Lista de probleme 93

Undeva, în deșertul Sahara, ilustrul biolog Sahraa Gaea a conceput și construit un sistem de irigații ingenios, sistem cu care își propune să irige o zonă deșertică dreptunghiulară bogată în nutrienți minerali. Zona deșertică este împărțită în N*M pătrate de latură unitate. În fiecare pătrat se află un dispozitiv de picurare ce asigură o anumită cantitate de apă în funcție de comanda primită de la centrul de control al sistemului.

Sistemul de irigare este astfel conceput încât să irige (ude), pe baza unor comenzi automatizate, parcele dreptunghiulare ale regiunii deșertice.

Orice parcelă are laturile paralele cu laturile zonei deșertice și este identificată prin coordonatele colțurilor stânga-sus (x1,y1), respectiv dreapta-jos (x2,y2). La fiecare comandă se specifică parcela care va fi udată și cantitatea de apă (exprimată în litri) cu care va fi irigat fiecare pătrat al acesteia.

Un pătrat al zonei deșertice devine fertil dacă acumulează cel puțin Q litri de apă.

Să se determine aria maximă a unei suprafețe conexe fertile. Prin aria unei suprafețe înțelegem numărul de pătrate ce compun suprafața. Orice două pătrate fertile care au o latură comună fac parte din aceeaşi suprafaţă conexă fertilă.

Alex a accesat fonduri europene și a pus bazele unei afaceri profitabile, constând în creșterea viermilor de mătase. Viermii de mătase se hrănesc cu frunze de dud, iar Alex are mulți duzi în grădină. El a observat că dacă așează un vierme de mătase pe o frunză de dud, acesta va mânca toată frunza într-un timp care depinde doar de mărimea suprafeței frunzei.

Alex a decis să le aplice viermilor săi de mătase un test de inteligență. În acest scop, a pus în practică următorul experiment științific: pe o bară îngustă, liniară, a așezat de la stânga la dreapta n frunze de dud având suprafețele s[1], s[2], … s[n], la distanțe x[1], x[2],…, x[n] milimetri față de capătul din stânga. Alex a așezat un vierme de mătase pe frunza cu numărul de ordine k. Pentru oricare frunză i, viermele de mătase va mânca frunza în s[i] secunde, unde s[i] este mărimea suprafeței frunzei. După ce mănâncă în întregime o frunză, viermele pornește imediat cu viteza de 1 milimetru/ secundă spre următoarea frunză, care poate fi la stânga sau la dreapta sa. Altfel spus, el își poate schimba dacă e cazul, sensul de deplasare după ce mănâncă o frunză.

Alex ar dori să știe care este numărul maxim de frunze de dud pe ar putea să le mănânce în întregime cel mai inteligent vierme de mătase pe care îl are, având la dispoziție timpul de maxim t secunde.

Cunoscând n, k, t, distanțele x[1], x[2], .., x[n] și suprafețele s[1], s[2], …, s[n] cu semnificațiile descrise mai sus, să se determine numărul maxim de frunze pe care un vierme de mătase poate să le mănânce în întregime, într-un timp cel mult egal cu t, dacă este plasat inițial pe frunza k.

Se consideră un număr natural N și fie A mulţimea tuturor numerelor naturale cuprinse între 1 şi N2.

Numim partiție a mulțimii A un set de submulțimi A1, A2, ..., AN cu proprietățile:

• Reuniunea celor N submulțimi are ca rezultat mulțimea A;
• Intersecția oricăror două submulțimi distincte este mulțimea vidă;
• Numărul de elemente ale fiecărei submulțimi Ai, 1 ≤ i ≤ N, este N;
• Elementele fiecărei submulţimi sunt aşezate în ordine crescătoare;

Să se scrie un program care determină o partiție a mulțimii A cu proprietăţile:

• Sumele elementelor fiecărei submulţimi Ai, 1 ≤ i ≤ N, sunt egale;
• Pentru oricare submulțime Ai, 1 ≤ i ≤ N, diferența oricăror două elemente succesive ale sale este diferită de N+1 și de N-1;

Victor are la dispoziție multe cuburi din lemn, toate de aceeași dimensiune, fiecare fiind colorat cu una din culorile 0, 1, 2, …, 9. El a inventat un joc sub forma unui algoritm:

• Pasul 0 – Se inițializează variabila X cu zero.
• Pasul 1 – Se aleg la întâmplare un număr de cuburi și se formează cu ele un șir. Cuburile din șir sunt lipite unul de altul.
• Pasul 2 – Dacă toate cuburile din șir au aceeași culoare, atunci se afișează valoarea variabilei X și jocul se oprește. În caz contrar se trece la pasul 3.
• Pasul 3 – Se alege o culoare C și apoi toate cuburile de culoarea C se elimină din șir. Locurile cuburilor eliminate rămân temporar libere.
• Pasul 4 – Orice cub din șir va fi deplasat spre stânga lui, cât timp pozițiile vecine sunt libere. Se mărește X cu 1 la fiecare deplasare cu o poziție. Operațiile de deplasare se încheie când nu se mai pot efectua mutări spre stânga. Apoi se revine la pasul 2.

Se consideră un șir cu cel puțin două elemente reprezentând culorile cuburilor din șir. Se cere să se calculeze valoarea maximă pe care o poate avea X.

Anul 2154, undeva pe luxurianta planetă Pandora.

