Lista de probleme 6

Se consideră un șir A format din N numere întregi, numerotate de la 1 la N. Numim secvență a șirului A orice succesiune de elemente consecutive din șir de forma A[i], A[i+1], …, A[j], cu 0 < i < j ≤ N. Fiind dat șirul A cu N numere întregi se cere să se răspundă la Q întrebări de forma: i j k (0 < i < j ≤ N). Pentru fiecare întrebare se cere să se determine câte numere din secvența A[i], …, A[j] au frecvența de apariții egală cu k.

Cristi, deja familiarizat cu noțiunea de densitate de la orele de fizică, își propune să o studieze și din perspectiva informaticii. Astfel, el alege un șir de N numere naturale A[1], A[2], …, A[N] și își dorește să experimenteze. Să se calculeze câte secvențe nevide au proprietatea că raportul dintre numărul elementelor pare din cadrul secvenței și lungimea secvenței este exact D.

Avem o suprafață dreptunghiulară pătratică de dimensiune n x n (n – impar). Colțul de dimensiune 1 x 1 din stânga-sus lipsește. Se dorește pavarea a cât mai mult din suprafața sa cu dale de dimensiune 1 x 2 (sau 2 x 1). Trebuie folosite cât mai multe dale și în plus, numărul de dale orizontale folosite trebuie să fie egal cu numărul de dale verticale folosite pentru pavare.

Crina și Rareș pornesc în călătoria imaginară spre Deva și pentru aceasta fiecare își construiește câte un autocar din piese de lego. Pentru a nu crea blocaje în trafic, intrarea autocarelor în oraș este gestionată de un semnal pe care este scris un număr natural S. Astfel, fiecare autocar ce ajunge în dreptul semnalului, trebuie să aștepte, un număr de minute egal cu valoarea absolută a diferenței dintre S și numărul de identificare al autocarului său.

1. Determinați numerele N1 și N2 astfel încât, autocarul fiecărui copil să aștepte cât mai puține minute la semnal.
2. Știind că autocarele celor doi copii au ajuns în același timp în fața semnalului, determinați numărul minim de minute de așteptare ale autocarului care va trece primul de semnal.

Fie D, K și P trei numere naturale. Să se determine numărul de numere naturale, notat cu T, având următoarele proprietăți:

• au exact D divizori;
• descompunerea în factori primi a acestor numere conține exact K numere prime;
• toți factorii primi din descompunerea numerelor sunt mici sau egali cu P.

Fie N un număr natural. Definim o partiție pe două linii a numărului N ca fiind două șiruri nevide de numere naturale a1, a2, …, ak și b1, b2, …, bp (k ≥ p), cu proprietățile:

• a1 > a2 > ... > ap > ... > ak
• b1 > b2 > ... > bp
• b1 ≤ a1 , b2 ≤ a2 , …, bp ≤ ap
• a1 + a2 + ... + ak + b1 + b2 +... + bp = N

Să se scrie un program care citește numărul natural N și determină numărul P de partiții pe două linii ale numărului natural N.