Lista de probleme 3

Se consideră şirul crescător 1, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, ..., în care fiecare număr natural nenul i apare de 2i-1 ori. Elementele unei matrice A cu M linii şi N coloane au valori astfel încât, parcurgând matricea de sus în jos, pe linii, și de la stânga la dreapta pe fiecare linie, se obțin primii M x N termeni ai șirului precizat. O submatrice a lui A este definită de patru valori, l1, c1, l2, c2 şi este formată din elementele Ai,j cu proprietatea că l1 ≤ i ≤ l2 și c1 ≤ j ≤ c2. Determinaţi suma elementelor pentru fiecare dintre Q submatrice date ale lui A.

Prințul Mugurel trebuie să organizeze un nou spectacol pentru locuitorii din Imperiul Rațelor de Cauciuc. De data aceasta s-a gândit la ceva inedit: o cursă de natație pe Râul Macilor. Mugurel a adunat cele mai bune N raţe din imperiu, numerotate de la 1 la N, fiecare rață fiind caracterizată prin viteză şi nivel de rezistenţă. Pe Râul Macilor s-au amenajat M culoare de înot, numerotate de la 1 la M; pe fiecare culoar este câte o baliză, situată la o anumită distanță (în metri) față de linia de start, iar această distanță este strict mai mare decât distanța balizei de pe culoarul anterior. Mugurel alege M rațe dintre cele N, care sunt așezate adecvat la linia de start, fiecare pe câte un culoar de înot. Apoi, toate aceste rațe alese pornesc simultan, fiecare rață înoată pe culoarul ei, până la baliza corespunzătoare, și se întoarce înapoi la linia de start, pe același culoar. Durata cursei se măsoară de la pornirea simultană a rațelor, până la momentul când toate rațele ajung înapoi la linia de start. Determinați durata minimă pe care o poate avea cursa.

Áles se află într-un castel, reprezentat printr-o matrice A cu N linii și N coloane, fiecare element corespunzând unei camere. Fiecare cameră are asociat câte un număr natural de la 1 la N, care este memorat în elementul corespunzător din matrice. Oricare două camere cu același număr asociat sunt conectate printr-un tunel. De asemenea, fiecare cameră este conectată printr-o ușă cu o cameră vecină, elementele corespunzătoare acestora fiind în matrice pe acceași linie și pe coloane alăturate sau pe aceeași coloană și pe linii alăturate. Scopul lui Áles este să viziteze toate camerele, fiecare cel puțin o dată, astfel încât numerele asociate lor, în ordinea vizitării acestora, să formeze un şir crescător, începând de la 1.

Áles alege la început o cameră care are asociat numărul 1. Din fiecare cameră ce corespunde unui element \(A_{i,j}\) el poate vizita:

• folosind un tunel, orice cameră ce corespunde unui element \(i’,j’\) astfel încât \(A_{i’,j’} = A_{i,j}\).
• folosind o uşă, orice camera vecină cu un număr asociat consecutiv, deci care corespunde unui element \(i’,j’\) astfel încât \( |i’-i|+|j’-j|=1 \) și \(A_{i’,j’}=A_{i,j}+1\).
• folosind un teleportor, în orice cameră cu numărul asociat \(A_{i,j}+1\), la această metodă de deplasare putând să recurgă numai dacă nu poate ajunge la o astfel de cameră utilizând un tunel sau o uşă.

Ați înțeles, Áles doreşte să folosească teleportorul de cât mai puţine ori! El calculează mai întâi numărul minim necesar de teleportări pentru configurația inițială a camerelor, apoi face, pe rând, Q transformări succesive ale configurației, prin schimbarea numărului asociat pentru câte o cameră; după fiecare astfel de transformare, calculează din nou numărul minim necesar de teleportări pentru configurația respectivă.

Pentru configurația inițială, precum și după fiecare dintre cele Q transformări ale acesteia, în ordinea în care sunt realizate, determinați numărul minim de teleportări necesare pentru ca Áles să își îndeplinească scopul.