Lista de probleme 1991

Numim „oglinda” numărului natural nenul a, numărul b, obţinut prin modificarea fiecărei cifre din reprezentarea sa binară, de exemplu pentru a=22(10)=10110(2) se obţine 01001(2)= 9(10)=b.

Cunoscându-se numerele naturale N, K și cele N numere natural nenule, scrieți un program care:

1. Transformă în baza doi termenii şirului dat obţinându-se un nou şir format din alipirea cifrelor binare. Din acest şir se vor determina și afișa, separate prin câte un spațiu, toate reprezentările în baza 10 corespunzătoare secvenţelor alăturate de exact K cifre binare, parcurse de la stânga la drepta. Dacă ultima secvenţă nu are exact K cifre binare, atunci aceasta nu se va mai lua în considerare.
2. Să aplice K transformări asupra şirului iniţial, înlocuind la fiecare pas orice termen cu „oglinda” sa. Asupra termenilor care devin zero nu se vor mai efectua alte operații. După efectuarea celor K transformări, să se determine cea mai lungă secvență de numere care au cifra 1 pe aceeași poziție în reprezentarea lor în baza doi. Dacă sunt mai multe astfel de secvențe având lungimea maximă, se va afișa cea mai din stânga.

În regiunea Ionia a lumii grecești antice, regiune ce corespunde teritoriului actual al Mării Egee, există mai multe insule. Harta mării este reprezentată de o matrice de dimensiuni N•M, având valori de 1 și 0, iar fiecare element din matrice reprezintă o zonă de dimensiune 1•1 din mare. Liniile matricei sunt numerotate de la 1 la N, de sus în jos, iar coloanele de la 1 la M, de la stânga la dreapta. Astfel, colțul din stânga sus al matricei este asociat zonei (1,1), iar colțul din dreapta jos corespunde zonei (N,M).

Un element care conține valoarea 0 reprezintă faptul că în acea zonă se află apă. O insulă este determinată
de un dreptunghi format în totalitate din valori de 1. Se garantează faptul că toate zonele care conțin valoarea 1
formează dreptunghiuri valide și că oricare două insule sunt separate de apă.

Ionienii, fiind oameni practici, doresc construirea unui far-bibliotecă (așezat pe o platformă 1•1), într-o zonă acoperită de apă. Poziția platformei va fi aleasă într-o celulă C astfel încât suma distanțelor dintre toate insulele și C să fie minimă. Distanța dintre o celulă C și o insulă este definită ca fiind minimul dintre distanțele Manhattan dintre C și fiecare celulă care aparține insulei (distanța poate trece atât prin alte insule, cât și prin zone acoperite de apă). Distanța Manhattan dintre două celule aflate pe linia x1 și coloana y1, respectiv pe linia x2 și coloana y2, este definită ca |x1 – x2| + |y1 – y2|, unde |x| reprezintă valoarea absolută a lui x.

Ursul: Bună, cumătră! Da cât peşte ai? Dă-mi şi mie, că tare mi-i poftă!
Vulpea: Ia mai pune-ţi pofta-n cui. Dacă vrei pește, du-te şi-ţi înmoaie coada-n baltă şi vei avea ce să mănânci.
Ursul: Învaţă-mă, te rog, cumătră, că eu nu ştiu cum se prinde peştele.
Vulpea: Alei, cumetre! da’ nu ştii că nevoia te-nvaţă ce nici nu gândeşti? Du-te deseară la baltă și bagă-ţi coada-n apă. Stai pe loc, fără să te mişti, până spre ziuă. Între timp, ia foaia aceasta pe care am scris N numere naturale și până dimineață trebuie să procedezi în felul următor:

• elimini exact două cifre alăturate din fiecare număr scris pe foaie, astfel încât, celelalte cifre rămase după eliminare să formeze, de la stânga la dreapta, cel mai mare număr posibil (de exemplu, din numărul 77196, elimini cifrele 7 și 1 pentru a obține cel mai mare număr posibil 796).
• toate cele N numere obținute la pasul anterior, le lipești unul după altul, în ce ordine vrei tu. Uitându-te de la stânga la dreapta la cifrele numerelor lipite, observi că s-a format un nou număr X. Ai grijă cum procedezi, căci până
  dimineață, atâta pește se va prinde de coada ta cât vei obține tu valoarea lui X.

Ajutați-l pe urs să prindă cât mai mult pește posibil.

