Lista de probleme 1991

Ca în mai toate poveștile, Făt-Frumos a căutat o Cosânzeană și a găsit-o, dar tatăl ei i-a cerut să-i paveze drumul de lungime N care leagă castelele sale. Dalele cu care va pava drumul au aceeași lățime (egală cu lățimea drumului) și lungimi numere naturale. Fiind un împărat cam sâcâit, acesta dorește ca pavarea să se facă folosind un număr minim de dale, diferența de lungime între două dale vecine să nu fie mai mare ca 1, iar prima și ultima dală să fie de lungime 1. Împăratul nu se mulțumește să primească de la Făt-Frumos doar un număr (numărul minim de dale necesare): el vrea și posibilitatea de pavare cea mai mică din punct de vedere lexicografic.

Cunoscând lungimea drumului, determinați numărul minim de dale necesare pavării și posibilitatea de pavare cu număr minim de dale, care este cea mai mică din punct de vedere lexicografic.

Gigel, mare amator de probleme de matematică şi informatică, a observat că unele numere prime au o proprietate interesantă: orice cifră ar elimina dintr-un astfel de număr, numărul obţinut este tot număr prim. A numit astfel de numere numere extraprime. De exemplu, numărul 317 este un număr extraprim: el este număr prim şi, în plus, dacă eliminăm cifra 3, obţinem 17, care este prim; dacă eliminăm 1, obţinem 37, care este prim; dacă eliminăm 7, obţinem 31, care este şi el număr prim.

Spunem că x este între a şi b dacă x≥a şi x≤b. Fiind date două valori naturale a şi b, să se determine câte numere extraprime există între a şi b, precum şi cel mai mic şi cel mai mare număr extraprim dintre a şi b.

Pe o linie orizontală se găsesc n greieri. Ei încep să stea „capră” într-o ordine prestabilită începând cu ultimul, pe rând, până la primul. Toţi greierii care îl preced pe cel care stă „capră” sar peste acesta, în ordine.

De exemplu pentru n=4, mai întâi stă „capră” greierul 4 și peste el sar, în ordine, 3, 2 și 1. Apoi stă „capră” greierul 3 și sar peste el, în ordine, 2, 1 și 4. Apoi stă „capră” greierul 2 și peste el sar, în ordine, 1, 3 și 4. Apoi stă „capră” greierul 1 și sar peste el, în ordine, 4 , 3 și 2, și se revine la ordinea inițială.

Scrieți un program care citește numerele naturale n și m și determină:

a) De câte sărituri este nevoie pentru a se ajunge la ordinea inițială?
b) Cum vor fi așezați greierii după m sărituri?

La ONIGIM2013 participă N elevi de clasa a V-a având ca id-uri, în ordine, numerele naturale de la 1 la N. Anul acesta organizatorii au afişat la clasa a V-a toate punctajele distincte obţinute de elevi, în ordine strict crescătoare p1, p2,…, pK, şi un şir de N valori a1, a2,…, aN, unde ai reprezintă numărul de elevi care au punctaje strict mai mici decât punctajul elevului având id-ul i (1≤i≤N).

Cunoscând numărul de elevi (N), numărul de punctaje distincte (K) obţinute de elevii de clasa a V-a, punctajele p1, p2,…, pK, în ordine strict crescătoare, şi valorile a1, a2,…, aN cu semnificaţia din enunţ, să se scrie un program care determină:

a) Punctajul obţinut de fiecare elev în ordinea crescătoare a id-urilor.
b) Numărul de distincţii acordate de organizatori. Numărul de distincţii este egal cu numărul de elevi care au obţinut cele mai mari trei punctaje distincte.
c) Numărul maxim de elevi care au obţinut acelaşi punctaj.

Algorel tocmai a avut un interviu la AlgoTech. Fiind isteţ din fire, el a reuşit să rezolve toate problemele, mai puţin una de care nu reuşeşte nicicum să se prindă cum se face. Aflând că la Iaşi are loc Concursul Urmaşii lui Moisil, s-a gândit să propună această problemă şi să ofere 100 de puncte ca recompensă celor care o rezolvă corect.

Fie un şir cu N cifre asupra căruia se poate efectua operaţia swap de maxim X ori. Prin swap se înţelege interschimbarea a două elemente din şir aflate pe poziţii vecine.

Să se determine numărul maxim care se poate obţine din şirul cu N cifre, după efectuarea a maxim X operaţii swap.

