Lista de probleme 1987

Filtrare

Să se scrie un program care citeşte de la tastatură un număr natural n şi apoi un şir de n numere naturale şi determină cel mai mare număr prim din șir și de câte ori apare.

Se dă un şir cu n elemente, numere naturale. Să se verifice dacă toate elementele şirului au toate cifrele distincte.

#980 Sir4

Se consideră şirul de numere naturale:

1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21,...

Se grupează numerele din şir astfel încât prima grupă, numerotată cu 1, este formată din primul număr din şir (1), a doua grupă, numerotată cu 2, este formată din următoarele două numere din şir (3,5), a treia grupă, numerotată cu 3, este formată din următoarele trei numere din şir (7,9,11),…, a n-a grupă din şir, numerotată cu n, este formată din următoarele n numere din şir, etc.

Deduceţi regula după care sunt generaţi termenii şirului şi scrieţi un program care să citească numerele naturale p, n şi k şi care să determine:

a) al câtelea număr din şir are valoarea p;
b) cel mai mare număr natural palindrom care poate fi obţinut folosindu-se cifrele tuturor numerelor din grupa a n-a a şirului dat, nu neapărat toate aceste cifre;
c) numărul grupei cu proprietatea că suma tuturor numerelor conţinute de aceasta este egală cu numărul k, dacă există o astfel de grupă.

Se generează un şir de numere naturale ai cărui primi termeni sunt, în această ordine:

1, 2, 3, 5, 8, 3, 1, 4, 5, 9, 4, 3, 7, 0, 7, 7, 4,...

Deduceţi regula după care sunt generaţi termenii şirului şi scrieţi un program care să citească numerele naturale n, k şi p şi care să determine:

a) suma tuturor numerelor prime aflate printre primii n termeni ai şirului din enunţ;
a) numărul de apariţii ale cifrei k printre primii n termeni ai şirului din enunţ;
b) cel de-al p-lea termen al şirului din enunţ.

#976 Sir3

Se consideră şirul de numere naturale ai cărui primi termeni sunt, în această ordine:

1, 5, 3, 7, 9, 11, 19, 17, 15, 13, 21,...
Se grupează numerele din şir astfel:
  • prima grupă, numerotată cu 1, conţine primul termen al şirului (1)
  • a doua grupă, numerotată cu 2, conţine următorii doi termeni ai şirului (5,3)
  • a treia grupă, numerotată cu 3, conţine următorii trei termeni ai şirului (7,9,11)
  • ……………………….
  • a n-a grupă din şir, numerotată cu n, conţine următorii n termeni ai şirului
    etc.

Deduceţi regula după care sunt generaţi termenii şirului şi scrieţi un program care să citească numerele naturale p, n şi k şi care să determine:

a) termenul de pe poziţia p din şirul din enunţ;
b) cel mai mare număr natural palindrom care poate fi obţinut folosindu-se cifrele tuturor numerelor din grupa a n-a a şirului dat, nu neapărat toate aceste cifre;
c) numărul grupei ce conţine un număr maxim de termeni şi are proprietatea că suma acestor termeni este cel mult egală cu k.

Olimpiada de Informatică, etapa pe sector, București, 2010

Să se afle suma resturilor împărțirii tuturor numerelor naturale de la 1 la n printr-un număr k.

#971 Max

În zorii zilei, harnicele albinuţe se pregătesc să zboare la cules de nectar. În apropierea stupului, se află o grădină fermecată cu N flori, numerotate 1, 2,… N. Pentru fiecare floare se cunoaște numărul de petale.

Anumite flori din grădină pot fi flori capcană. O astfel de floare are un număr prim de petale. Dacă o albină s-ar aşeza pe corola florii capcană, atunci floarea i-ar fura o cantitate de nectar egală cu numărul ei de petale.

Alte flori pot fi florile abundenţei. Numărul de petale ale florii abundenţei are un număr impar de divizori. Dacă o albină s-ar aşeza pe corola unei astfel de flori, atunci ea i-ar dărui albinuţei o cantitate de nectar egală cu triplul numărului ei de petale.

Celelalte flori pot fi flori obişnuite. Dacă o albină s-ar aşeza pe corola unei flori obişnuite, atunci floarea i-ar dărui albinuţei o cantitate de nectar egală cu numărul ei de petale.

Regina stupului, le-a poruncit albinuţelor să adune cea mai mare cantitate de nectar care se poate culege din grădină, altfel … vor fi alungate din stup.

Scrieţi un program care să citească numerele naturale N și numărul de petale ale fiecărei flori şi care să determine cantitatea maximă C de nectar pe care albinuţele o pot aduna din grădina fermecată.

