Lista de probleme 37

Se dă un număr raţional strict pozitiv q, sub formă de fracţie zecimală.

Să se determine două numere naturale a şi b astfel \( q= \frac{a}{b} \) încât iar modulul diferenţei dintre a şi b să fie minim.

Sindbad a descoperit un recipient care conține o poțiune magică și o inscripție care descrie cum se poate deschide poarta unui templu. Urmând instrucțiunile din inscripție, Sindbad a ajuns la un tunel acoperit cu dale pătrate, aliniate astfel încât formează linii și coloane. Tunelul are mai multe linii, iar pe fiecare linie sunt câte N dale. Dalele din tunel sunt numerotate începând cu 1, astfel încât, parcurgându-le linie cu linie și fiecare linie de la stânga la dreapta, se obține un șir strict crescător de numere naturale consecutive.
Sindbad se află la intrare, înaintea primei linii. Pentru a deschide poarta templului, el trebuie să ajungă pe dala numerotată cu P, călcând pe un număr minim de dale. Dacă există mai multe astfel de soluții, o va alege pe cea pentru care consumul total de picături de poțiune magică este minim.

Scrieți un program care citește valorile N și P și rezolvă următoarele cerințe:
1. afișează numărul minim de dale pe care trebuie să calce pentru a deschide poarta;
2. afișează numărul natural T, reprezentând numărul minim de picături de poțiune magică necesare pentru deschiderea porții.

Într-o clasă sunt n elevi. În fiecare zi elevii sunt așezați în bănci în alt mod. Câte modalități de așezare a elevilor în bănci există?

Se dau numerele naturale n și k. Calculați \( C_n^k \).

Numerele lui Catalan formează un șir cunoscut în combinatorică. Termenul general al acestui șir este:

$$ C_n = C_{2n}^{n} – C_{2n}^{n+1} = \frac{1}{n+1}\cdot C_{2n}^{n} = \prod _{k=2}^{n} \frac{n+k}{k}, \text{pentru } n ≥ 0 $$

Se dă numărul natural n. Să se determine și să se afișeze al n-lea număr Catalan.

Scrieți un program care citește un număr natural n și care să calculeze și să afișeze suma S a tuturor numerelor obținute prin permutări circulare ale cifrelor lui n cu o poziție.

În lumea lui Nano totul se construiește la nivel atomic. Știința a ajuns așa departe încât poate construi ”plăci” dreptunghiulare de atomi în care aceștia sunt aliniați perfect, pe un singur strat, formând un rastru. Nano dorește să comande la o firmă plăci pătrate de dimensiuni mari. Dimensiunile sunt atât de mari încât numărul de atomi dintr-o placă poate să fie scris cu până la 500 cifre. Firma i-a dat o listă cu bucățile de material de care dispune, pentru fiecare bucată fiind cunoscut numărul de atomi componenți, urmând ca Nano să aleagă doar acele bucăți din care se pot construi plăci pătrate.

Scrieți un program care citind numărul de atomi ai fiecărei bucăți de material din fișierul nano.in scrie în fișierul nano.out doar bucățile de material din care se pot face plăcile dorite de Nano.

Ilinca este o fetiţă căreia îi place foarte mult să deseneze; ea a făcut multe desene pe care le-a numerotat de la 1 la d şi apoi le-a multiplicat (toate copiile poartă acelaşi număr ca şi originalul după care au fost făcute). În vacanţă s-a hotărât să-şi deschidă propria expoziţie pe gardul bunicilor care are mai multe scânduri; pe fiecare scândură ea aşează o planşă (un desen original sau o copie). Ilinca ţine foarte mult la desenele ei şi doreşte ca fiecare desen să apară de cel puţin k ori (folosind originalul şi copiile acestuia). Ilinca se întreabă în câte moduri ar putea aranja expoziţia. Două moduri de aranjare sunt considerate distincte dacă diferă cel puţin prin numărul unei planşe (de exemplu: 2 1 3 3 este aceeaşi expoziţie ca şi 2 3 1 3, dar este diferită de 2 1 3 1 şi de 1 3 3 1).

Cunoscând n numărul de scânduri din gard, d numărul desenelor originale şi k numărul minim de apariţii al fiecărui desen, să se determine în câte moduri poate fi aranjată expoziţia, ştiind că Ilinca are la dispoziţie oricâte copii doreşte.

Algorel a primit un joc care conţine n jetoane pe care sunt scrise litere mari ale alfabetului. Fiecare literă are asociat un cod format dintr-o singură cifră nenulă. Jetoanele se aşează în ordinea dată iniţial, iar prin citirea literelor de pe acestea, de la primul la ultimul jeton, se formează un cuvânt. Dacă se citesc numerele de pe fiecare jeton, începând de la primul la ultimul, se obţine un număr k1. Jocul continuă la fel, dar se aşează jetoanele începând de la al doilea la ultimul, obţinându-se un nou număr k2. Apoi, se aşează jetoanele începând de la al treilea la ultimul, obţinându-se un nou număr k3, ş.a.m.d. până se ajunge la aşezarea doar a ultimului jeton, caz în care se obţine numărul kn.

Scrieţi un program care citeşte numărul n de jetoane, cele n litere asociate jetoanelor, precum şi codurile asociate literelor, în ordinea apariţiei lor şi afişează:

a) numărul de perechi de litere consecutive din cuvântul iniţial care au proprietatea că o literă este vocală şi cealaltă este consoană (ordinea lor nu contează);
b) numărul k1, format din aşezarea iniţială a jetoanelor;
c) suma k1+k2+…+kn.

Pasiunea Mirunei este să coloreze. Vacanţa trecută şi-a petrecut-o la bunica ei la ţară şi pentru că se cam plictisea s-a gândit să vopsească gardul de la casa bunicii.

1. Dacă o scândură era vopsită cu alb, următoarea scândură o vopsea obligatoriu cu albastru
2. Dacă o scândură era vopsită cu albastru, atunci următoarea scândură o vopsea cu alb sau roşu
3. Dacă o scândură era vopsită cu roşu, atunci următoarea scândură o vopsea cu albastru sau verde
4. Dacă o scândură era vopsită cu verde, atunci următoarea scândură o vopsea cu roșu sau galben
5. Dacă o scândură era vopsită cu galben, atunci următoarea scândură o vopsea obligatoriu cu verde

După ce a și-a terminat treaba Miruna își admira “opera de artă” și se întreba în câte moduri diferite ar fi putut să vopsească gardul bunicii.