Lista de probleme 30

Se dau n numere naturale. Pentru fiecare număr k dat, să se afle cea mai lungă secvenţă de numere naturale consecutive din şirul 1,2,3,...,k, astfel încât orice număr din secvenţă să nu fie prim.

Se dă un şir format din n numere naturale nenule. Aflaţi cel mai mic număr natural, diferit de 1, care divide un număr maxim de numere din şir.

Fie N un număr natural nenul şi N numere naturale nenule: x1, x2,…, xN.
Fie P produsul acestor N numere, P=x1•x2•...•xN.

Scrieţi un program care să citească numerele N, x1, x2,…, xN şi apoi să determine:
a) cifra zecilor produsului P;
b) cel mai mic număr natural Y, pentru care există numărul natural K astfel încât YK=P.

Popel, elev de liceu calificat la barajul pentru Lotul Național de Informatică, tocmai a învățat ciurul lui Eratostene, pentru aflarea numerelor prime, al cărui algoritm este descris astfel:

prim[i]=1, oricare ar fi i de la 2 la N
pentru i de la 2 la N:
	dacă prim[i] este 1:
		pentru j de la 2*i la N din i în i:
			prim[j] = 0

Din cauza oboselii și a stresului, Popel a inițializat greșit șirul prim, punând pe unele poziții 0 în loc de 1. După ce a executat algoritmul pe șirul prim greșit inițializat, a obținut un nou șir pe care l-a notat pe o foaie de hârtie. Mai târziu, nu își mai amintea șirul inițial prim, dar mai avea șirul final pe care l-a obținut. În plus, nu mai era sigur dacă unele valori din șirul final le-a notat corect, așa că le-a marcat cu caracterul "?". Popel vă roagă să aflați un șir inițial cu proprietatea că dacă ar executa algoritmul de mai sus asupra lui, ar obține un șir care s-ar potrivi cu șirul final notat pe foaie. De asemenea, el își dorește ca șirul inițial să aibă un număr cât mai mare de cifre de 1.

Fie un șir de numere naturale nenule a[1], a[2], …, a[n] și un număr natural k. Să se determine un grup de k numere din șir care au proprietatea că cel mai mare divizor comun al lor este maxim. Dacă există mai multe astfel de grupuri, se cere acel grup pentru care suma elementelor este maximă.

Se dă un şir de n numere naturale nenule x1, x2, …, xn şi un număr natural m. Să se verifice dacă valoarea expresiei \( \sqrt[m]{ x_1 \cdot x_2 \cdot … \cdot x_n } \) este un număr natural. În caz afirmativ să se afișeze acest număr descompus în factori primi.

Se consideră un şir cu N numere naturale a[1], a[2], …, a[N]. Asupra unui element a[i] din şir se pot efectua operaţii de incrementare (adunare cu 1: a[i] = a[i] + 1) sau decrementare (scădere cu 1: a[i] = a[i] - 1). Fiecare element din şir poate fi incrementat sau decrementat de oricâte ori. Dat fiind șirul celor N numere naturale, să se determine:
a. numărul total minim de operaţii necesare pentru a transforma toate numerele din şir în numere prime;
b. numărul minim de operații (incrementări şi decrementări) ce trebuie să fie efectuate asupra elementelor şirului astfel încât să existe o secvență de lungime K formată numai din numere prime.

Gigel, mare amator de probleme de matematică şi informatică, a observat că unele numere prime au o proprietate interesantă: orice cifră ar elimina dintr-un astfel de număr, numărul obţinut este tot număr prim. A numit astfel de numere numere extraprime. De exemplu, numărul 317 este un număr extraprim: el este număr prim şi, în plus, dacă eliminăm cifra 3, obţinem 17, care este prim; dacă eliminăm 1, obţinem 37, care este prim; dacă eliminăm 7, obţinem 31, care este şi el număr prim.

Spunem că x este între a şi b dacă x≥a şi x≤b. Fiind date două valori naturale a şi b, să se determine câte numere extraprime există între a şi b, precum şi cel mai mic şi cel mai mare număr extraprim dintre a şi b.

Gigel a aflat la matematică definiţia factorialului unui număr natural nenul n. Acesta este produsul tuturor numerelor naturale începând cu 1 şi terminând cu numărul respectiv şi se notează cu n!. Astfel, factorialul numărului natural 6 este 6!=1*2*3*4*5*6 şi este egal cu 720. Factorialele numerelor naturale cresc însă extrem de repede. De exemplu, 7!=5040 în timp ce 10!=3628800.

Fiind un bun matematician, Gigel a imaginat o altă metodă de a indica factorialul unui număr. Astfel, el ştie că un număr natural nenul se poate descompune în factori primi. De exemplu 720 poate fi scris ca 24*32*51. Gigel codifică descompunerea în factori primi astfel: 4 2 1 însemnând faptul că în descompunerea lui 720 în factori primi apare factorul 2 de 4 ori, factorul 3 apare de două ori şi factorul 5 apare o dată. Cu alte cuvinte, Gigel indică pentru fiecare număr prim ≤ n puterea la care acesta apare în descompunerea în factori primi a lui n!.

Scrieţi un program care să citească o secvenţă de numere naturale nenule şi care să afişeze în modul descris în enunţ factorialele numerelor citite.

În planul xOy se desenează un dreptunghi cu laturile paralele cu axele de coordonate. Coordonatele vârfurilor din stânga-jos şi dreapta-sus ale dreptunghiului sunt: (0,0) şi (c,d). Fie P mulţimea punctelor situate în interiorul dreptunghiului, ale căror coordonate sunt numere naturale. Prin desenarea unui număr minim m de segmente de dreaptă, se uneşte vârful de coordonate (0,0) cu fiecare punct din mulţimea P. Astfel, fiecare punct din P va aparţine interiorului unui segment din cele m sau va fi o extremitate a unui segment din cele m.

Scrieţi un program care să citească numerele naturale c şi d, şi care să determine numărul minim m de segmente de dreaptă desenate.