Lista de probleme 4

Filtrare

Dificultate

Operații intrare/ieșire


Etichete

#1110 Spion1

Spionul 008 vrea să găsească o locație secretă în junglă, având asupra lui un dispozitiv de localizare. Iniţial spionul se află la intrarea în junglă pe nivelul 1 şi cu fiecare pas, el avansează de la nivelul i la nivelul i+1, ajungând la locaţia secretă, aflată pe ultimul nivel, în poziţia u faţă de marginea stângă a nivelului curent. Pentru a ajunge în locaţia secretă, el poate să se deplaseze cu o poziţie spre Sud-Est (codificat cu caracterul E) sau spre Sud-Vest (codificat cu caracterul V), trecând de pe nivelul i pe nivelul i+1 cu viteză constantă. Numărul de poziţii de pe un nivel creşte cu unu faţă de nivelul anterior, conform imaginii alăturate. Numim traseu o succesiune formată din caracterele E sau V, corespunzătoare deplasării spionului de pe nivelul 1 la locaţia secretă. Pentru exemplul din figura alăturată succesiunea de caractere VEEVE reprezintă un traseu ce corespunde locaţiei secrete din poziţia 4 a nivelului 6.

Cunoscând succesiunea de caractere corespunzătoare unui traseu, determinaţi:
a) poziţia locației secrete de pe ultimul nivel;
b) numărul de trasee distincte pe care le poate urma spionul plecând din poziţia inițială pentru a ajunge în locaţia secretă corespunzătoare traseului dat. Două trasee se consideră distincte dacă diferă prin cel puţin o poziţie.

#2000 Sir9

Corneluș a învățat să numere. El pornește întotdeauna de la 1, numără din 1 în 1, nu greșește niciodată numărul următor, însă ezită uneori și atunci spune numărul curent de mai multe ori. Sora lui, Corina, îl urmărește și face tot felul de calcule asupra modurilor în care numără fratele ei. Astfel, ea urmărește până la cât numără (U), câte numere spune în total (N) și, pentru a aprecia cât de ezitant este, numărul maxim de repetări (R) ale unei valori. De exemplu, el poate număra până la 8 astfel: 1 2 3 3 4 5 6 7 7 7 7 8 8. În acest caz, numără până la 8 (U=8), spune 13 numere (N=13) și ezită cel mai mult la 7, spunându‑l de 4 ori (R=4).

Cerințe

1) Cunoscând numărul total de numere N și ultimul număr spus U, trebuie să calculați câte șiruri diferite au exact N numere și se termină cu numărul U.
2) Cunoscând numărul total de numere N și numărul maxim de repetări R ale unei valori, trebuie să calculați câte șiruri diferite au exact N numere și fiecare valoare se repetă de cel mult R ori.
Deoarece numărul de șiruri poate fi foarte mare, calculați restul împărțirii acestui număr la 20173333.

#3123 summy

Se dau n şi k numere naturale. Calculați suma \( \sum_{i=1}^{n}i^{k} \).

Aleku Turcul este la ora de matematica. În timp ce el încearcă să-și dea seama dacă 1+1=2, profesorul scrie pe tablă o problemă ceva mai complicată. Se dau Q queryuri și o listă S cu P elemente egale cu 0. Notăm cu A un șir, care inițial este vid. Queryurile pot fi de forma:
- 0 x (inserează valoarea x în A)
- 1 x (șterge valoarea x din A; se garantează că există cel puțin o valoare de x în A)
Se garantează că A nu va fi niciodată vid după vreun query. După fiecare query profesorul îi pune lui Aleku următoarea întrebare: oare pot așeza în lista S toate numerele din A (nu neapărat în ordinea în care se află în A) astfel încât:

  • elementele din A se vor așeza în S pe poziții distincte, restul pozițiilor din S fiind ocupate de elemente cu valoarea 0
  • fie S[i] un element nenul din S și S[j] cel mai apropiat element nenul care se află în stânga lui S[i] în S. Atunci următoarea condiție trebuie respectată: i - j ≥ S[i]
  • fie f poziția celui mai din stânga element nenul din S. Atunci f ≥ S[f].

Dacă răspunsul la întrebarea profesorului este da, atunci să se spună și câte configurații diferite se pot obține. Deoarece răspunsul la întrebare poate fi foarte mare, acesta se va afișa modulo 1.000.000.007. Dacă răspunsul este nu, se va afișa -1.
Ajutați-l pe Aleku sa răspundă corect la întrebările profesorului pentru ca sa obțină nota 10. Media lui depinde de aceasta!