Părinții lui Rox au cumpărat de curând un teren care are N metri lățime și M metri lungime, pe care l-au împărţit în pătrate cu latura de un metru, denumite celule. Văzând planul terenului, lui Rox i-a venit o idee. Ea s-a decis să semene florile ei preferate în etape, pe U dintre parcele de teren. Denumirile florilor sunt litere mari ale alfabetului
englez. O parcelă este un dreptunghi inclus în teren, cu laturile paralele cu ale terenului și care conține doar celule complete.

În fiecare etapă în care Rox seamănă flori, procedează astfel: alege o parcelă pentru care reține indicii celulelor din stânga sus și dreapta jos, stabilește tipul florii pe care dorește să o semene peste tot în parcelă, apoi scrie aceste informații pe o foaie de hârtie. Documentându-se pe Internet, Rox ajunge la concluzia că apare următorul fenomen ciudat: dacă într-o celulă se seamănă același tip de floare într-un număr par de etape, semințele de acel tip pur și simplu dispar.

Când finalizează semănatul, Rox le povesteşte părinților despre isprava ei. Entuziasmați, părinții fetei îi pun mai multe întrebări de tipul ”Câte tipuri de flori au rămas semănate în celula de pe linia L și coloana C?”

Deoarece Rox a plantat foarte multe flori, ea nu poate să răspundă rapid întrebărilor părinților, așa încât vă cere ajutorul și vă va răsplăti efortul cu maxim 100 de puncte.

Pentru a participa la un concert, n persoane s-au așezat la coadă pe un singur rând în așteptarea deschiderii casei de bilete. Înălțimile celor n persoane sunt toate distincte. Pe baza acestei informații cruciale, agenții de securitate au decis ca din motive de … securitate, ordinea persoanelor care așteaptă la coadă trebuie schimbată în funcție de înălțimile lor.

Astfel, agentii de pază vor alege, pe rând, câte o persoană și o vor trimite la sfârșitul rândului. După fiecare operație de tipul acesta, să-i spunem “de mutare”, rândul se restrânge, ocupându-se poziția rămasă liberă. Strategia agenților de pază este aceasta: la terminarea tuturor operațiilor de mutare, riscul minim de securitate se obține dacă toate persoanele aflate în dreapta persoanei celei mai înalte vor fi mai înalte decât cele aflate în stânga persoanei cele mai înalte. În plus, înalțimile persoanelor vor fi crescătoare până la poziția k a persoanei celei mai înalte și descrescătoare după poziția k.

Mai exact: dacă h[1], h[2], …, h[n] sunt înălțimile persoanelor după finalizarea operațiilor de mutare, atunci: există o poziție k, cu 1 ≤ k ≤ n astfel încât h[1] < h[2] < ... h[k-1] < h[k] > h[k+1] > … > h[n-1] > h[n] și în plus h[i] < h[j] pentru oricare i < k și k < j.

Deoarece o asemenea logică este greu de combătut, iar agenții nu au aerul că vor să glumească, persoanele care așteaptă la coadă vor accepta toate mutările impuse de către aceștia.

Cunoscând numărul de persoane n și înălțimile h[1], h[2], …, h[n] ale acestora să se scrie un program care determină :

1. Poziția persoanei celei mai înalte în rândul inițial, în cazul în care nu sunt necesare operații de mutare.
2. Numărul minim de mutări necesare pentru ca rândul de persoane să prezinte un risc minim de securitate.

Un arheolog a găsit un sipet interesant. După ce l-a deschis cu grijă, a constatat cu surprindere că sipetul conține bănuți de aur. Uitându-se mai atent a mai găsit ceva: un pergament ascuns într-un compartiment secret al sipetului, cu un text scris într-o limbă antică, pe care, din fericire, arheologul o cunoștea. Din text a reieșit că un grup de negustori foarte bogați a vrut să ascundă în mare secret averea breslei lor, formată din monede de aur, deoarece se prevestea un război cumplit. Negustorii știau că există șanse ca această comoară să fie găsită și confiscată de dușmani, deci s-au sfătuit cum e mai bine să procedeze, cum să ascundă comoara. Arheologul a reușit să deducă din text următoarele:

a) Cele N monede, care formau averea breslei, au fost împărțite în maximum trei feluri de grămezi, formate din p1, p2 și p3 bănuți, p1, p2 și p3 fiind numere prime consecutive, p1<p2<p3. Fiecare grămadă a fost pusă în întregime într-un sipet.
b) Este posibil să existe 0 (zero) grămezi formate din p1 sau p2 sau p3 monede, scopul fiind să se obțină o împărțire în care numărul monedelor rămase nedistribuite să fie minim, iar dacă există mai multe posibilități, se alege aceea pentru care numărul de grămezi este mai mare. Dacă există mai multe astfel de soluții, se consideră corectă oricare dintre ele.
c) Monedele care nu au putut fi distribuite conform regulilor stabilite, au fost donate bisericii.

