile de amplasare a posturilor de control, prin care concurenții să treacă obligatoriu și de unde să primească indicii referitoare la următorul punct. Bineînțeles că în punctele de control există și “comori” ascunse, care au asociate anumite punctaje, de valori cunoscute. A notat pe o hartă coordonatele (x,y) ale acestor puncte, în ordinea necesară parcurgerii lor, dar și altitudinea la care se
află acestea și punctajul p atribuit “comorii” din acel punct. Problema a apărut mai târziu, atunci când Alex s-a decis să nu lase un concurent să se oprească în toate punctele, pentru că atunci colegii lui ar găsi un motiv să mai tragă de timp pentru a se odihni și concursul ar dura prea mult. Așa că a stabilit să permită maxim M opriri din cele N puncte, cu condiția ca între două opriri succesive distanța de pe traseu să nu fie mai mică decât o valoare impusă, d, stabilită de Alex printr-o metodă proprie. Trecerea prin toate punctele este obligatorie, așa că distanța se calculează ca suma distanțelor dintre puncte. Curios din fire, Alex vrea să știe:

• Care este efortul total pentru parcurgerea întregului traseu și care este distanța maximă între două puncte de pe traseu. Efortul trebuie calculat după o formulă pe care tot Alex a stabilit-o ca suma eforturilor de pe fiecare tronson în parte, definit astfel
  \( e =
  \begin{cases}
  𝑑 + 𝑑 ∗ ∆ℎ/10 & \text {, 𝑑𝑎𝑐a 𝑢𝑟𝑐a} \\
  𝑑 + 𝑑 ∗\frac{|∆ℎ|}{5∗10} & \text{, 𝑑𝑎𝑐a 𝑐𝑜𝑏𝑜𝑎𝑟a} \\
  \end{cases} \), unde ∆ℎ este diferența de altitudine dintre două puncte consecutive de pe traseu, chiar dacă în acestea concurentul nu se oprește.
• Care este punctajul maxim pe care îl poate obține un concurent, și care ar trebui să fie punctele de control în care să se oprească pentru a le obține. Din păcate Alex nu e prea bun la informatică, așa ca vă roagă pe voi să-l ajutați.

Este ziua unicornului Corn şi prietenii lui vor să-i pregătească o surpriză, un mare turn de clătite! Totul trebuie să fie perfect, și toată lumea știe că cel mai frumos turn are formă de corn (clătitele sunt așezate în ordine strict descrescătoare după rază). Ei pregătesc clătite de diferite mărimi și le așază una peste alta. Fiecare clătită are o anumită valoare nutritivă. După ce termină de gătit, aceștia vor să creeze un turn de clătite in formă de corn pentru prietenul lor Corn. Astfel, unicornii pot alege să mânance oricâte clătite vor, clătitele rămase păstrându-și ordinea inițială. Clătitele care rămân în farfurie (pastrând ordinea inițială) trebuie să aibă formă de corn (strict descrescător după rază). Deoarece Corn adoră clătitele, ei vor ca turnul Corn format din clătitele rămase după ce aceștia mănâncă să aibă cea mai mare valoare nutritivă (suma valorilor nutritive ale clătitelor rămase).

Scrieți un program care citeşte o valoare naturală impară pentru n şi apoi generează şi afişează în ordine crescătoare lexicografic toate combinaţiile formate din n litere mici care îndeplinesc următoarele proprietăţi:

- încep şi se termină cu a;
- oricare două litere alăturate dintr-o combinaţie sunt consecutive în alfabet.

Un program citeşte o valoare naturală nenulă impară pentru n şi apoi generează şi afişează în ordine crescătoare lexicografic toate combinaţiile formate din n cifre care îndeplinesc următoarele proprietăţi:

- încep şi se termină cu 0;
- modulul diferenţei între oricare două cifre alăturate dintr-o combinaţie este 1.

La un concurs au participat N elevi, fiecare având punctaj un număr natural. Comisia dorește să găsească un subșir de sumă maximă, punând următoarea condiție: pentru fiecare elev există o limită atât la stânga left [] cât și la dreapta right [] în care nu se mai poate alege un alt elev. Cu alte cuvinte, dacă am selectat punctajul elevului i pentru subșir, nu mai putem selecta un elev din intervalul [ i­-left[i] , i+right[i] ].

Ajutați comisia să găsească subșirul de sumă maximă.

Se dă un vector cu N elemente numere naturale numerotate de la 1 la N și M operații de forma:

• 1 x y, cu semnificația: elementul de poziția x ia valoarea valoarea y.
• 2 x y: se determină valoarea minimă a elementelor cu indici cuprinși între x și y.

Afișați rezultatele operațiilor de tipul 2.

Regele Leonidas trebuie să-și aleagă o armată de 300 de spartani. Surprins de mulțimea mare de voluntari care vor să-l urmeze în viitoarea luptă de la Termopile, regele are nevoie să facă o selecție a războinicilor. Astfel, el a decis să le dea următoarea problemă:

Se dă un arbore cu N noduri (etichetate cu numere consecutive începând de la 1) cu rădăcina în nodul 1, în care fiecare muchie are asociat un cost. Se definește un lanț în jos în arbore ca fiind orice lanț simplu ce unește un nod A cu alt nod B din subarborele lui A. Cu alte cuvinte, un lanț în jos este un lanț de la A la B în care A este strămoș al lui B. Definim costul unui lanț în jos ca fiind suma costurilor muchiilor din care este format lanțul.

Numim acoperire a unui arbore o partiționare a muchiilor în lanțuri disjuncte, a căror reuniune este arborele inițial. Regele Leonidas dorește să acopere întreg arborele cu lanțuri în jos, însa are un număr limitat de lanțuri, notat în continuare cu S.

Se cere să se determine cel mai mic număr K pentru care să existe o partiționare completă a arborelui cu maxim S lanțuri astfel încât costul fiecărui lanț să fie cel mult K. Dacă nu există un astfel de număr K, să se afișeze -1.

Pentru că și tu vrei să lupți alături de Leonidas pentru libertatea Spartei, trebuie să rezolvi această problemă ca să-ți asiguri un loc în primii 300 de spartani. Leonidas este un rege înțelept. Ca să se asigure că nu vor exista Spartani care vor încerca să ghicească rezultatul, el vă cere să răspundeți la T astfel de probleme.

Marele inginer NN, a fost numit inspector general al barajelor. În prima zi de lucru el primește un sector dintr-un baraj de lângă un lac de acumulare care conține stricăciuni și are misiunea de a realiza un plan de reparații. În plus, costurile reparațiilor trebuie să fie minime. Sectorul din baraj poate fi reprezentat ca o matrice binară de NxN. El a observat că liniile l1, l2 …, lk și coloanele c1,c2, …, cl sunt singurele care au stricăciuni. Pentru a le repara el trebuie să înlocuiască unele elemente din matrice astfel încât liniile și coloanele stricate să devină palindrom.

Ajutați-l pe NN să găsească numărul minim de înlocuiri și să dovedească că e maestru în baraje de toate felurile.