Lista de probleme 888

În țara lui Oblio toate lucrurile sunt sub formă de triunghi. Chiar și fotografiile sunt sub formă de triunghi. Fotografiile sunt formate din pixeli, care evident, la rîndul lor sunt triunghiuri ca în figura de mai jos.

Fotografiile sunt alb negru și fiecare pixel este identificat prin rândul pe care se găsește și prin poziție, adică al câtelea triunghi este în rândul respectiv numărând de la 1, d­e la stânga la dreapta. Fiecare pixel are culoarea alb sau negru. Fiecare pixel are dimensiunea 1, dar mai mulți pixeli vecini pot forma triunghiuri cu vârful în sus cu laturi de diferite lungimi. În figura din dreapta avem 3 triunghiuri de dimensiune 1 (rândul 2 poziția 1, rândul 3 poziția 1, rândul 3 poziția 3) și un triunghi de dimensiune 2 (cu colțurile: în rândul 2 poziția 1, rândul 3 poziția 1 și rândul 3 poziția 3).

Se știe că în fotografie sunt n rânduri și m pixeli albi, fiecare pixel fiind identificat prin rând și poziție.

Se cere să se determine, pentru p lungimi de laturi date, câte triunghiuri de culoare neagră (adică pline numai cu pixeli de culoare neagră) și cu vârful în sus se găsesc în fotografie pentru fiecare lungime.

Se consideră un șir de numere naturale a[1], a[2], …, a[n] așezate circular. Acest lucru înseamnă că a[1] are ca vecini numerele a[n] și a[2], iar a[n] are ca vecini pe a[n-1] și a[1]. Se consideră de asemenea un număr natural K.

Să se determine suma maximă care se poate obține din exact K secvențe nevide, disjuncte și ne-vecine.

Ludwig are o permutare p=(p[1],p[2],...,p[N]) a mulțimii {1,2,..,N} și o masă pe care putea așeza numerele din permutare. Ludwig ia primul număr din permutare, adică p[1], și îl așează pe masă. Al doilea număr, p[2], îl pune fie în stânga lui p[1], fie în dreapta lui p[1]. La fiecare pas, dacă s-au așezat pe masă deja numerele p[1], p[2], …, p[i], atunci numărul p[i+1] este pus fie în stânga numerelor deja așezate, fie în dreapta lor.

Ajutați-l pe Ludwig să determine o modalitate de așezare a întregii permutări pe masă astfel încât în final să se obțină o nouă permutare care are un număr minim de inversiuni.

Pe șoseaua care duce spre intrarea în oraș se află n autovehicule, dintre care m
sunt autovehicule de gabarit redus, pe care le vom numi în continuare autoturisme, iar restul sunt de gabarit mare și le vom numi camioane. Orașul are o șosea ocolitoare, numită popular centură. Camioanele trebuie să ocolească orașul
trecând în mod obligatoriu pe drumul de centură. Autoturismele pot continua drumul pe șoseaua care intră în oraș sau pot ocoli orașul intrând pe șoseaua de centură. Pe centură, camioanele circulă cu viteză redusă îngreunând traficul.

De aceea s-a impus restricția R: nu vor fi admise pe drumul de centură coloane formate din mai mult decât k camioane consecutive.

Cunoscând n, k și distribuția autovehiculelor pe șosea, să se determine două numere naturale V și T, unde V reprezintă numărul de variante de dirijare a traficului astfel încât să fie respectată restricția R, iar T reprezintă numărul minim de autoturisme care trebuie să fie deviate pe drumul de centură pentru a se respecta aceeași restricție R.

Se consideră o rețea formată din n servere, numerotate de la 1 la n. În rețea există m perechi de servere x y cunoscute între care există legături de comunicație directe. Între oricare două servere din rețea există legături, fie directe, fie prin intermediul altor servere.

Stabiliți pentru fiecare dintre cele n servere dacă eliminarea sa din rețea conduce la pierderea legăturii dintre cel puțin două servere rămase.

O matrice pătratică de dimensiuni N x N cu liniile și coloanele indexate de la 1 la N se numește matrice șmecheră de Calafat dacă pe fiecare linie și fiecare coloană există exact două valori de 1, restul elementelor fiind 0.

Având două matrice șmechere de Calafat notate cu A și B, se cere ca prin interschimbări de linii și coloane să se transforme matricea B în matricea A.

Se dă un șir format din N numere naturale. Pentru fiecare valoare distinctă dintr-o subsecvență cuprinsă între doi indici st si dr considerăm distanța dintre indicii primei și ultimei apariții ale acesteia în cadrul subsecvenței. Dându-se M subsecvențe de forma [st,dr], se cere să se calculeze suma distanțelor corespunzătoare tuturor valorilor distincte din subsecvență.

Se dă un arbore (graf conex aciclic) cu N noduri. Vrem să eliminăm noduri (împreună cu muchiile adiacente) din arborele dat, astfel încât numărul de componente conexe ale grafului rămas să fie maxim. Aflați care este numărul maxim de componente conexe pe care le putem obține și câte submulțimi distincte de noduri se pot elimina din arbore astfel încât să rămână la final acest număr maxim de componente conexe.

Orașul Kruskal are n intersecții unite prin m străzi bidirecționale. Datorită ninsorii de peste noapte, străzile sunt acoperite cu zăpadă. Administratorul orașului, Gigel, a determinat cu mari eforturi pentru fiecare stradă costul deszăpezirii ei și acum dorește deszăpezirea unor străzi astfel încât costul total al deszăpezirii lor să fie minim, și să se poată circula între oricare două intersecții pe străzi deszăpezite.

Maleficul Costel îl forțează pe Gigel să deszăpezească numite străzi, din motive doar de el știute. Ajutați-l pe Gigel să determine costul minim pentru deszăpezirea orașului, astfel încât să fie deszăpezite străzile dorite de Costel și să se poată circula între oricare două intersecții pe străzi deszăpezite.

Se consideră o matrice cu un număr infinit de linii și coloane indexate începând cu 0.
Pe prima linie matricea conține șirul numerelor naturale (0, 1, 2, 3 …).
Pe fiecare linie începând cu linia a doua pe poziția j matricea conține suma xor a elementelor situate pe linia anterioara de la poziția 0 până la poziția j.

Se cere să se răspundă la q întrebări de forma “Pentru i și j date, să se determine numărul situat pe linia i coloana j a matricei”. Pentru a genera cele q întrebări vor fi cunoscute următoarele valori: \( i_1, j_1, a, b, m \).
\( i_1, j_1\) reprezintă valorile pentru prima întrebare. Următoarele întrebări \( i_k, j_k \) vor fi generate una din alta folosind următoarea regulă:

\( {i}_{k} = \left (a* {i}_{k-1} +b \right) \text{ mod } m \)
\( {j}_{k} = \left (a* {j}_{k-1} +b \right) \text{ mod } m \)