Lista de probleme 1987

Filtrare

#1072 Magic

Rămaşi singuri în pădure, Hansel şi Grettel, ştiu că singura lor şansă de supravieţuire este să găsească şi să intre în Castelul de Turtă Dulce. Poarta castelului este închisă şi pentru a intra este nevoie de un cuvânt magic şi de un număr fermecat.

Zâna cea Bună îi vede pe copii şi pentru că vrea să–i ajute le spune:
„Mergeţi tot înainte, iar în drumul vostru o să întâlniţi copaci pe a căror trunchiuri sunt scrise caractere reprezentând litere sau cifre. Cuvântul magic este format din toate caracterele literă în ordinea în care apar, dar scrise toate cu majuscule. Numărul fermecat este cel mai mic număr cu cifre distincte care se poate forma din caracterele cifră.”

Pentru a-i ajuta pe Hansel şi Grettel să intre în Castelul de Turtă Dulce, scrieţi un program care citeşte un număr natural n, apoi n caractere şi determină:

a) cuvântul magic;
b) numărul fermecat;

#1073 Numerus

La ora de matematică distractivă, domnul profesor Numerus propune elevilor săi să completeze cu numere naturale o grilă cu 6 coloane numerotate cu literele A, B, C, D, E şi F şi cu un număr infinit de linii. Grila va fi completată cu numere naturale, începând cu numărul 1. Pe liniile impare completarea se va face de la stânga la dreapta, iar pe cele pare de la dreapta la stânga. Ultimul număr de pe o linie va fi identic cu penultimul număr (în sensul completării) de pe aceeaşi linie.

În figura alăturată aveţi completate primele 7 linii ale grilei.

Deoarece pe tablă sau pe o foaie de hârtie numărul de linii este limitat, deci grila poate fi efectiv completată doar pentru un număr mic de linii, domnul profesor Numerus doreşte ca elevii săi să determine, cu ajutorul calculatorului, imaginea unei anumite linii a grilei şi locul sau locurile pe care se poate afla un număr natural dat.

Deduceţi regula după care se completează linia k a grilei şi scrieţi un program care să citească numerele naturale k şi n şi care să determine:

a) numerele naturale de pe linia k, vizualizate de la stânga la dreapta;
b) linia pe care se află în grilă numărul natural n;
c) coloana sau coloanele pe care se află în grilă numărul natural n.

#1076 Grupe

Se consideră un tablou bidimensional cu m linii, n coloane şi elemente numere naturale. Pentru fiecare element se determină numărul de divizori pozitivi. Se formează apoi grupe cu elementele tabloului care au acelaşi număr de divizori, grupe notate G1, G2, …, Gk. Se ordonează descrescător grupele după numărul de elemente ce le conţin. Se ştie că o grupă G1 se află în faţa unei alte grupe G2 dacă G1 are mai multe elemente decât G2 sau, în cazul în care cele două grupe conţin acelaşi număr de elemente, numărul de divizori ai elementelor din grupa G1 este mai mare decât numărul de divizori ai elementelor din grupa G2. După ordonarea descrescătoare a grupelor, notăm prima grupă cu A şi a doua grupă cu B. În cazul în care toate elementele vor avea acelaşi număr de divizori, va exista o singură grupă, grupa A.

Scrieţi un program care citeşte m, n, elementele tabloului şi afişează:
a) numărul de divizori pozitivi pentru grupa A, numărul de elemente din grupă şi cea mai mare valoare din grupă;
b) numărul de divizori pozitivi pentru grupa B, numărul de elemente din grupă şi cea mai mare valoare din grupă; în cazul în care nu există grupa a doua, se va afişa de trei ori valoarea 0.

#1075 Grad1

Se consideră un şir x1, x2, …, xn de n numere naturale distincte, două câte două. Pentru o secvenţă de k numere (xp, xp+1, ..., xp+k-1), care începe cu numărul de pe poziţia p din şirul dat, definim gradul său ca fiind numărul de numere din secvenţă, care rămân pe aceleaşi poziţii după ordonarea crescătoare a secvenţei. De exemplu, pentru n=7 şi şirul format din numerele: 1, 5, 7, 4, 6, 2, 9, secvenţa formată din numerele 7, 4, 6, 2 (corespunzătoare lui p=3 şi k=4) are gradul egal cu 2 deoarece, după ordonarea crescătoare a numerelor din secvenţă, aceasta devine 2, 4, 6, 7, numerele 4 şi 6 rămânând pe aceleaşi poziţii.

Scrieţi un program care citeşte numerele n, k, x1, x2, …, xn, cu semnificaţia din enunţ, şi apoi determină:

a) gradul întregului şir de numere;
b) poziţia primului element din prima secvenţă de lungime k ce are gradul maxim, precum şi gradul acestei secvenţe.

