Lista de probleme 29

Etichete

#3040 domino2

Într-un joc de domino, fiecare piesă este împărțită în două zone, în fiecare zonă fiind înscris un număr natural. Dacă jocul are dimensiunea d, în joc vor exista toate piesele distincte care se pot forma cu numere cuprinse între 0 și d. Două piese sunt considerate identice dacă au înscrise aceleași numere, indiferent de ordinea lor. Astfel, piesele (3,7) și (7,3) sunt identice. Suma tuturor numerelor de pe aceste piese este 12. Problema are două cerințe:
1. Dat fiind un șir format din N numere naturale nenule reprezentând dimensiunile unor jocuri de domino, să se determine pentru fiecare joc suma tuturor numerelor înscrise pe piesele din jocul respectiv.
2. Dat fiind un șir format din N numere naturale nenule reprezentând sumele tuturor numerelor de pe piesele unor jocuri de domino, se construiește mai întâi un șir de cifre, notat cu A, scriind în ordine toate numerele din șirul dat, fără spații între ele. Se cere să se construiască un șir strict crescător de numere naturale, notat cu B, parcurgând alternativ cifrele din șirul A de la stânga la dreapta și de la dreapta la stânga.

ONIGIM 2019 clasa a VII-a

#3044 comun1

Tocmai ai primit un șir v de K numere naturale nenule distincte. Plecând de la acest șir, te-ai gândit să construiești un șir w de N numere naturale distincte, astfel încât un număr x este în șirul w dacă și numai dacă exista inițial în șirul v sau se pot alege cel puțin două numere din șirul v astfel încât x este cel mai mare divizor comun al acelor numere. De exemplu, dacă v = {4, 6, 7} atunci w = {1, 2, 4, 6, 7}. Uimit de proprietățile matematice frumoase ale noului șir w, ai uitat din păcate șirul original v de la care ai pornit. Dându-se șirul w, să se găsească un șir posibil inițial v având un număr minim de elemente.

#3045 pro3

Se consideră 3 progresii aritmetice de numere naturale nenule. Notăm cu Pi, 1 ≤ i ≤ 3, mulțimile formate cu elementele progresiei i. Fie P = P1 \( \bigcup \) P2 \( \bigcup \) P3 reuniunea mulțimilor P1, P2, P3. Să se determine cardinalul mulțimii P.

ONI 2019 clasa a IX-a

#3046 telefon

Dorel, plictisit de puzzle-ul pe care l-a upgradat ieri, a decis să meargă afară cu ceilalți copii. El îi privește pe cei N copii cum joacă “telefonul fără fir”. Jocul decurge în felul următor:
  • Inițial, copiii se așază pe axa Ox, copilul i la distanța Xi metri față de origine.
  • Copilul cel mai aproape de origine alege un cuvânt secret și îl transmite celui din dreapta lui; cel din dreapta lui îl transmite următorului și așa mai departe până se ajunge la ultimul copil.

1. Care este durata minimă a jocului, dacă Dorel nu ia parte la joc?
2. Care este durata minimă a jocului, dacă Dorel ia parte la joc și se poziționează în mod optim pentru a minimiza durata jocului?

ONI 2019 clasa a IX-a

Fie șirul Fibonacci dat prin F1 = 1, F2 = 1 și relația de recurență Fk = Fk-1 + Fk-2, k ≥ 3. Se consideră un număr natural N. Să se scrie un program care determină numărul F al fracțiilor diferite ireductibile subunitare, ce se pot forma utilizând primii N termeni ai șirului Fibonacci.

#3064 copii1

Iliuță și Pandele au învățat la școală operații aritmetice cu numere naturale. Astfel cei doi frați exersează operațiile folosindu-se de o tablă. Iliuță spune un număr natural X, iar Pandele scrie pe tablă rezultatul înmulțirii tututor numerelor naturale de la 1 la X. Glumeț, Iliuță șterge cifrele egale cu 0 de la finalul numărului scris de Pandele.
Ca să îl ierte, Pandele spune și el un număr natural Y și îi cere lui Iliuță să determine un număr natural Z care este cel mai mare divizor al lui Y având un număr impar de divizori. Cunoscându-se numerele spuse de copii, scrieți un program care rezolvă următoarele cerințe:
1) afișează ultimele K cifre ale produsului calculat de Pandele, după ștergerea cifrelor egale cu 0 de la finalul acestuia;
2) afișează numărul Z cu semnificația de mai sus și numărul de divizori ai acestuia.

