Lista de probleme 1987

Filtrare

Lui Gigel, elev în clasa a V-a, îi place grozav de tare să se joace cu cifrele, cu numerele şi creează tot felul de probleme pe care apoi încearcă să le rezolve. Acum se joacă cu o cutie de chibrituri şi formează cu ele cifre. Apoi privirea i-a căzut pe cadranul unui ceas electronic şi a văzut că cifrele sunt formate din segmente orizontale şi verticale şi a început să formeze cu chibriturile cifrele care indică ora (vezi figura). Şi imediat şi-a pus o întrebare: “oare dacă am n chibrituri puse vertical şi m chibrituri puse orizontal, care este ora minimă pe care o pot forma cu aceste chibrituri?”

Fiind date un număr n de chibrituri verticale şi un număr m de chibrituri orizontale, să se scrie un program care determină numărul de ore posibile, ora minimă şi ora maximă care se pot forma cu aceste chibrituri, în modul indicat mai sus, utilizând toate chibriturile respective şi nemodificând orientarea acestora.

#1051 Bete1

Ana şi Bogdan au găsit la bunicul lor o cutie cu N beţe de aceeaşi lungime. După câteva minute de joacă urmează cearta. Bunicul le-a propus să rupă cele N beţe și apoi Ana să primească fragmentele din mâna stângă, iar Bogdan fragmentele din mâna dreaptă. Zis şi făcut. Copiii au luat fragmentele, le-au numerotat fiecare cu numere de la 1 la N, le-au măsurat şi acum îşi doresc să lipească fragmentele primite, dar mai au nevoie de câteva informaţii.

Cunoscând N numărul de beţe, a1, a2,…, aN lungimile fragmentelor primite de Ana şi b1, b2,…, bN lungimile fragmentelor primite de Bogdan, să se scrie un program care să determine:

a) lungimea iniţială a beţelor;
b) lungimea celui mai lung băţ care se poate obţine prin lipirea unui fragment aparţinând Anei cu un fragment care aparţine lui Bogdan;
c) numărul beţelor de lungime maximă care se pot obţine prin lipirea unui fragment aparţinând Anei cu un fragment care aparţine lui Bogdan.

#1050 TCIF

Avem la dispoziţie patru numere naturale N, A, B, C, precum şi trei cifre c1, c2, c3 distincte două câte două.

Să se determine numărul natural minim, strict mai mare decât N, care are exact A cifre c1, B cifre c2, C cifre c3 şi nu conţine alte cifre.

#1049 Arrows

“Arrows” este un joc care se joacă pe o tablă dreptunghiulară a cărei suprafaţă este împărţită în NxM celule, aranjate pe N linii şi M coloane. În fiecare celulă se află o săgeată (sus, jos, stânga sau dreapta), ca în figura de mai jos:

Când este la mutare, un jucător poate alege o poziţie de start pe care plasează un jeton, apoi deplasează jetonul la celula învecinată în sensul indicat de săgeată. Deplasarea continuă până când jetonul părăseşte tabla de joc, caz în care jucătorul obţine un punctaj egal cu numărul de celule parcurse de jetonul său.

Există însă poziţii de start denumite favorabile, pentru care jetonul nu va părăsi niciodată tabla de joc. De exemplu, toate poziţiile din figură cu fundal gri sunt favorabile. Jucătorul care alege o poziţie de start favorabilă obţine un punctaj egal cu numărul de celule distincte vizitate înmulţit cu 1000.

Scrieţi un program care, cunoscând configuraţia tablei de joc, rezolvă una dintre următoarele cerinţe:

1. determină punctajul pe care îl obţine un jucător care plasează jetonul său pe o poziţie de start specificată;
2. determină numărul de celule favorabile de pe tabla de joc;
3. determină punctajul maxim pe care jucătorul îl poate obţine la o mutare, alegând convenabil poziţia de start.

#1048 Schi

La proba de sărituri cu schiurile din cadrul jocurilor olimpice de iarnă participă N concurenți, numerotați cu numere de la 1 la N.

Regulile de desfășurare a probei sunt următoarele:

  • concurenții evoluează pe rând, în ordine de la 1 la N;
  • fiecare concurent va efectua o singură săritură;
  • după efectuarea săriturii fiecare concurent primește un anumit punctaj;
  • pe tot parcursul concursului, comisia de arbitri are obligația să alcătuiască o listă cu punctajele obținute de concurenți, în ordinea evoluției lor;
  • evoluția unui concurent durează exact un minut;
  • nu se face pauză între evoluțiile a doi concurenți care au numere de ordine consecutive;
  • afișarea punctajului nu necesită timp suplimentar după efectuarea săriturii;
  • proba se încheie la un minut după evoluția ultimului concurent.