Aici coloniștii RDA (Resources Development Administration) doresc să-și stabilească o bază stelară pentru a exploata rezervele naturale de unobtainium, un minereu rar și prețios aflat din belșug pe munții plutitori (Hallelujah Mountains), munți ce plutesc lent purtați de curenții magnetici asemănător aisbergurilor în mare, pe suprafața planetei formată din gaz lichid.

Pentru prospectarea și exploatarea zăcămintelor de minereu este necesară cartografierea suprafeței planetei și întocmirea unei hărți digitizate reprezentate sub forma unui tablou bidimensional. Astfel, regiunea de interes geologic este împărţită în N×N pătrate teritoriale identice (zone), fiecare zonă fiind identificată prin tripletul (x,y,c), unde (x,y) reprezintă coordonatele zonei teritoriale (x – linia, y – coloana), iar c cota (înălțimea). Între zonele ocupate de munții există vaste zone de gaz lichid, zone care au cota 0.

Pentru recoltarea și transportul unobtainiumului către baza stelară coloniștii RDA folosesc spice-harvesters, nave speciale cu aterizarea pe verticală.

Aterizarea pe munții plutitori reprezintă o adevărată provocare pentru piloții RDA. Pentru a putea ateriza, piloții trebuie să identifice un sector plat (platformă de aterizare), platformă care să respecte designul trenului de aterizare al navelor (vezi figura alăturată). Platforma are forma unui pătrat de latură k ce este format din k*k zone teritoriale, astfel (k*k)-4 zone au aceeași cotă, iar cele 4 colțuri ale pătratului au cota strict mai mică decât restul zonelor pătratului.

Cunoscând descrierea a M zone teritoriale ce alcătuiesc munții plutitori să se determine coordonatele colțului stânga-sus al platformelor de aterizare pentru munții plutitori care permit aterizarea.

Fie N un număr natural cu proprietatea că (N, 10) = 1.
Să se determine lungimea perioada T a fracţiei zecimale periodice simple \(\frac{1}{N}\)

Rică a învățat la școală despre șiruri recurente și a primit ca temă să lucreze cu un anumit șir. Rică știe că primele elemente din acest șir sunt următoarele: 1,1,2,4,7,13,24,44,81,149,274,504. Tema lui Rică este să găsească termenul de pe locul X. Rică nu știa să zică… regula şirului nostru, de aceea el vă cere ajutorul.

Deduceți regula de formare a șirului și scrieți un program care să afișeze pentru un X dat, elementul din șir de pe poziția X.

În clasa a 10-a Alina, Bogdan şi Clara se întâlneau în fiecare săptămână să se joace BlitzCatan. Ei aveau la dispoziţie o repriză de 2 ore pe care o foloseau din plin, fiecare joc durând cel puţin 30 de minute. Cei trei prieteni, dornici să reţină cine a câştigat fiecare joc au vrut sa noteze într-un carneţel. Ei s-au temut ca cineva le va citi carneţelul, aşa că au procedat astfel:

• la finalul unui joc i, câştigătorul c, alege un număr secret \(m_i\) > 0 astfel încât \(m_i\) % 3 = c (Alina alege un multiplu de 3 când câştigă, Bogdan un multiplu de 3+1, Clara un multiplu de 3+2)
• la finalul celor 2 ore, ei calculează unde J este numărul de jocuri, şi notează T în carneţel

Cunoscându-se numărul N de tipuri de produse și cantitățile din fiecare produs, în ordinea în care sosesc de la magazie, să se stabilească numărul maxim de pachete care se pot obține prin alegerea convenabilă a perechilor de produse consecutive și programarea corespunzătoare a automatului, pentru fiecare pereche aleasă.

În seara dinaintea probei de concurs, Cobby a avut un vis demn de un Oscar, cu mai multe evenimente. Se făcea că lumea era reprezentată ca o matrice pătratică de latură N, cu liniile și coloanele numerotate de la 1 la N, în care fiecare element era inițial vid. Privind în jur, a realizat că atunci când visează un element al matricei, situat la intersecția liniei i cu coloana j, interiorul acestuia se împarte în N linii și N coloane, ca o nouă matrice. Apoi, dacă visează la un element din matricea nou formată sau
din cea inițială, se întâmplă la fel.

Pentru a nu se rătăci, eroul nopții a decis să atribuie un indice fiecărei matrice formată începând cu cea inițială căreia i-a asociat indicele 1. Matricele care se creează primesc indici numere naturale consecutive (2, 3, …), în ordinea în care se obţin. Astfel, fiecare element din visul lui Cobby este definit de 3 numere: id – indicele atribuit matricei din care face parte, i şi j – indicii liniei şi coloanei pe care se află elementul.

Cobby realizează că, oricât ar încerca, nu poate visa un element decât o singură dată. Pentru a face visul şi mai interesant, el reţine pentru fiecare matrice un număr natural denumit “coeficient de importanţă”, iniţial 0 pentru fiecare matrice din vis. Din când în când, eroul nostru alege una dintre matrice şi adaugă o valoare VAL la coeficientul de importanță al ultimelor NR matrice din care s-a obținut aceasta, inclusiv ea.

După ce au loc toate evenimentele din vis, Cobby vrea să ştie valoarea finală a coeficientului de importanţă pentru un șir de K matrice date prin indicii lor. Deoarece el se grăbeşte să participe la Concursul Naţional Urmaşii lui Moisil, îţi revine ţie misiunea de a găsi răspunsul pentru fiecare matrice.