#970 Gen

Pe planeta Marte, marţienii folosesc în calculele aritmetice doar cifrele 0, 1, 2 şi 3. Ei au inventat un nou sistem binar de numeraţie. Pornind de la numărul 23, ei generează numere binare speciale aplicând de un număr finit de ori regulile din tabelul de mai jos:

  1. Cifra 2 se poate înlocui cu succesiunea: 12
  2. Cifra 3 se poate înlocui cu succesiunea: 03
  3. Cifra 2 se poate înlocui cu succesiunea: 01
  4. Cifra 3 se poate înlocui cu succesiunea: 10

Marţienii au început să genereze un astfel de număr, aplicând succesiv (în această ordine): de n ori regula 1); de k ori regula 2); o singură dată regula 3) şi o singură dată regula 4). Nefiind atenţi, ei nu au reuşit să ducă la capăt generarea şi au nevoie de ajutor. Ajutaţi-i să genereze numărul binar dorit.

Scrieţi un program care citeşte numerele naturale nenule n şi k şi care afişează numărul binar obţinut în urma aplicării succesive a regulilor cerute de marţieni.

Olimpiada de Informatică, etapa pe sector, Bucureşti, 2007, clasa a VI-a

Într-o cameră sunt aşezate n*m acvarii identice, pe n rânduri, câte m pe fiecare rând, unul lângă altul. În fiecare acvariu se află un singur peşte. Peştele poate fi de culoare roşie (culoare codificată cu r) sau albastră (codificată cu a). La fiecare moment de timp t=1,2,3,.., peştii îşi modifică simultan culoarea astfel: fiecare peşte se colorează în culoarea pe care au avut-o la momentul t-1 majoritatea peştilor din acvariile învecinate (ca în desenul de mai jos, sunt cel mult 8 acvarii vecine notate cu V1, V2, V3,…, V8). În cazul în care numărul peştilor vecini roşii este egal cu numărul peştilor vecini albaştrii, peştele studiat îşi va păstra culoarea.

Scrieţi un program care să citească numerele naturale n, m, t şi cele n*m coduri ale culorilor peştilor (cele de la momentul iniţial t=0) şi care să determine şi să afişeze codurile culorilor peştilor de la momentul t.

#968 Copac

În grădina din palatul lui Făt-Frumos a răsărit tulpina fragedă a unui copăcel. Impresionat de gingăşia lui, Făt-Frumos dădu fuga la izvorul fermecat şi aduse nişte apă vie cu care udă copăcelul.

A doua zi, surpriză mare! Copăcelului i-au crescut trei ramuri minunate: una de argint, una de aur şi alta de rubin. Făt-Frumos, fericit, dădu din nou fuga la izvorul fermecat şi aduse apă vie pentru copăcel.

A treia zi, surpriză şi mai mare! Ramura de argint s-a transformat în trei ramuri noi: una de argint, una de aur şi una de rubin. Ramura de aur s-a transformat în două ramuri noi: una de argint şi alta de rubin. Ramura de rubin s-a transformat în două ramuri noi: una de aur şi una de rubin.

Şi în a patra zi, Făt-Frumos observă că fiecare ramură de argint s-a transformat în trei ramuri noi: una de argint, una de aur şi una de rubin; fiecare ramură de aur s-a transformat în două ramuri noi: una de argint şi alta de rubin; fiecare ramură de rubin s-a transformat în două ramuri noi: una de aur şi una de rubin.

Copăcelul era mai bogat şi mai frumos. Strălucea ca un soare, lumina lui ajungând până la palatul Zmeului-Zmeilor.

Zmeul-Zmeilor se îndreptă ca fulgerul spre palatul lui Făt-Frumos. Vroia copacul. Dar cum să facă? Dacă s-ar lupta cu Făt-Frumos, ar pierde lupta. Mereu s-a întâmplat aşa. Se gândi, se gândi… şi exact când a ajuns în faţa lui Făt-Frumos i-a venit o idee spunându-i acestuia:
- Făt-Frumos, dacă îmi vei spune câte ramuri de argint, câte ramuri de aur şi câte ramuri de rubin va avea copacul peste n zile începând din ziua asta, atunci copacul va rămâne al tău. De nu, al meu va fi!

Ştiind că ramurile copacului se transformă şi în zilele următoare la fel ca în ziua a patra, ajutaţi-l pe Făt-Frumos să găsească răspunsul la întrebare astfel încât copacul să rămână al lui.

Olimpiada de Informatică, etapa pe sector, Bucureşti, 2007, clasa a V-a