Pe tot parcursul concursului se ține în mod neoficial și un clasament parțial, pe baza rezultatelor obținute de concurenții care au evoluat până în acel moment. Asta pentru că șeful comisiei de arbitri are o curiozitate aparte și pune K întrebări sub forma următoare: Câte minute s-a ocupat primul loc din clasament cu un punctaj egal cu X puncte? Dacă nici un concurent nu s-a clasat pe primul loc cu X puncte atunci primește ca răspuns valoarea 0.

Scrieți un program care determină răspunsul pentru fiecare dintre cele K întrebări puse de șeful comisiei de arbitri.

#1046 Munte

Se consideră un şir x1, x2,…, xn format din n numere naturale distincte. O secvenţă de număr maxim de elemente vecine în şir, de forma xi, xi+1,…, xk-1, xk, xk+1,…, xj (1≤i<k<j≤n) cu proprietatea că xi < xi+1 < ...< xk-1 < xk > xk+1 > ... > xj, se numeşte munte cu vârful xk. Două secvenţe munte au maxim un element comun în şir. O secvenţă munte are cel puţin 3 elemente. Un exemplu de şir format cu valorile 3 4 6 8 nu conţine nicio secvenţă munte, iar unul format cu valorile 3 4 8 1 2 5 0 conţine 2 secvenţe munte: 3 4 8 1 şi 1 2 5 0.

După determinarea tuturor secvenţelor munte şi a vârfurilor acestora, se elimină din şir vârfurile secvenţelor munte şi procedura continuă repetat cu determinarea noilor secvenţe munte şi a vârfurilor lor din şirul nou obţinut. Procedura se opreşte în momentul în care în şir nu mai există nicio secvenţă munte.

Scrieţi un program care citeşte numerele n, x1, x2, …, xn şi apoi determină:

a) numărul de secvenţe munte din şirul iniţial;
b) numărul total de secvenţe munte obţinute pornind de la şirul iniţial până la cel care nu mai conţine nicio secvenţă munte;
c) numărul de elemente din şirul final care nu mai conţine secvenţe munte.

Cif-Oji6 este o imprimantă matriceală numită şi imprimantă cu ace, deoarece tipărirea se realizează prin impactul acelor capului de imprimare pe o bandă cu tuş.
Acele sunt aranjate într-o grilă dreptunghiulară formată din 5 rânduri de ace, pe fiecare rând aflându-se la distanţe egale câte 3 ace, aşa cum se observă în figura alăturată.
Prin acţionarea diferitelor combinaţii de ace din grilă, se defineşte forma fiecărei cifre ce permite tipărirea acesteia prin puncte, în felul următor:

De exemplu, cifra 2 va fi tipărită prin 11 puncte ca rezultat al acţionării a 11 ace din grilă: din primul rând de ace al grilei se vor acţiona toate cele 3 ace, din următorul rând doar acul din dreapta, apoi de pe următorul rând toate cele 3 ace, apoi acul din stânga de pe penultimul rând iar din ultimul rând toate cele 3 ace.

a) Ştiind că imprimanta Cif-Oji6 a tipărit numărul N, determinaţi care este cea mai mare cifră a numărul N pentru care s-a acţionat un număr minim de ace ale grilei.
b) Ştiind că imprimanta mai are tuş pe bandă doar pentru imprimarea a K puncte, determinaţi cel mai mare număr natural ce poate fi tipărit prin exact K puncte.

OJI 2014, Clasa a VI-a

Fascinat de Egiptul Antic, Rareș vrea să construiască cât mai multe piramide din cartonașe pătratice identice. El are la dispoziție N cartonașe numerotate de la 1 la N, albe sau gri, așezate în ordinea strict crescătoare a numerelor.

  • Prima piramidă o va construi folosind primele trei cartonașe. Baza piramidei va fi formată din cartonașele 1 și 2 așezate alăturat, peste care va așeza cartonașul 3 (vârful piramidei).
  • A doua piramidă va avea baza formată din cartonașele 4, 5 și 6 așezate alăturat, deasupra cărora se vor așeza cartonașele 7 și 8, alăturate, peste care se va așeza cartonașul 9 (vârful piramidei).
  • Mai departe, va construi în ordine piramidele complete cu bazele formate din 4 cartonașe (cu numerele de la 10 la 13), respectiv 5 cartonașe (cu numerele de la 20 la 24), 6 cartonașe (cu numerele de la 35 la 40) etc., cât timp va putea construi o piramidă completă. De exemplu, dacă Rareș are N=75 cartonașe atunci el va construi piramidele complete 1, 2, 3, 4 și 5 din imaginile următoare. Din cele 75 de cartonașe el va folosi doar primele 55 de cartonașe, deoarece ultimele 20 cartonașe nu sunt suficiente pentru a construi piramida 6, cu baza formată din 7 cartonașe.

