Lista de probleme 14

Păcală a reușit să ducă la bun sfârșit înțelegerea cu boierul căruia-i fusese slugă și, conform învoielii, boierul trebuie să-l răsplătească dându-i o parte din livada sa cu pomi fructiferi. Boierul este un om foarte ordonat, așa că livada sa este un pătrat cu latura de N metri unde, pe vremuri, fuseseră plantate N rânduri cu câte N pomi fiecare. Orice pom fructifer putea fi identificat cunoscând numărul rândului pe care se află și poziția sa în cadrul rândului respectiv. Cu timpul, unii pomi s-au uscat şi acum mai sunt doar P pomi. Păcală trebuie să-și delimiteze în livadă o grădină pătrată cu latura de K metri.

Se consideră un şir cu N numere naturale a[1], a[2], …, a[N]. Asupra unui element a[i] din şir se pot efectua operaţii de incrementare (adunare cu 1: a[i] = a[i] + 1) sau decrementare (scădere cu 1: a[i] = a[i] - 1). Fiecare element din şir poate fi incrementat sau decrementat de oricâte ori. Dat fiind șirul celor N numere naturale, să se determine:
a. numărul total minim de operaţii necesare pentru a transforma toate numerele din şir în numere prime;
b. numărul minim de operații (incrementări şi decrementări) ce trebuie să fie efectuate asupra elementelor şirului astfel încât să existe o secvență de lungime K formată numai din numere prime.

Determinați câte momente palidromice au loc în k intervale de timp date.

Pe o linie orizontală se găsesc n greieri. Ei încep să stea „capră” într-o ordine prestabilită începând cu ultimul, pe rând, până la primul. Toţi greierii care îl preced pe cel care stă „capră” sar peste acesta, în ordine.

De exemplu pentru n=4, mai întâi stă „capră” greierul 4 și peste el sar, în ordine, 3, 2 și 1. Apoi stă „capră” greierul 3 și sar peste el, în ordine, 2, 1 și 4. Apoi stă „capră” greierul 2 și peste el sar, în ordine, 1, 3 și 4. Apoi stă „capră” greierul 1 și sar peste el, în ordine, 4 , 3 și 2, și se revine la ordinea inițială.

Scrieți un program care citește numerele naturale n și m și determină:

a) De câte sărituri este nevoie pentru a se ajunge la ordinea inițială?
b) Cum vor fi așezați greierii după m sărituri?

Gigel, mare amator de probleme de matematică şi informatică, a observat că unele numere prime au o proprietate interesantă: orice cifră ar elimina dintr-un astfel de număr, numărul obţinut este tot număr prim. A numit astfel de numere numere extraprime. De exemplu, numărul 317 este un număr extraprim: el este număr prim şi, în plus, dacă eliminăm cifra 3, obţinem 17, care este prim; dacă eliminăm 1, obţinem 37, care este prim; dacă eliminăm 7, obţinem 31, care este şi el număr prim.

Spunem că x este între a şi b dacă x≥a şi x≤b. Fiind date două valori naturale a şi b, să se determine câte numere extraprime există între a şi b, precum şi cel mai mic şi cel mai mare număr extraprim dintre a şi b.

La ONIGIM2013 participă N elevi de clasa a V-a având ca id-uri, în ordine, numerele naturale de la 1 la N. Anul acesta organizatorii au afişat la clasa a V-a toate punctajele distincte obţinute de elevi, în ordine strict crescătoare p1, p2,…, pK, şi un şir de N valori a1, a2,…, aN, unde ai reprezintă numărul de elevi care au punctaje strict mai mici decât punctajul elevului având id-ul i (1≤i≤N).

Cunoscând numărul de elevi (N), numărul de punctaje distincte (K) obţinute de elevii de clasa a V-a, punctajele p1, p2,…, pK, în ordine strict crescătoare, şi valorile a1, a2,…, aN cu semnificaţia din enunţ, să se scrie un program care determină:

a) Punctajul obţinut de fiecare elev în ordinea crescătoare a id-urilor.
b) Numărul de distincţii acordate de organizatori. Numărul de distincţii este egal cu numărul de elevi care au obţinut cele mai mari trei punctaje distincte.
c) Numărul maxim de elevi care au obţinut acelaşi punctaj.

Fie un șir de numere naturale. Se împarte şirul în patru secvenţe astfel încât orice element din şir să aparţină unei singure secvenţe şi fiecare secvenţă să conţină cel puţin două elemente. Pentru fiecare secvenţă se determină costul ei ca fiind diferenţa dintre valoarea maximă şi cea minimă din acea secvenţă.

Considerăm şirul de numere naturale nenule distincte \(a_1,a_2, …,a_N\). Notăm cu \(L_i\) lungimea maximă a unei secvențe de elemente cu valori consecutive care se poate obţine prin ordonarea crescătoare a primelor i elemente din şirul dat. Să se determine \(L_1,L_2, …,L_N\).

Un număr natural nenul n se numește cumpănit dacă în descompunerea sa în factori primi suma bazelor este egală cu suma exponenților. Să se scrie un program care citește două numere naturale nenule a și b și determină toate numerele cumpănite din intervalul închis [a, b].

Miruna se pregăteşte de vacanţa de vară. Ea a hotărât deja că împreună cu un grup de colegi să facă o excursie în regatul INFO unde moneda locală se numeşte BOSS. A studiat deja harta acestei zone şi a aflat multe lucruri interesante. Ea ştie că regatul se află pe o insula cu suprafaţa uscatului sub forma dreptunghiulară ce poate fi reprezentată ca o matrice cu N linii şi M coloane în care fiecare element este un cod pentru un tip de obiectiv turistic ce poate fi vizitat. Deoarece sosirea şi plecarea de pe insulă se face cu avionul, ea cunoaşte poziția (l0,c0) unde va fi debarcată şi poziţia (lf,cf) unde va fi plecarea de pe insulă. Ea se poate deplasa pentru vizitarea obiectivelor turistice doar în celule vecine pe cele opt direcţii (N, S, E, V, NE, NV, SE, SV), iar dacă nouă poziţie are alt cod decât cel din care venise la pasul precedent, atunci trebuie să plătească o taxa de vizitare egală cu produsul codurilor celor doua zone (exprimată tot în moneda locală, BOSS!!!). Miruna ar dori să afle care ar fi suma minimă necesară pentru a se deplasa până la locul de plecare de pe insulă. Dându-se configuraţia regatului şi poziţiile de plecare şi sosire, să se determine suma minimă necesară
deplasării.