#1074 Carte

Rareş a primit în dar o carte în care paginile sunt amestecate. Se hotărăşte totuşi să o citească, răsfoind cartea într-un singur sens, de la prima pagină către ultima, în ordinea aşezării lor în carte, respectând următorul algoritm:

Caută la început pagina numerotată cu x=1.

După ce a citit pagina cu numărul x caută printre paginile următoare acestei pagini, răsfoind cartea, pagina cu numărul x+1, fără a căuta printre paginile aşezate înaintea paginii cu numărul x. Dacă o găseşte atunci va continua lectura în acelaşi mod, iar dacă nu o găseşte atunci va închide cartea şi, în ziua următoare, va relua lectura de la pagina cu numărul x+1, pe care mai întâi o va caută răsfoind cartea de la început.

Rareş va proceda la fel şi în zilele următoare până când va citi întreaga carte.

Scrieţi un program care citeşte un număr natural n, reprezentând numărul paginilor din carte şi n numere naturale distincte x1, x2,…, xn, reprezentând ordinea în care sunt aşezate cele n pagini în carte, şi care determină:
a) numărul zilelor în care Rareş citeşte cartea;
b) prima zi în care Rareş a citit cele mai multe pagini şi numărul paginilor citite în acea zi.

#1071 OZN

O invazie de N farfurii zburătoare (denumite uzual OZN) dă bătăi de cap autorităţilor. În fiecare astfel de OZN se află extratereştri care au ca misiune distrugerea planetei noastre. Radarul care a detectat invazia are un ecran similar cu planul XOY. Fiecare OZN este reprezentat pe ecran printr-un segment de dreaptă.

Pentru anihilarea OZN-urilor, autorităţile dispun de K arme laser. Armele sunt poziţionate pe sol (ilustrat pe ecranul radarului prin axa OX). Fiecare armă emite o rază laser, ilustrată pe ecran printr-o paralelă cu axa OY. Dacă o rază laser intersectează segmentul de pe ecranul radarului corespunzător unui OZN, raza va omorî toţi extratereştrii aflaţi în OZN-ul respectiv.

Din păcate, în preajmă se află doar un militar specializat în arme laser, aşa că autorităţile doresc să ştie exact ce armă trebuie să folosească acesta pentru a distruge cât mai mulţi extratereştri.

Ajutaţi autorităţile să determine numărul de extratereştri care pot fi anihilaţi cu fiecare armă din dotare.

#705 2d

Gigel îşi imaginează lumea în varianta 2d, adică reprezentată în sistem de coordonate cartezian XOY. Fiecare persoană din grupul celor N prieteni ai săi este reprezentată în plan printr-un punct identificat prin abscisa şi ordonata sa. În lumea sa 2d, plouă ca în Anglia, iar picăturile de ploaie pică paralel cu axa OY, de la o înălţime infinită. Ca să îi ferească pe prietenii săi de ploaie, îşi propune să le construiască apărători pe care le va reprezenta pe hartă prin segmente de dreaptă.

Ştiind că nu poate să deseneze pe hartă decât segmente de lungimi egale, determinaţi care este lungimea minimă a unui segment astfel încât trasând cel mult K segmente, toți cei N prieteni ai săi să fie protejați de ploaie.

#1070 Deal

Vasilică are la grădiniţă N turnuri cu înălţimile h1, h2, …, hN. Când aşază în linie nişte turnuri, cel puţin două, astfel încât înălţimile lor să fie în ordine crescătoare, Vasilică spune că a construit un deal. Înălţimea dealului este egală cu înălţimea celui mai înalt turn folosit. Iată, de exemplu, că aşezând în ordine turnurile cu înălţimile 2 4 4 7 9 a format un deal cu înălţimea 9.

Vasilică şi-ar dori să aşeze în linie cele N turnuri, formând o succesiune de dealuri astfel încât suma înălţimilor dealurilor formate să fie maximă.

Scrieţi un program care, cunoscând înălţimile celor N turnuri, va determina suma înălţimilor dealurilor ce se pot forma aşezând în linie cele N turnuri, maximă posibil.

#1065 Vase1

Specialiştii chimişti au reuşit crearea în laborator a unei game diversificate de substanţe lichide nemiscibile (care nu se amestecă între ele), de aceeaşi densitate şi de culori diferite.

Acest rezultat a fost utilizat de către specialiştii fizicieni pentru studiul principiului vaselor comunicante. Conform acestui principiu „într-un sistem de vase comunicante nivelul lichidului este acelaşi, indiferent de forma vaselor.“

Experimentele fizicienilor se desfăşoară astfel:

Într-un sistem cu două vase comunicante, gradat identic pe fiecare ramură cu 0, 1, 2, 3,…, fizicienii introduc un număr de n lichide, pe ramura din stânga sau pe ramura din dreapta. Volumele introduse din fiecare lichid, notate cu Vi (1≤i≤n), sunt numere naturale nenule pare astfel încât, la echilibru, orice lichid se va aşeza între două gradaţii de aceeaşi parte a unei ramuri sau pe cele două ramuri ale sistemului de vase comunicante. Lichidele sunt identificate prin intermediul culorii acestora, culori numerotate cu 1, 2, 3, … , n. Introducerea lichidelor în sistemul cu două vase comunicante se face în ordinea crescătoare a numerelor culorilor, începând cu lichidul de culoare 1.