Scrieţi un program care să citească numerele naturale N (reprezentând numărul de cartonașe), X (reprezentând numărul unui cartonaș), K (reprezentând numărul de cartonașe albe), numerele celor K cartonașe albe c1, c2, …, cK și care să determine:

a) numărul P al piramidei complete ce conține cartonașul numerotat cu X;
b) numărul M maxim de piramide complete construite de Rareș;
c) numărul C de cartonașe nefolosite;
d) numărul A al primei piramide complete care conține cele mai multe cartonașe albe.

Gică şi Lică lucrează la o fabrică de jucării, în schimburi diferite. Anul acesta patronul fabricii a hotărât să confecţioneze şi mărţişoare. Mărţişoarele gata confecţionate sunt puse în cutii numerotate consecutiv.

Cutiile sunt aranjate în ordinea strict crescătoare şi consecutivă a numerelor de pe acestea.
Gică trebuie să ia, în ordine, fiecare cutie, să lege la fiecare mărţişor câte un şnur alb-roşu şi apoi să le pună la loc în cutie.

În fiecare schimb, Gică scrie pe o tablă magnetică, utilizând cifre magnetice, în ordine strict crescătoare, numerele cutiilor pentru care a legat șnururi la mărțișoare.

Când se termină schimbul lui Gică, Lică, care lucrează în schimbul următor, vine şi ambalează cutiile cu numerele de pe tablă şi le trimite la magazine. Totul merge ca pe roate, până într-o zi, când, două cifre de pe tablă se demagnetizează şi cad, rămânând două locuri goale. Lică observă acest lucru, le ia de jos şi le pune la întâmplare pe tablă, în cele două locuri goale. Singurul lucru de care ţine cont este acela că cifra 0 nu poate fi prima cifră a unui număr.

Scrieţi un program care să citească numerele naturale N (reprezentând numărul de numere scrise pe tablă) şi c1, c2, …, cN (reprezentând numerele scrise, în ordine, pe tablă, după ce Lică a completat cele două locuri goale cu cifrele căzute) și care să determine:
a) cele două cifre care au fost schimbate între ele, dacă, după ce au completat locurile goale, acestea au schimbat șirul numerelor scrise de Gică;
b) numărul maxim scris pe tablă de Gică.

O clepsidră este un dispozitiv folosit pentru a măsura timpul. Clepsidra este alcătuită din două incinte de sticlă, conectate printr-un tub fin. Una dintre incinte este umplută cu nisip, acesta scurgându-se în cea de-a doua incintă, cu o viteză constantă. Clepsidra poate fi întoarsă, pentru a măsura o altă perioadă de timp.

Arheologii au descoperit un dispozitiv, pe care l-au denumit clepsidru, format din n clepsidre identice, suprapuse, numerotate de la 1 la n, prin care nisipul poate circula de la o clepsidră la alta datorită forţei gravitaţionale.

Studiind acest obiect, arheologii au constatat că :

  • dispozitivul poate fi utilizat atât în poziţia 1, când clepsidrele sunt în ordinea 1, 2 ,…, n cu clepsidra n aşezată pe sol, cât şi în poziţia 2, când clepsidrele sunt în ordinea n, n-1,…, 1 cu clepsidra 1 aşezată pe sol;
  • viteza de trecere a nisipului de la o incintă la alta, a aceleiaşi clepsidre, este de 1 bob de nisip/secundă, pentru toate clepsidrele, indiferent de poziţie;
  • trecerea clepsidrului dintr-o poziţie în alta presupune răsturnarea acestuia şi reaşezarea boabelor de nisip;
  • timpul de trecere a boabelor de nisip de la o clepsidră la alta este 0.

Arheologii studiază comportarea clepsidrului realizând două experimente diferite, după cum urmează:

a) Se aşează clepsidrul în poziţia 1, se introduc în incinta de sus a clepsidrei 1 un număr b de boabe de nisip şi se determină după câte secunde vor ajunge toate boabele de nisip în incinta de jos a ultimei clepsidre;
b) Se aşează clepsidrul în poziţia 1, se introduc în incinta de sus a clepsidrei 1 un număr b de boabe de nisip, apoi se aşează clepsidrul în k stări consecutive, o stare fiind caracterizată de valorile si şi pi , 1 ≤ i ≤ k, ce reprezintă numărul de secunde, respectiv poziţia, în care este menţinut nemişcat clepsidrul, iar la final se determină numărul de boabe de nisip din incintele fiecărei clepsidre.

Spre exemplu, dacă clepsidrul este format din n=2 clepsidre, iar în incinta de sus a primei clepsidre se introduc b=3 boabe de nisip, la primul experiment se va obţine valoarea 4.

La al doilea experiment se aşează clepsidrul în k=2 stări, caracterizate prin s1=3, p1=1; s2=1, p2=2.

Numărul de boabe de nisip din clepsidre va evolua ca în figura alăturată.

Să se scrie un program care citeşte valorile n şi b, precum şi valorile k, si, pi , 1 ≤ i ≤ k, şi calculează valorile obţinute de arheologi la realizarea celor două experimente.