Într-o zi, Ioana a scris toate numerele naturale de N cifre fiecare îndeplinind, simultan, condițiile:
  • numărul format din primele două cifre este pătrat perfect;
  • a treia cifră este obligatoriu număr prim;
  • nu conține două cifre pare alăturate și nici două cifre impare alăturate.

De exemplu, numerele de trei cifre, scrise de Ioana, sunt: 163, 165, 167, 252, 363, 365, 367, 492, 812.
Cunoscându-se numerele N și X, scrieți un program care determină:
1) câte numere de N cifre îndeplinesc cele trei condiții din enunț;
2) care este cel mai apropiat număr de X, diferit de X, care să îndeplinească cele trei condiții din enunț și care să aibă același număr de cifre ca X. Dacă există două astfel de numere, egal depărtate de X, se va afișa cel mai mic dintre ele.

ONI 2019 clasa a V-a

#3034 drept1

Numim poligon drept un poligon cu laturile consecutive perpendiculare și lungimile laturilor numere naturale nenule. Un poligon drept cu n laturi este descris de un șir de n numere întregi nenule în care lungimile laturilor sunt date de valoarea absolută a numerelor din șir, iar semnul precizează poziția laturilor, un număr pozitiv însemnând latură spre dreapta sau în sus față de extremitatea laturii precedente, iar un număr negativ însemnând latură în jos sau spre stânga față de extremitatea laturii precedente; de exemplu șirul 1, 1, -1, -1 reprezintă un pătrat de latură 1 (prima latură spre dreapta, a doua în sus, a treia spre stânga, a patra în jos). Vom considera laturile ca fiind orizontale sau verticale, prima latură enumerată fiind orizontală spre dreapta, dacă numărul este pozitiv, sau spre stânga, dacă numărul este negativ.
Se dau unul sau mai multe șiruri de numere întregi nenule.
1. Să se stabilească, pentru fiecare dintre ele, dacă reprezintă un poligon drept.
2. Știind că șirurile date reprezintă poligoane drepte, să se determine aria fiecăruia.

ONIGIM 2019 clasa a VIII-a

La nașterea unei fete în tribul Ragan Ama părinții trebuie să îi găsească cel mai frumos nume posibil. Sunt considerate nume frumoase doar anagramele unui cuvânt care, în limba lor, înseamnă “frumoasă ca roua dimineților, blândă ca mângâierea vântului printre frunze, binecuvântată de lumina soarelui și a lunii”.
Viața fetei va sta sub o stea norocoasă dacă numele său este cel mai mic din punct de vedere lexicografic, diferit de al oricăreia dintre fetele din trib. Fiindcă astăzi în trib s-a născut o fetiță, scrieți un program care, cunoscând numele fetelor din trib, rezolvă următoarele cerințe:
1. afișează numele pe care părinții ar trebui să i-l dea fetei pentru ca viața să-i stea sub o stea norocoasă;
2. determină câte nume frumoase, diferite de cele ale fetelor din trib, există.

Arheologii au găsit un artifact care pare să conțină o ecuație matematică, care folosește simbolurile unei scrieri necunoscute încă. O serie de ipoteze au început să apară, așa că ei își propun să rezolve ecuația în vederea descifrării simbolurilor. Ecuația conține N + M termeni, fiecare termen reprezentând un număr codificat printr-o înșiruire de simboluri, care au fost înlocuite cu literele mari ale alfabetului englez, de la A la Z. Se presupune că suma primelor N numere trebuie să fie egală cu suma ultimelor M numere. De asemenea, fiecare literă corespunde unei cifre de la 0 la 9, iar două litere diferite sunt asociate cu două cifre diferite. Se cere să se afle câte soluții distincte admite ecuația găsită.

ONI 2019 clasa a X-a