Lista de probleme 1987

Filtrare

#3569 cern

Acceleratorul de particule CERN este dispus sub forma a 3 cercuri cu aceeaşi rază, tangente exterioare două câte două, numerotate pe figură cu 1, 2, 3. Traiectoria unei particule elementare porneşte din unul din punctele marcate pe figură cu A, B, C, D, E, F şi se deplasează cu viteză constantă de \( {1}^{0} \) /unitatea de timp numai pe circumferinţa cercurilor. La trecerea printr-un punct de tangenţă dintre două cercuri particula îşi schimbă atât sensul de deplasare, cât şi cercul pe care se deplasează. Astfel, dacă sensul de deplasare a fost la un moment dat trigonometric, la trecerea printr-un punct de tangenţă devine invers trigonometric şi dacă sensul de deplasare a fost invers trigonometric, la trecerea printr-un punct de tangenţă devine trigonometric.

Să se scrie un program, care, cunoscând punctul iniţial şi sensul de deplasare al unei particule, să determine poziţia particulei în accelerator după un număr dat de unităţi de timp.

#2179 Max3

Fie n un număr natural nenul şi un şir de n numere naturale nenule, fiecare număr din şir având cel mult 3 cifre. Şirul dat se „maximizează” prin aplicarea următoarelor transformări:

Ştiind că pe o bară metalică de lungime L cm se plasează exact N furnici în poziţii cunoscute şi cu sensul iniţial de deplasare cunoscut, să se scrie un program care calculează numărul de secunde după care va cădea de pe bară şi ultima furnică de la momentul iniţial. Toate furnicile îşi încep deplasarea concomitent.

#2518 Goe

Goe este un copil drăgălaș, dar tare leneș. Nu îi place nici să scrie, nici să numere. Cu greu a fost convins de mama sa să învețe cifrele, dar de scris tot nu poate să le scrie pe toate. Nu îi plac cifrele 2, 4, 5 și 7, iar cifra 6 o încurcă cu 9 și invers. Și asta nu este tot. Când mama sa îi dă să copieze numere, pentru a exersa scrierea cifrelor, el le scrie în oglindă, adică scrie cifrele în ordinea inversă. De exemplu, numărul 138 va fi scris de Goe 831.

Mama lui Goe scrie în fiecare zi, în ordine crescătoare, câte 9 numere naturale, sărind însă peste orice număr divizibil cu 10, ca în Figura 1. Goe copiază zilnic aceste numere. Din păcate, el nu își îndreaptă niciuna dintre greșeli: copiază numerele scriindu-le oglindite, nu scrie numerele care conţin cifrele 2, 4, 5 și 7 și înlocuieşte, în continuare cifra 6 cu 9 și invers (vezi Figura 2).

ONI 2011, Clasa a V-a

#3007 tort1

De ziua lui, Gigel a primit un tort de formă dreptunghiulară, ornat cu un caroiaj ce împarte tortul în m x n pătrate, în fiecare pătrat aflându-se câte o cireașă sau o căpșună. Caroiajul cu fructe este reprezentat printr-o matrice cu 0 şi 1, 0 însemnând cireaşă şi 1 căpşună. Sărbătoritul are dreptul să taie k felii de tort. O felie se poate obține prin tăierea după liniile caroiajului, dintr-un capăt în celălalt, având lățimea egală cu 1, de pe oricare latură a tortului, codificate cu N, E, S, V. Gigel fiind mare amator de căpşuni vrea să taie cele k felii astfel încât numărul căpşunilor din aceste felii să fie cât mai mare. Să se scrie un program care să determine numărul de posibilităţi de tăiere a k felii de tort, pentru a obţine un număr maxim de căpşuni. Două variante în care diferă doar ordinea de tăiere, dar rămâne aceeaşi bucată de tort, nu sunt considerate distincte. De exemplu, dacă numărul maxim de căpşuni se poate obţine prin una din variantele : VSNNV sau VVNSN, acestea nu sunt considerate distincte.

#2192 Talent

Românii au talent! Atraşi de marele premiu oferit de organizatorii concursului Românii au talent, la preselecţia organizată la Piatra Neamţ au venit foarte mulţi români să demonstreze că au talent.