Scopul experimentului este de a determina gradaţia maximă la care se ridică lichidele în sistemul cu două vase comunicante, precum şi între ce gradaţii se găseşte un lichid de culoare x, dintre cele introduse.

De exemplu, dacă în sistemul cu două vase comunicante se introduc n=3 lichide în ordinea: V1=4 lichid de culoare 1 introdus prin ramura din dreapta (operaţie codificată 4 D), V2=4 lichid de culoare 2 introdus prin ramura din stânga (operaţie codificată 4 S) şi V3=2 lichid de culoare 3 introdus prin ramura din stânga (operaţie codificată 2 S) atunci gradaţia maximă la care se ridică nivelul lichidelor în sistemul cu două vase comunicante este 5, iar lichidul de culoare x=2 se găseşte între gradaţiile: 3 pe ramura din stânga (3 S) şi 1 pe ramura din dreapta (1 D), conform figurii alăturate.

Să se scrie un program care cunoscând numărul n de lichide introduse în sistemul cu două vase comunicante, volumul Vi şi ramura prin care se face introducerea lichidului de culoare i (1≤i≤n), precum şi culoarea x, să calculeze gradaţia maximă la care se ridică lichidele în acest sistem la echilibru şi între ce gradaţii se găseşte lichidul de culoare x.

#1064 Cri

Furnicuţa şi-a construit un depozit pentru grăunţe pe o suprafaţă de teren dreptunghiulară şi l-a compartimentat în N*M camere identice, de formă pătratică, dispuse câte M pe direcţia Ox şi câte N pe direcţia Oy. Din fiecare cameră se poate intra în orice cameră învecinată cu ea (cameră care are un perete comun cu aceasta).

În fiecare cameră, identificată prin coordonatele sale, ca în desenul alăturat în care N=5 şi M=4, furnica a depozitat o cantitate de grăunţe. De exemplu, în camera de coordonate (I,J) este depozitată cantitatea CIJ de grăunţe.

Atât intrarea cât şi ieşirea din depozit se poate face doar prin cele patru camere din colţurile depozitului, adică cele de coordonate (1,1), (1,M), (N,1) şi (N,M) care comunică cu exteriorul.

Pentru a asigura circulaţia aerului în depozit, furnica a montat un sistem de ventilaţie în camera de coordonate (X,Y).

Văzând ce multe grăunţe are furnica pentru iarnă, vecinul ei, leneşul greieraş Cri, s-a hotărât să fure din ele.

Cri s-a gândit să intre în depozit prin sistemul de ventilaţie din camera de coordonate (X,Y) şi să iasă prin una din cele 4 camere din colţurile depozitului care comunică cu exteriorul.

A studiat planul depozitului şi a împărţit camerele în patru zone:

  • prima zonă, numerotată cu 1, conţine toate camerele de coordonate (I,J) cu 1 ≤ I ≤ X şi 1 ≤ J ≤ Y, cu ieşirea prin camera de coordonate (1,1)
  • a doua zonă, numerotată cu 2, conţine toate camerele de coordonate (I,J) cu 1 ≤ I ≤ X şi Y ≤ J ≤ M, cu ieşirea prin camera de coordonate (1,M)
  • a treia zonă, numerotată cu 3, conţine toate camerele de coordonate (I,J) cu X ≤ I ≤ N şi 1 ≤ J ≤ Y, cu ieşirea prin camera de coordonate (N,1)
  • a patra zonă, numerotată cu 4, conţine toate camerele de coordonate (I,J) cu X ≤ I ≤ N şi Y ≤ J ≤ M, cu ieşirea prin camera de coordonate (N,M)

Cri va intra doar într-una din cele patru zone şi va fura grăunţele doar din camerele conţinute de zona aleasă. Pentru a nu declanşa alarma furnicuţei, el va trebui să treacă cel mult o dată prin fiecare cameră din zonă, să fure întreaga cantitate de grăunţe din aceasta şi să iasă din depozit prin camera ce comunică cu exteriorul, corespunzătoare zonei alese.

Cri va trebui să aleagă zona în care va intra astfel încât cantitatea totală T de grăunţe furate să fie maximă, iar numărul K de camere prin care va trece să fie minim.

Scrieţi un program care să determine numerele naturale Z, T şi K, unde Z reprezintă numărul zonei pe care va trebui s-o aleagă Cri astfel încât cantitatea totală T de grăunţe furate să fie maximă, iar numărul K de camere prin va trece să fie minim.