Lista de probleme 13

După o confruntare eroică, Trump a fost ales democratic președintele unei republici prospere, TrumpLandia. Natural, prima sa prioritate e să construiască o rețea de buncăre, pentru a veni în întâmpinarea unui atac al vecinilor imperaliști.
N buncăre au fost deja construite. Trump trebuie să aleagă între M posibile rute bidirecționale pentru a le conecta. Un plan de conectare este alcătuit dintr-un subset minim de astfel de legături, astfel încât din fiecare locație să se poată ajunge în orice altă locație. Costul unui plan este dat de suma distanțelor legăturilor.

Deoarece rutele sunt vulnerabile la bombardamente aeriene, Trump vă cere să estimați un plan de cost minim. În plus, Trump vă cere să calculați Q soluții de rezervă, pentru situația în care una dintre cele M legături este sigur inclusă în plan.

Definim recursiv nivelul unui nod într-un arbore cu rădăcină astfel:
• nivelul rădăcinii este 0
• nivelul fiilor unui nod cu adâncimea H este H+1
Fie S(R,H) numărul de noduri din subarborele cu rădăcina în R și care au adâncimea H. Subarborele nodului R îl include și pe el însuși. Doi arbori cu rădăcinile R și R’ sunt similari numai dacă S(R,H) este egal cu S(R’,H), pentru oricare număr natural H.

Se consideră un arbore cu N noduri și rădăcina în nodul 1. Nodurile sunt numerotate de la 1 la N.
Fie TX = subarborele cu rădăcina în nodul X. Se cere să se calculeze numărul de perechi (X,Y) astfel încât subarborii TX și TY sunt similari și X<Y.

Gigel se joacă cu un graf orientat cu N noduri. Inițial toate nodurile grafului sunt transparente, dar lui Gigel îi place schimbarea. Fire ambițioasă, el colorează unele noduri în roșu, altele în negru, iar pe celelalte în alb (probabil din cauza crizei de vopsea colorată din 2017).

Gigel recrutează o armată de furnici pe care o așează în nodul 1, cu el în fruntea lor și se hotărăște să cucerească graful.În fiecare moment, Gigel poate trimite un număr de furnici din orice nod X (în care se află deja furnici) în vecinii lui X, cu condiția ca cel puțin o furnică să rămână în nodul X. Excepție de la această regulă face nodul 1, cel în care se află Gigel, unde nu este obligatoriu să rămână furnici.

Dacă într-un nod se află Gigel sau cel puțin o furnică, atunci acel nod se numește ocupat. Graful este cucerit atunci când Gigel a ocupat cel puțin un nod roșu și cel puțin un nod negru.

Sa se determine numărul minim de furnici pentru ca Gigel să cucerească graful.