Lista de probleme 1991

Să se determine numărul de secvenţe PM care conţin x semne plus şi y semne minus.

Se consideră o matrice A cu următoarele proprietăţi:

• conţine n linii şi m coloane;
• conţine doar valorile 0 şi 1;
• pe fiecare linie valorile sunt plasate în ordine crescătoare.

Definim o submatrice determinată de perechea de linii L1 şi L2 (L1 ≤ L2) şi de perechea de coloane C1 şi C2 (C1 ≤ C2) ca fiind totalitatea elementelor matricei A[i,j] pentru care L1 ≤ i ≤ L2 şi C1 ≤ j ≤ C2.
Dacă toate elementele unei submatrice sunt egale cu 0, atunci submatricea se numeşte nulă.
Asupra matricei A putem efectua una sau mai multe operaţii de interschimbări de linii. Prin astfel de interschimbări liniile matricei pot fi rearanjate astfel încât matricea A să conţină cel puţin o submatrice nulă cu număr maxim de elemente.
Fiind dată o astfel de matrice se cere să se determine numărul maxim de zerouri dintr-o submatrice nulă ce se poate obţine printr-o rearanjare a liniilor matricei date.

Se consideră o autostradă dispusă în linie dreaptă având N puncte de acces (intrare şi ieşire). În fiecare punct de acces există containere pentru colectarea deşeurilor, toate containerele au aceeaşi capacitate şi în fiecare punct de acces pot fi mai multe astfel de containere. Firma care asigură curăţenia dispune de un singur mijloc de transport al containerelor. Acest mijloc de transport poate încărca exact un număr K de containere. Accesul mijlocului de transport pe autostradă se face cu restricţii pentru a nu perturba traficul şi din acest motiv trebuie ca la fiecare acces pe autostradă să fie colectate exact atâtea containere cât este capacitatea maşinii, dar dintr-un punct de colectare trebuie să ia exact un container, deci dacă se intră pe autostradă la punctul de acces P, unde P≤N-K+1, atunci trebuie să ia containere de la punctele de acces numerotate cu P, P+1, P+2,…, P+K-1, în aceste puncte de acces scade cu 1 numărul containerelor rămase. Firma trebuie să găsească toate valorile posibile pentru K astfel încât să poată colecta toate containerele.

Se cere să se găsească toate valorile posibile pentru K astfel încât să fie adunate toate containerele.

Alina este mare iubitoare de teatru. Directorul teatrului i-a oferit șansa să joace în mai multe spectacole, ca figurant, deocamdată. Costumiera de scenă a decis să-i dea C costume diferite dintre cele care sunt destinate acestei stagiuni. Alina va duce costumele acasă și le va ajusta ca să-i vină bine. Stagiunea durează Z zile consecutive și în fiecare zi se joacă câte o piesă. Aceeași piesă se va juca, desigur în una sau mai mai multe zile ale stagiunii. Fiecărei piese i se asociază un unic costum de figurant, deci pentru fiecare piesă în care joacă, Alina trebuie să îmbrace un singur costum, acela asociat piesei respective. Costumele de figuranți sunt identificate prin literele mari ale alfabetului englez: A, B, C, …, X, Y, Z. Alina are voie să-și aleagă cele C costume diferite.

Cunoscând costumul asociat fiecărei zile a stagiunii, ajutați-o pe Alina să-și aleagă cele C costume diferite, în așa fel încât să poată juca într-un număr cât mai mare de piese consecutive.

Se consideră şirul de numere naturale:

1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21,...

Se grupează numerele din şir astfel încât prima grupă, numerotată cu 1, este formată din primul număr din şir (1), a doua grupă, numerotată cu 2, este formată din următoarele două numere din şir (3,5), a treia grupă, numerotată cu 3, este formată din următoarele trei numere din şir (7,9,11),…, a n-a grupă din şir, numerotată cu n, este formată din următoarele n numere din şir, etc.

Deduceţi regula după care sunt generaţi termenii şirului şi scrieţi un program care să citească numerele naturale p, n şi k şi care să determine:

a) al câtelea număr din şir are valoarea p;
b) cel mai mare număr natural palindrom care poate fi obţinut folosindu-se cifrele tuturor numerelor din grupa a n-a a şirului dat, nu neapărat toate aceste cifre;
c) numărul grupei cu proprietatea că suma tuturor numerelor conţinute de aceasta este egală cu numărul k, dacă există o astfel de grupă.