Scrieți un program care citește N numere naturale și determină:

1. Cel mai mare număr de eliminări efectuate cu aceleași două cifre alăturate.
2. Cel mai mare număr natural X determinat astfel încât ursul să prindă cât mai mult pește.

Un copil dorește să vopsească ouăle de Paște, având la dispoziție vopsele de culoare roșie, galbenă, verde și albastră. Fiecare culoare va fi reprezentată printr-un singur caracter astfel: 'r' pentru culoarea roșie, 'g' pentru galben, 'v' pentru verde, 'a' pentru albastru. Pentru a vopsi ouăle, le așază în rând, unul după altul. Astfel, o colorare va fi o succesiune de N caractere din mulţimea {'r' , 'g' , 'v','a'}, reprezentând, în ordinea aşezării, culorile celor N ouă.

Numim “roua” o secvență de R caractere cu proprietatea că dintre acestea exact R-1 caractere reprezintă culoarea roșie, iar un caracter reprezintă una dintre celelalte 3 culori. De exemplu secvenţele roua de lungime 3 sunt "grr", "rgr", "rrg", "vrr", "rvr", "rrv", "arr", "rar", "rra" .

Copilul consideră că o colorare este R-frumoasă, dacă oricare R caractere consecutive din colorare formează o secvență roua. De exemplu, pentru N=11 ouă, şirul "arrrvrrrarr" reprezintă o colorare 4-frumoasă.

Cunoscând N, numărul de ouă vopsite, și numărul natural R, scrieți un program care determină și afișează:

1. numărul de secvențe “roua” de lungime R existente în colorarea celor N ouă;
2. numărul total al colorărilor R-frumoase pentru cele N ouă.

Eu sunt fascinată de numerele prime. Consider că numerele prime sunt “scheletul” tuturor numerelor sau “atomii” acestora, pentru că orice număr natural mai mare decât 1 poate fi scris ca un produs de numere prime. Recent am aflat şi alte proprietăţi interesante legate de numerele prime, de exemplu:

1. În şirul Fibonacci există o infinitate de numere prime. Vă mai amintiţi şirul Fibonacci? 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ... Este şirul în care fiecare termen, exceptând primii doi, se obţine ca suma celor doi termeni care îl precedă.
2. Există numere naturale denumite „economice”. Un număr natural este economic dacă numărul de cifre necesare pentru scrierea sa este mai mare decât numărul de cifre necesare pentru scrierea descompunerii sale în factori primi (adică decât numărul de cifre necesare pentru scrierea factorilor primi şi a puterilor acestora). De exemplu 128 este economic pentru că 128 se scrie cu 3 cifre, iar descompunerea sa în factori primi se scrie cu două cifre (2^7); 4374 este economic pentru că se scrie cu 4 cifre, în timp ce descompunerea sa în factori primi se scrie cu 3 cifre (2*3^7). Observaţi că atunci când un factor prim apare la puterea 1, aceasta nu este necesar să fie scrisă.
3. Multe numere naturale pot fi scrise ca sumă de două numere prime. Dar nu toate. De exemplu, 121 nu poate fi scris
   ca sumă de două numere prime.

Scrieţi un program care citeşte numărul natural n şi o secvenţă de n numere naturale, apoi rezolvă următoarele cerinţe:

1. determină şi afişează câte dintre numerele din secvenţa dată sunt numere prime din şirul Fibonacci;
2. determină şi afişează câte dintre numerele din secvenţa dată sunt numere economice;
3. determină şi afişează câte dintre numerele din secvenţa dată nu pot fi scrise ca sumă de două numere prime.

Șoricelul Remy dorește să depoziteze cubulețele de cașcaval pe care le-a adunat. El a construit un depozit pe o suprafață dreptunghiulară și l-a compartimentat în N*M camere identice. În fiecare cameră șoricelul a depozitat o cantitate de cubulețe de cașcaval (ca în Figura A) și a stabilit că va mânca în fiecare zi câte un cubuleț de cașcaval din fiecare cameră în care există cașcaval. Planul său este stricat de John, șoricelul leneș din casa vecină, căruia nu-i place să-și strângă singur cașcaval, așa că s-a hotărât să fure din depozitul lui Remy. Pentru că John este pasionat de matematică s-a hotărât ca în fiecare seară, după ce vecinul său a terminat de mâncat, să se plimbe prin depozit și să fure tot cașcavalul din camerele în care găsește un număr pătrat perfect de cubulețe de cașcaval. John intră în depozit prin camera din colțul stânga sus, de coordonate (1,1), parcurge prima linie de la prima la ultima coloană, apoi a doua linie de la ultima coloană, până la prima și așa mai departe, până când termină de vizitat toate camerele (ca în Figura B).

