Lista de probleme 6

Ionel a primit la ora de matematica o problema interesantă. El are doua numere naturale X și Y și trebuie să determine un număr natural K astfel încât cel mai mic multiplu comun al numerelor X + K și Y + K să fie minim. Determinați valoarea lui K astfel încât cel mai mic multiplu comun al numerelor X + K și Y + K să fie minim.

A și B participă la un joc cu următoarele reguli:

• întotdeauna începe jucătorul A;
• el primește un număr natural n mai mare decât 1;
• jucătorul care este la mutare poate să scadă 1 din număr, sau să îl împartă la 2 (rezultatul fiind partea întreagă a împărțirii), apoi acest număr este dat adversarului, care va proceda la fel;
• jocul se va termina atunci când un jucător a ajuns la numărul 1.

Avem două tipuri de joc, în funcție de cum se termină:
1. Câștigă cel care primește de la adversar numărul 1;
2. Pierde cel care primește de la adversar numărul 1.

Un meci este format din mai multe game-uri consecutive, toate fiind de același tip. Vom considera, că cei doi jucători cunosc acest principiu înainte de începerea meciului și că vor juca optim de fiecare dată. De exemplu, dacă jocul este de tipul 1 (câștigă cel care primește 1) și game-ul începe cu valoarea n = 4, atunci A va câștiga, pentru că împarte la 2, iar B indiferent că scade 1 sau împarte la 2, îi va da lui A numărul 1, deci A va câștiga.
Dacă jocul este de tipul 2 și game-ul începe cu valoarea n = 4, atunci A va pierde, pentru că indiferent că scade 1 și îi dă lui B numărul 3, sau împarte la 2 și îi dă lui B numărul 2, B va împărți acest număr la 2 (3 / 2 = 1, 2 / 2 = 1) și îi va da lui A numărul 1, deci A va pierde.

Cunoscând tipul T al jocului, numărul G al game-urilor, respectiv valoarea de pornire pentru fiecare game, să se răspundă pentru fiecare caz în parte, dacă jucătorul A va câștiga (1) sau va pierde (0).

Pe vârfurile unui poligon regulat și-au făcut cuibul 𝑁 păsări. Cele 𝑁 vârfuri ale poligonului sunt numerotate cu numere de la 0 la 𝑁−1 în ordine sens trigonometric. Fiecare pasăre se găsește în câte un cuib. La un moment dat păsările își schimbe cuiburile. Se obține astfel o permutare (𝑐0 ,𝑐1 ,𝑐2 ,..., 𝑐𝑁−1) unde 𝑐𝑖 reprezintă cuibul în care s-a mutat pasărea care locuia inițial în cuibul 𝑖. Pentru ca toate păsările sa depună același efort cuiburile vor fi alese astfel încât distanța între cuibul inițial 𝑖 și cel final 𝑐𝑖 să fie aceeași pentru toate cele 𝑁 păsări. Se consideră toate permutările (𝑐0 ,𝑐1 ,𝑐2 ,..., 𝑐𝑁−1) obținute după mutarea păsărilor și se ordonează lexicografic. Scrieți un program citește două numere naturale 𝑁 și 𝐾 și care afișează permutarea situată pe poziția 𝐾 în ordine lexicografică după ordonarea permutărilor obținute prin mutarea păsărilor.

Tommy a descoperit bine-cunoscutul joc Minecraft, joc care este axat pe creativitate și construcție, permițând jucătorilor să construiască, folosind o multitudine de cuburi texturate, o lume tridimensională. Harta lumii lui Tommy este o suprafață pătrată, pe care sunt desenate pătrate egale, alăturate, ce pot fi albastre sau verzi. Fiecare pătrat albastru corespunde unui cub albastru și fiecare pătrat verde corespunde unui cub verde. Sursele de apă sunt reprezentate de pătrate de culoare albastră. Fiecare pătrat verde are atașat un cost, reprezentat de lungimea celui mai scurt drum până la o sursă de apă. Două pătrate alăturate aparțin aceluiași drum dacă au o latură comună. Drumul ajunge la o sursă de apă, dacă, ultimul pătrat de pe drum are o latură comună cu pătratul corespunzător sursei de apă. Lungimea drumului este reprezentată de numărul de pătrate care formează drumul. Costul unei suprafețe este reprezentat de suma costurilor pătratelor care formează suprafața.

Cunoscând harta ce corespunde lumii lui Tommy, să se determine:

• numărul zonelor dreptunghiulare pe care poate construi casa în modul Supraviețuire;
• aria suprafeței pe care-și construiește casa și costul acesteia în modul Creativ.

Boris este un elev pasionat de matematică. Ieri, învățătoarea a predat la școală o nouă lecție, ecuațiile matematice, și i-a dat o foaie cu exerciții ca temă. Ecuațiile din temă sunt de două tipuri: cu o necunoscută ( x ) și cu două necunoscute (x și y). Deoarece el este în clasa a 3-a, singurele operații matematice pe care le cunoaște sunt adunarea, scăderea și înmulțirea, deci doar acestea vor apărea în ecuații. Ele conțin și semnul egal, și paranteze deschise și închise. De asemenea, în timpul calculelor el nu va trebui niciodată să înmulțească două necunoscute. În dreapta semnului de egalitate nu va apărea x sau y, însă pot apărea expresii.

O variabilă poate apărea în trei moduri într-o ecuație: dacă x este necunoscuta, și trebuie înmulțită cu 12, aparițiile posibile ale expresiei sunt 12*x, x*12 și 12x. Deci, o posibilă ecuație poate fi: ((12x+4y)*4-244)=4*239+124-2*2*3.
Întrucât Boris este cel mai deștept elev din clasă, profesoara nu vrea ca acesta doar să găsească o soluție, ci dorește să găsească drept soluție doar numere prime sau să spună că nu există. El nu crede că se va descurca și vă cere ajutorul. Scrieți un program care, primind o ecuație ca cele descrise mai sus, verifică dacă aceasta are drept soluție numere prime, iar, în caz afirmativ, afișează soluția în care x are valoarea minimă.

Avem un coridor lung de lățime k și lungime n. Avem sarcina de a-l acoperi cu bucăți de gresii de dimensiuni 1 x k, 2 x k și 3 x k. Calculați în câte moduri distincte se poate acoperi coridorul cu cele 3 tipuri de gresii. Pentru că rezultatul este un număr mare, se cere restul împărțirii la 1.000.000.007.