Lista de probleme 90

Se dă o matrice pătratică de dimensiune n. Să se calculeze determinantul ei.

Dorel tocmai a aflat despre existenţa şirului lui Fibonacci: F₀=0, F₁=1, F₂=1, F₃=2, F₄=3, F₅=5,… . Pentru numerele n, k şi p date, Dorel vă roagă să calculaţi suma F_p + F_k+p + F_2•k+p + … + F_n•k+p.

Fie ∆ o permutare de gradul n. Se cere să se calculeze perioada principală a funcției f(x) = ∆x.

Se dau m şi n numere naturale nenule. Să se determine două numere naturale a şi b astfel încât c.m.m.d.c.(a+i,b+j)>1 pentru orice i=0,m-1 şi orice j=0,n-1.

Se dă un șir format din N numere naturale. Pentru fiecare valoare distinctă dintr-o subsecvență cuprinsă între doi indici st si dr considerăm distanța dintre indicii primei și ultimei apariții ale acesteia în cadrul subsecvenței. Dându-se M subsecvențe de forma [st,dr], se cere să se calculeze suma distanțelor corespunzătoare tuturor valorilor distincte din subsecvență.

O matrice pătratică de dimensiuni N x N cu liniile și coloanele indexate de la 1 la N se numește matrice șmecheră de Calafat dacă pe fiecare linie și fiecare coloană există exact două valori de 1, restul elementelor fiind 0.

Având două matrice șmechere de Calafat notate cu A și B, se cere ca prin interschimbări de linii și coloane să se transforme matricea B în matricea A.

Se consideră o matrice cu un număr infinit de linii și coloane indexate începând cu 0.
Pe prima linie matricea conține șirul numerelor naturale (0, 1, 2, 3 …).
Pe fiecare linie începând cu linia a doua pe poziția j matricea conține suma xor a elementelor situate pe linia anterioara de la poziția 0 până la poziția j.

Se cere să se răspundă la q întrebări de forma “Pentru i și j date, să se determine numărul situat pe linia i coloana j a matricei”. Pentru a genera cele q întrebări vor fi cunoscute următoarele valori: \( i_1, j_1, a, b, m \).
\( i_1, j_1\) reprezintă valorile pentru prima întrebare. Următoarele întrebări \( i_k, j_k \) vor fi generate una din alta folosind următoarea regulă:

\( {i}_{k} = \left (a* {i}_{k-1} +b \right) \text{ mod } m \)
\( {j}_{k} = \left (a* {j}_{k-1} +b \right) \text{ mod } m \)

Ovi este un băieţel foarte isteţ căruia îi place să scrie pe asfalt cu creta şi să ţopăie. El desenează cu cretă roşie un dreptunghi de lăţime exact 2 metri şi lungime N metri, pe care îl împarte în pătrate egale de latură 1 metru, unele laturi interioare fiind desenate cu cretă roşie, iar restul laturilor interioare cu cretă albă. Ovi porneşte din pătratul aflat în colţul stânga sus al dreptunghiului, sărind dintr-un pătrat în altul vecin pe linie sau coloană, cu condiţia ca latura care desparte cele două pătrate să nu fie colorată în roşu. El îşi doreşte ca prin sărituri succesive să ajungă în toate pătratele dreptunghiului, dar a observat că numai pentru anumite variante de colorare a laturilor pătratelor reuşeşte acest lucru.

Ajutaţi-l pe Ovi să numere câte posibilităţi de colorare în roşu a unor laturi interioare ale pătratelor sunt astfel încât plecând din colţul stânga sus să poată ajunge prin sărituri în oricare alt pătrat.

Păcală a primit, aşa cum era învoiala, un petec de teren de pe moşia boierului. Terenul este împrejmuit complet cu segmente drepte de gard ce se sprijină la ambele capete de câte un par zdravăn. La o nouă prinsoare, Păcală iese iar in câştig şi primeşte dreptul să strămute nişte pari, unul câte unul, cum i-o fi voia, astfel încât să-şi extindă suprafaţa de teren. Dar învoiala prevede că fiecare par poate fi mutat în orice direcţie, dar nu pe o distanţă mai mare decât o valoare dată (scrisă pe fiecare par) şi fiecare segment de gard, fiind cam şubred, poate fi rotit şi prelungit de la un singur capăt, celălalt rămânând nemişcat.

Cunoscând poziţiile iniţiale ale parilor şi valoarea înscrisă pe fiecare par, se cere suprafaţa maximă cu care poate să-şi extindă Păcală proprietatea. Se ştie că parii sunt daţi într-o ordine oarecare, poziţiile lor iniţiale sunt date prin numere întregi de cel mult 3 cifre, distanțele pe care fiecare par poate fi deplasat sunt numere naturale strict pozitive şi figura formată de terenul iniţial este un poligon neconcav.

Gigel primea de la mama lui, ca temă, o foaie pe care era scris un şir de N numere întregi. Singurul calcul pe care ştia să îl facă până acum era suma tuturor numerelor. Pentru aceasta el plasa N-1 semne de adunare, +, între numerele aflate pe poziţii consecutive în şir şi calcula astfel suma acestor numere. Între timp a crescut şi a învăţat şi operaţia de înmulţire pentru care foloseşte semnul *. Din şirul celor N-1 semne de adunare, îi trece prin minte să înlocuiască K semne + cu K semne *.
Îşi dă seama că tema se complică, deoarece înmulţirile trebuie efectuate înaintea adunărilor, dar nu se dă bătut şi duce calculul până la capăt.
Scrieţi un program care să determine valoarea minimă pe care o poate obţine şi valoarea maximă pe care o poate obţine după înlocuirea menţionată.