Scrieți un program care să determine:

1. Numărul de zile în care se va goli depozitul lui Remy și câte camere va goli John în ziua K.
2. Numărul maxim de camere consecutive golite de acesta într-o zi și ziua în care se va întâmpla acest lucru.

Magazinul de jocuri a lansat cea mai recentă versiune a jocului Z, pentru a-i ajuta pe elevii din clasa a VIII-a să înțeleagă mai bine modul de identificare a coordonatelor unui punct din plan, într-un sistem de axe ortogonale.

Pe ecran este afișată o foaie de matematică și sistemul de axe ortogonale xOy. Succesiv, apar coordonatele întregi ale
unor puncte din plan. Jucătorul trebuie să marcheze pe foaie fiecare punct și să traseze un segment care să unească
punctul (cu excepția primului punct marcat) cu cel marcat anterior.

La sfârșitul jocului, jucătorul trebuie să numere de câte ori a trecut prin originea sistemului de coordonate O(0,0) și care este numărul maxim al semnelor Z distincte, formate cu puncte marcate.

Cunoscându-se n (numărul de puncte afișate succesiv pe ecran) și coordonatele celor n puncte din plan, să se scrie un program care determină:

1. Numărul de treceri prin originea sistemului de coordonate.
2. Numărul maxim al semnelor Z distincte, formate cu puncte marcate.

Pe Marte s-au descoperit N marțieni, identificați de către oamenii de știință de pe Pământ prin numerele de la 1 la N. Cercetările au dovedit că ADN-ul oricărui marțian X este format din mulțimea factorilor primi din descompunerea lui X.

Se știe că marțianul cu numărul de ordine Y îl moștenește pe marțianul cu numărul de ordine X dacă ADN(X) este inclus în ADN(Y), adică mulțimea factorilor primi ai lui X este inclusă în mulțimea factorilor primi ai lui Y.

Trebuie să specificăm că se pot întâlni situații extreme în care X îl moștenește pe Y dar și Y îl moștenește pe X, atunci când cei doi marțieni au ADN-urile egale.

Realizați un program care, considerând mulțimea celor N marțieni, determină numărul de perechi de marțieni (Y, X) pentru care Y îl moștenește pe X, unde 1 ≤ X ≤ N și 1 ≤ Y ≤ N.

Pe o foaie de matematică cu N pătrățele orizontale (pe aceeași linie) și M pătrățele verticale (pe aceeași coloană), Alex a pictat nave. Definim o navă linie (L) ca un set de pătrățele umbrite, consecutive pe un rând al foii de matematică. Definim o navă coloană (C) ca un set de pătrățele umbrite, consecutive pe o coloană a foii de matematică. Dimensiunea unei nave este egală cu numărul de pătrățele din care este formată. O navă formată dintr-un singur pătrățel nu este nici linie, nici coloană. Navele pot avea diferite dimensiuni. Două nave diferite nu se ating pe laturi sau colțuri, nu se suprapun și nu au pătrățele comune. Pe foaia de matematică sunt pictate doar nave de cele 3 tipuri: navă linie (L), navă coloană (C) sau navă pătrățel.

Cunoscându-se M, N și pictura lui Alex, scrieți un program care să determine:

1. Numărul de nave formate doar dintr-un singur pătrățel;
2. Numărul de nave linie și numărul de nave coloană, precum și dimensiunile acestora.

Se consideră harta universului ca fiind o matrice cu 250 de linii și 250 de coloane. În fiecare celulă se găsește o așa numită poartă stelară, iar în anumite celule se găsesc echipaje ale porții stelare. La o deplasare, un echipaj se poate deplasa din locul în care se află în oricare alt loc în care se găsește o a doua poartă, în cazul nostru în orice altă poziție din matrice. Nu se permite situarea simultană a mai mult de un echipaj într o celulă. La un moment dat un singur echipaj se poate deplasa de la o poartă stelară la alta.

Dându-se un număr p de echipaje, pentru fiecare echipaj fiind precizate poziția inițială și poziția finală, determinați numărul minim de deplasări necesare pentru ca toate echipajele să ajungă din poziția inițială în cea finală.