Lista de probleme 1991

În zorii zilei, harnicele albinuţe se pregătesc să zboare la cules de nectar. În apropierea stupului, se află o grădină fermecată cu N flori, numerotate 1, 2,… N. Pentru fiecare floare se cunoaște numărul de petale.

Anumite flori din grădină pot fi flori capcană. O astfel de floare are un număr prim de petale. Dacă o albină s-ar aşeza pe corola florii capcană, atunci floarea i-ar fura o cantitate de nectar egală cu numărul ei de petale.

Alte flori pot fi florile abundenţei. Numărul de petale ale florii abundenţei are un număr impar de divizori. Dacă o albină s-ar aşeza pe corola unei astfel de flori, atunci ea i-ar dărui albinuţei o cantitate de nectar egală cu triplul numărului ei de petale.

Celelalte flori pot fi flori obişnuite. Dacă o albină s-ar aşeza pe corola unei flori obişnuite, atunci floarea i-ar dărui albinuţei o cantitate de nectar egală cu numărul ei de petale.

Regina stupului, le-a poruncit albinuţelor să adune cea mai mare cantitate de nectar care se poate culege din grădină, altfel … vor fi alungate din stup.

Scrieţi un program care să citească numerele naturale N și numărul de petale ale fiecărei flori şi care să determine cantitatea maximă C de nectar pe care albinuţele o pot aduna din grădina fermecată.

Pe planeta Marte, marţienii folosesc în calculele aritmetice doar cifrele 0, 1, 2 şi 3. Ei au inventat un nou sistem binar de numeraţie. Pornind de la numărul 23, ei generează numere binare speciale aplicând de un număr finit de ori regulile din tabelul de mai jos:

1. Cifra 2 se poate înlocui cu succesiunea: 12
2. Cifra 3 se poate înlocui cu succesiunea: 03
3. Cifra 2 se poate înlocui cu succesiunea: 01
4. Cifra 3 se poate înlocui cu succesiunea: 10

Marţienii au început să genereze un astfel de număr, aplicând succesiv (în această ordine): de n ori regula 1); de k ori regula 2); o singură dată regula 3) şi o singură dată regula 4). Nefiind atenţi, ei nu au reuşit să ducă la capăt generarea şi au nevoie de ajutor. Ajutaţi-i să genereze numărul binar dorit.

Scrieţi un program care citeşte numerele naturale nenule n şi k şi care afişează numărul binar obţinut în urma aplicării succesive a regulilor cerute de marţieni.

Într-o cameră sunt aşezate n*m acvarii identice, pe n rânduri, câte m pe fiecare rând, unul lângă altul. În fiecare acvariu se află un singur peşte. Peştele poate fi de culoare roşie (culoare codificată cu r) sau albastră (codificată cu a). La fiecare moment de timp t=1,2,3,.., peştii îşi modifică simultan culoarea astfel: fiecare peşte se colorează în culoarea pe care au avut-o la momentul t-1 majoritatea peştilor din acvariile învecinate (ca în desenul de mai jos, sunt cel mult 8 acvarii vecine notate cu V1, V2, V3,…, V8). În cazul în care numărul peştilor vecini roşii este egal cu numărul peştilor vecini albaştrii, peştele studiat îşi va păstra culoarea.

Scrieţi un program care să citească numerele naturale n, m, t şi cele n*m coduri ale culorilor peştilor (cele de la momentul iniţial t=0) şi care să determine şi să afişeze codurile culorilor peştilor de la momentul t.

În grădina din palatul lui Făt-Frumos a răsărit tulpina fragedă a unui copăcel. Impresionat de gingăşia lui, Făt-Frumos dădu fuga la izvorul fermecat şi aduse nişte apă vie cu care udă copăcelul.

A doua zi, surpriză mare! Copăcelului i-au crescut trei ramuri minunate: una de argint, una de aur şi alta de rubin. Făt-Frumos, fericit, dădu din nou fuga la izvorul fermecat şi aduse apă vie pentru copăcel.

A treia zi, surpriză şi mai mare! Ramura de argint s-a transformat în trei ramuri noi: una de argint, una de aur şi una de rubin. Ramura de aur s-a transformat în două ramuri noi: una de argint şi alta de rubin. Ramura de rubin s-a transformat în două ramuri noi: una de aur şi una de rubin.