Scrieți un program care determină numărul maxim S de sipete și numărul sipetelor cu p1, p2 respectiv p3 monede, precum și suma donată bisericii.

Un gard este format din mai multe plăci dreptunghiulare. Fiecare placă este, la rândul ei, construită din NxM cărămizi. Una dintre plăci ridică o problemă, deoarece este deteriorată. Placa este reprezentată pe hârtie cu ajutorul unei matrice cu N linii și M coloane, numerotate de la 1 la N, respectiv de la 1 la M. Matricea conține doar valori 0 și 1, și respectă următoarele reguli:

• un element egal cu 1 indică prezența în aceea poziție a unei cărămizi, iar un element egal cu 0 indică absența ei;
• linia 1 și linia N conțin numai valori egale cu 1, pentru că marginea de sus și cea de jos a plăcii este intactă;
• din orice element egal cu 1, situat în interiorul matricei, se poate ajunge pe linia 1 sau pe linia N sau pe amândouă, mergând doar în sus sau doar în jos, parcurgând numai valorile egale cu 1;
• există cel puțin o coloană stabilă (formată numai din elemente egale cu 1).

Se dorește modificarea plăcii și pentru aceasta se pot șterge din matrice maximum K coloane alăturate. După ștergere se alipesc coloanele rămase și se deplasează pe verticală partea de sus a plăcii spre cea de jos, până când se va forma o coloană stabilă.

Să se determine înălțimea minimă Hmin pe care o poate avea placa ștergând cel mult K coloane alăturate. Identificați numărul minim de coloane alăturate care trebuie șterse pentru a obține înălțimea Hmin.

Se consideră un joc de cărţi cu un număr nelimitat de coloane. Iniţial, pe prima coloană există, într‑o ordine oarecare, N cărţi cu numere distincte din mulţimea {1,2,…,N}, următoarele coloane fiind vide (fără cărţi). Numim secvenţă de la sfârşitul coloanei ultima sau ultimele două sau ultimele trei etc. cărţi din coloană care au scrise pe ele numere consecutive în ordine crescătoare, considerate de jos în sus. De exemplu, în figurile 1 şi 2 sunt reprezentate două astfel de coloane cu câte 6 cărţi având numere între 1 şi 6. În figura 1, secvenţa de la sfârşitul coloanei este formată doar din cartea 1. În figura 2, secvenţa de la sfârşitul coloanei este formată din cărţile 3, 4 şi 5. Se observă că în coloana din figura 1 mai există o secvenţă formată din cărţile 2, 3 şi 4, dar aceasta nu este la sfârşitul coloanei.

Operaţiile permise ale jocului sunt:

A. mutarea secvenţei de cărţi de la sfârşitul unei coloane pe o coloană nouă, dacă acea coloană este vidă (nu conţine nicio carte);
B. mutarea secvenţei de cărţi de la sfârşitul unei coloane la sfârşitul altei coloane cu cărţi, doar dacă secvenţa mutată formează o secvenţă de numere consecutive cu cele de pe cartea sau cărţile aflate la sfârşitul coloanei respective.

Se doreşte ca, printr-un număr minim de operaţii permise, să se obţină pe una dintre coloane toate numerele de la 1 la N, în ordine crescătoare, considerate de jos în sus.

De exemplu, de la configuraţia iniţială din figura 2 se va obţine, printr-o operaţie A, configuraţia 1 de mai jos. Apoi, printr-o operaţie B, se obţine configuraţia 2, printr-o nouă operaţie B se obţine configuraţia 3, apoi se mută secvenţa 2,3,4,5,6 pe o coloană vidă (operaţia A), apoi se mută secvenţa 1 peste secvenţa 2,3,4,5,6 (operaţia B) şi se obţine, pe coloana a doua, configuraţia finală cerută.

Configurația 1	Configurația 2	Configurația 3	Configurația 4	Configurația 5

Cerința

Cunoscând valoarea lui N, precum şi valorile cărţilor de pe prima coloană, să se determine numărul minim de operaţii prin care se poate obţine secvenţa 1, 2, …, N pe una dintre coloane.