Lista de probleme 28

Gigel a inventat un nou limbaj de programare pe care l-a numit GCL (Gigel Campion Language). În GCL pot fi utilizate maxim 26 variabile notate cu litere mici ale alfabetului englez. Valoarea inițială fiecărei variabile (la începutul execuției programului) este 0.

Un program în limbajul GCL este format dintr-o succesiune de comenzi, câte o comandă pe o linie. Scrieți un program care citește un program scris limbajul GCL și rezolvă următoarele două cerințe:

1. determină numărul de comenzi SCRIE care se execută;
2. determină rezultatele afișate de comenzile SCRIE din programul scris în limbajul GCL.

Tanaka are un arbore (un tri) cu N noduri numerotate de la 1 la N. El vrea să coloreze nodurile arborelui în alb sau negru astfel încât numărul de perechi (neordonate) de noduri înfrățite să fie maxim. Două noduri sunt înfrățite dacă și numai dacă ambele sunt albe și fie sunt legate direct printr-o muchie, fie lanțul elementar unic dintre ele conține doar noduri negre.
Dându-se un arbore cu N noduri, să se afle numărul maxim de perechi de noduri înfrățite ale sale care se poate obține.

În școala unde învață, Andrei și Bogdan cunosc alți N elevi, etichetați cu numerele 1, 2, …, N. Dintre cei N elevi, o parte sunt prietenii lui Andrei. O parte dintre cei N elevi sunt dușmanii lui Bogdan. Se cunosc atât tichetele prietenilor lui Andrei, cât și etichetele dușmanilor lui Bogdan. Directorul școlii dorește să organizeze o excursie la care să participe Andrei, Bogdan și S dintre cunoscuții acestora, astfel încât din grupul celor S elevi să facă parte cel puțin K1 dintre prietenii lui Andrei și cel mult K2 dintre dușmanii lui Bogdan. Dorind să evite evenimente neplăcute, directorul va alege cei S elevi astfel încât numărul total al absențelor acumulate de aceștia, notat Sm, să fie minim.

Cunoscând valorile N, S, K1, K2, etichetele prietenilor lui Andrei, etichetele dușmanilor lui Bogdan, precum și numărul absențelor acumulate de fiecare dintre cei N elevi, determinați valoarea Sm obținută pentru un grup ce satisface condițiile de mai sus.

Ana şi Bogdan joacă un nou joc – JBB (Jocul „Borcane cu Bomboane”). Pe tabla de joc sunt plasate N borcane cu bomboane. Se ştie câte bomboane se află în fiecare borcan: în borcanul i sunt B i bomboane (1≤i≤N).

Ca de obicei, Ana începe jocul, iar apoi cei doi jucători mută alternativ. Fiind prima la mutare, Ana alege un borcan din care va lua toate bomboanele.

Pe tabla de joc sunt trasate săgeţi care unesc borcanele. Mai exact, de la fiecare borcan i pleacă o singură săgeată către un alt borcan j. Săgeţile indică modul în care jucătorii se deplasează pe tabla de joc. Dacă există săgeată de la borcanul i la borcanul j, iar un jucător a luat bomboanele din borcanul i, atunci adversarul său e obligat să se deplaseze la borcanul j. Dacă în borcanul j va găsi bomboane, este obligat să le ia pe toate. Dacă borcanul j este gol, atunci adversarul poate să aleagă un alt borcan care conţine bomboane şi continuă jocul.

Evident, scopul fiecărui jucător este să aibă, la finalul jocului (atunci când toate borcanele au fost golite) cât mai multe bomboane.

Determinaţi numărul maxim de bomboane pe care Ana le-ar putea obţine respectând regulile jocului. Bineînţeles, atât Ana, cât şi Bogdan joacă optim (adică la orice pas, fiecare jucător va face cea mai bună mutare pe care poate să o facă).

Se consideră N, un număr natural nenul. Dorim să-l scriem pe N ca sumă a două numere naturale nenule x și y, astfel încât suma cifrelor numerelor x și y să fie maximă. Scrieţi un program care să rezolve următoarele cerinţe:

1. să determine suma maximă a cifrelor a două numere x și y cu proprietatea că x+y=N;
2. să determine două numere naturale nenule xmax și ymax cu proprietatea că xmax≥ymax, xmax+ymax=N, suma cifrelor lor este maximă, iar diferența xmax-ymax este maximă;
3. să determine două numere naturale nenule xmin și ymin cu proprietatea că xmin≥ymin, xmin+ymin=N, suma cifrelor lor este maximă, iar diferența xmin-ymin este minimă.

Fie G un graf neorientat cu 2 * N noduri și 3 * N - 2 muchii. Fiecare muchie este colorată în alb, negru sau roșu.
Se garantează următoarele:

• Există N-1 muchii albe. Capetele lor sunt noduri din mulțimea 1, 2, ..., N. Ele formează un arbore.
• Există N-1 muchii negre. Capetele lor sunt noduri din mulțimea N+1, N+2, ..., 2*N. Ele formează un arbore.
• Există N muchii roșii. Fiecare muchie are un capăt în mulțimea 1, 2, ..., N și celălalt capăt în mulțimea N+1, N+2, ..., 2*N.

Cele 2 * N capete ale muchiilor roșii sunt distincte două câte două. Cu alte cuvinte, fiecare nod din graf are exact o muchie roșie incidentă.
Numim ciclu hamiltonian special un ciclu care:

• vizitează fiecare nod al grafului exact o dată.
• nu parcurge consecutiv două muchii de aceeași culoare.
• începe din nodul 1, iar prima muchie parcursă este de culoare roșie.

Afișați un ciclu hamiltonian special al grafului G sau constatați că nu există niciun astfel de ciclu.

Se consideră un șir de N numere naturale. O parte dintre poziţiile șirului sunt nevirusate și acest lucru este marcat prin faptul că valoarea de la acele poziţii este 0. Restul poziţiilor sunt virusate și valoarea nenulă de la o poziţie virusată reprezintă costul cu care ea poate fi devirusată. Devirusăm o parte dintre poziţii și dorim ca în final să avem exact K poziţii nevirusate, iar costul total al devirusării să fie minim. O poziţie poate fi devirusată la un moment dat, dacă și numai dacă are cel puţin o poziţie vecină nevirusată. După devirusarea unei poziţii costul asociat acesteia se adună la costul total, poziţia devine nevirusată si orice altă poziţie vecină virusată va putea fi ulterior devirusată.
Cunoscând N, K și șirul de numere naturale să se determine costul minim cu care se pot obţine la final exact K poziţii nevirusate (incluzând şi poziţiile ce au fost iniţial nevirusate).

Se dă un șir de caractere de lungime N format din litere mari ale alfabetului englez și un număr întreg K. Asupra șirului se poate aplica în mod repetat următoarea operație: se alege o subsecvență de lungime cel putin K având toate elementele egale și se elimină din șir. Evident că prima dată operația se aplică asupra șirului inițial și ulterior asupra șirului obținut din aplicarea operației anterioare. Operația se aplică până când șirul devine șirul vid (de lungime 0) sau șirul nu mai conține subsecvențe de lungime cel puțin K cu toate elemente egale.
Cunoscând N, K și șirul de caractere, să se determine care este lungimea minimă la care poate fi redus șirul după aplicarea operațiilor într-un mod convenabil.