La înscriere, fiecare participant a primit câte un număr de concurs, reprezentat de un număr natural nenul. Unii dintre participanţi pot avea statut special, fiind admişi direct în semifinale, ca urmare a rezultatelor deosebite obţinute la ediţiile anterioare, numărul de concurs primit de aceştia având proprietatea că toate cifrele lui pot fi aranjate astfel încăt să formeze un număr palindrom.

Printre numerele de concurs primite de participanţii cu statut special, există numere care au în scrierea lor zecimală un număr maxim de cifre distincte. Cel mai mic dintre aceste numere reprezintă numărul de concurs al participantului VIP.

Scrieţi un program care citeşte numărul natural n (reprezentând numărul de participanţi înscrişi la concurs), n numere naturale (reprezentând numerele de concurs ale celor n participanţi) şi determină:

a) numărul x de participanţi admişi direct în semifinale;
b) numărul y de concurs al participantului VIP, dacă există un astfel de participant printre cei înscrişi.

#965 Joc3

Scrieţi un program care să citească cele trei numere naturale nenule n, x şi y, şi apoi să determine:
a) numărul t al sectoarelor de pe pistă prin care nu trece niciunul din cei doi copii în urma săriturilor executate până la terminarea jocului;
b) numărul s de sărituri executate de fiecare copil până la terminarea jocului;
c) etichetele b şi r ale sectoarelor în care ajung cei doi copii la terminarea jocului (Bogdan ajunge la finalul jocului în sectorul cu eticheta b, iar Rareş în cel cu eticheta r).

#3370 amedie

Pentru o matrice A cu n linii şi m coloane, ce conţine numere naturale, se defineşte amedia matricei A ca fiind valoarea situată la mijlocul şirului ordonat crescător format din toate elementele matricei A, dacă numărul de elemente din acest şir este impar, respectiv cea mai mică valoare dintre cele două valori situate la mijloc, dacă numărul de elemente din acest şir este par. Se definesc trei tipuri de operaţii ce pot fi aplicate matricei A. Scrieţi un program care determină valorile obţinute în urma efectuării operaţiilor de tip 3 din şirul de operaţii aplicate matricei A.

O culegere de probleme are P pagini, numerotate de la 1 la P. Problemele din culegere sunt numerotate cu 1,2,3,...,etc, în ordinea apariţiei lor în culegere. Pe prima pagină a culegerii este scrisă o singură problemă (cea cu numărul 1). Pe a doua pagină sunt scrise exact două probleme (cele cu numerele 2 şi 3, în această ordine). Pe cea de a P-a pagină sunt scrise exact P probleme.
Scrieţi un program care citeşte numerele naturale P şi N şi determină valorile:
a) T, numărul total de cifre care au fost utilizate în numerotarea tuturor problemelor din culegere;
b) M, numărul minim de pagini pe care ar trebui să le aibă culegerea, astfel încât aceasta să conţină şi problema numerotată cu N.

#1758 Bile3

Matei a inventat un nou joc cu bile. Terenul de joc este o tablă dreptunghiulară aşezată vertical. Tabla este împărţită în m*n celule, aşezate în m linii şi n coloane. În unele dintre celule se află obstacole.

De sus, din celulele aflate pe prima linie, sunt lăsate să cadă bile. Bilele cad vertical până la întâlnirea unui obstacol sau până în celula cea mai de jos din coloana pe care se află. Prima bilă care loveşte un obstacol se deplasează pe orizontală în coloana alăturată din stânga, apoi îşi continuă căderea. Fiecare dintre celelalte bile care lovesc acelaşi obstacol se deplasează pe orizontală, în coloana alăturată, dar în direcţie opusă faţă de bila care a lovit acest obstacol exact înaintea lor, apoi îşi continuă căderea.

Cunoscând numărul de bile lăsate să cadă de pe fiecare celulă a primei linii şi poziţia obstacolelor, determinaţi numărul de bile ajunse în fiecare celulă a ultimei linii. Poziţiile obstacolelor sunt indicate prin linia şi coloana lor (colţul din stânga sus corespunde liniei 1 şi coloanei 1).