N prieteni, numerotaţi de la 1 la N, beau bere fără alcool la o masă rotundă. Pentru fiecare prieten i se cunoaşte \( {C}_{i} \) – costul berii lui preferate. Din când în când, câte un prieten, fie el k, cumpără câte o bere pentru o secvenţă de prieteni aflaţi pe poziţii consecutive la masă, începand cu el, în sensul acelor de ceasornic. El este dispus să cheltuiască x bani şi doreşte să facă cinste la un număr maxim posibil de prieteni.

Se cere numărul de beri pe care le va cumpăra fiecare prieten k în limita sumei x de bani de care dispune. În caz că x este mai mare decât costul berilor pentru toţi prietenii de la masă, se vor achiziţiona maxim N beri.

Pentru un concurs de design de jocuri, Gigel vrea să construiască un joc. La joc participă n concurenţi numerotaţi de la 1 la n. Fiecare concurent are la dispoziţie câte un şir de m încăperi, numerotate de la 1 la m. Scopul jocului este de a găsi o comoară ascunsă în una din aceste încăperi. Fiecare încăpere conţine un cod, număr natural, fie egal cu 0, fie având cel puţin 2 cifre. Ultima cifră indică numărul de etape de penalizare, adică numărul de etape în care concurentul nu are voie să părăsească încăperea. Numărul obţinut prin eliminarea ultimei cifre a codului indică numărul încăperii în care se va deplasa acesta la următoarea etapă sau la expirarea penalizării.

Fiind dat numărul n de concurenţi, numărul m de încăperi alocate fiecărui concurent, şi codurile din cele n×m încăperi să se determine câştigătorul jocului, numărul încăperii în care a găsit comoara, numărul de etape parcurse până când câştigătorul găseşte comoara precum şi numărul de concurenţi eliminaţi din joc până la etapa respectivă (inclusiv).

Se consideră o matrice pătratică cu N linii şi N coloane ce conţine toate numerele naturale de la 1 la N*N.
Asupra matricei se definesc trei tipuri de operaţii codificate astfel:

• C i j – interschimbarea coloanelor i şi j ale matricei
• R i j – interschimbarea liniilor i şi j ale matricei
• E i j x y – interschimbarea elementului de pe linia i şi coloana j cu elementul de pe linia x şi coloana y.

Asupra matricei se efectuează un set de M astfel de operaţii.

Se cere să se determine numărul minim de aplicări complete ale acestui set de operaţii după care se ajunge din nou în starea iniţială. În cadrul setului operaţiile se efectuează mereu în aceeaşi ordine şi nu se poate sări peste o operaţie. Deoarece numărul acesta poate fi foarte mare se cere restul împărţirii sale la 13007.

Dată fiind o succesiune de îndoituri aplicată unei foi de dimensiune N x N, scrieţi un program care să determine înălţimea, lăţimea şi grosimea obiectului obţinut.

Primăria orașului Constanța reamenajează plaja din stațiunea Mamaia. Aceasta este reprezentată ca o zonă dreptunghiulară cu lățimea de a unități și lungimea de b unități. Pe plajă sunt trasate linii paralele cu laturile dreptunghiului astfel încât să formeze pătrate cu latura de o unitate, numite zone. Pe plajă se vor pune obiecte: umbrele și prosoape. Se consideră că dacă un obiect intră în interiorul unei zone, o ocupă în întregime. Se poziționează u umbrele de soare. Într-o zonă se poate așeza cel mult o umbrelă.

N turişti vin şi îşi aşează prosoapele pe plajă. Un prosop are formă dreptunghiulară şi va fi aşezat paralel cu laturile dreptunghiului. Turiştii îşi pot aşeza prosoapele pe zone libere sau peste prosoape deja aşezate. Un turist nu îşi poate aşeza însă prosopul pe plajă dacă suprafaţa acoperită de acesta include cel puţin o zonă în care se află o umbrelă.
M localnici au suprafeţe favorite pentru aşezarea prosoapelor. O suprafaţă favorită are forma unui dreptunghi cu laturile paralele cu laturile dreptunghiului care marchează plaja. După ce turiştii termină aşezarea prosoapelor, localnicii verifică dacă zonele din suprafaţa favorită sunt libere (neacoperite de prosoape aşezate de turişti sau de umbrele).

Scrieţi un program care să determine numărul de turişti care au reuşit să îşi aşeze prosoapele pe plajă, precum și numărul de localnici ale căror zone favorite sunt libere.