Şi în a patra zi, Făt-Frumos observă că fiecare ramură de argint s-a transformat în trei ramuri noi: una de argint, una de aur şi una de rubin; fiecare ramură de aur s-a transformat în două ramuri noi: una de argint şi alta de rubin; fiecare ramură de rubin s-a transformat în două ramuri noi: una de aur şi una de rubin.

Copăcelul era mai bogat şi mai frumos. Strălucea ca un soare, lumina lui ajungând până la palatul Zmeului-Zmeilor.

Zmeul-Zmeilor se îndreptă ca fulgerul spre palatul lui Făt-Frumos. Vroia copacul. Dar cum să facă? Dacă s-ar lupta cu Făt-Frumos, ar pierde lupta. Mereu s-a întâmplat aşa. Se gândi, se gândi… şi exact când a ajuns în faţa lui Făt-Frumos i-a venit o idee spunându-i acestuia:
- Făt-Frumos, dacă îmi vei spune câte ramuri de argint, câte ramuri de aur şi câte ramuri de rubin va avea copacul peste n zile începând din ziua asta, atunci copacul va rămâne al tău. De nu, al meu va fi!

Ştiind că ramurile copacului se transformă şi în zilele următoare la fel ca în ziua a patra, ajutaţi-l pe Făt-Frumos să găsească răspunsul la întrebare astfel încât copacul să rămână al lui.

Fie c o cifră, iar s un şir de n numere naturale. Utilizând toate cifrele impare ale unităţilor numerelor din s, se construieşte un nou şir de numere naturale v cu proprietăţile următoare:

1. toate numerele din şirul v au acelaşi număr de cifre
2. fiecare număr din v este format doar din cifre identice
3. şirul v este format din cel mai mic număr de valori naturale care au proprietăţile 1. şi 2.

Scrieţi un program care să citească numerele c, n şi şirul s, şi să determine:
a) suma tuturor numerelor din şirul s care au proprietatea că sunt numere prime
b) numărul de apariţii ale cifrei c în scrierea zecimală a tuturor numerelor din şirul s
c) numărul minim de numere din şirul v

Fie X un număr natural format din exact K cifre, toate nenule, iar S suma cifrelor lui X. Pornind de la aceste numere, se construiește mulțimea M a tuturor numerelor naturale care:

• au suma cifrelor egală cu S
• sunt formate fiecare din exact K cifre, toate cifrele fiind nenule.

Pentru fiecare număr din mulțimea M se calculează produsul cifrelor sale. Fie P valoarea maximă a produselor calculate.

Cel mai mic număr din mulțimea M care are produsul cifrelor egal cu P îl vom denumi elementul primar al mulțimii.

Scrieţi un program care să citească numerele K și X (cu semnificația din enunț) şi care să determine elementul primar al mulțimii M.

Scrieţi un program care să citească cele trei numere naturale nenule n, x şi y, şi apoi să determine:
a) numărul t al sectoarelor de pe pistă prin care nu trece niciunul din cei doi copii în urma săriturilor executate până la terminarea jocului;
b) numărul s de sărituri executate de fiecare copil până la terminarea jocului;
c) etichetele b şi r ale sectoarelor în care ajung cei doi copii la terminarea jocului (Bogdan ajunge la finalul jocului în sectorul cu eticheta b, iar Rareş în cel cu eticheta r).

Adminul unei rețelei de n*n calculatoare așezate sub forma unei matrici n linii și n coloane dorește să cripteze calculatoarele pentru a securiza rețeaua.

La testul de selecție la Centrul de Excelentă în Informatică din acest an, prima problemă ne cere să studiem un șir S de numere naturale nenule ai cărui primi termeni sunt:
1, 2, 1, 2, 3, 2, 1, 2, 3, 4, 3, 2, 1, 2, 3, 4, 5, 4, 3, 2, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 5, 4, 3, 2, 1, 2, 3...
să deducem regula prin care a fost construit și apoi să descoperim cel de-al K-lea termen al șirului S.

Știe cineva cum se rezolvă această problemă?

Scrieţi un program care să determine cel de-al K-lea termen al șirului S.

Fie N un număr natural nenul şi N numere naturale nenule: x1, x2,…, xN.
Fie P produsul acestor N numere, P=x1•x2•...•xN.

Scrieţi un program care să citească numerele N, x1, x2,…, xN şi apoi să determine:
a) cifra zecilor produsului P;
b) cel mai mic număr natural Y, pentru care există numărul natural K astfel încât YK=P.