Lista de probleme 38

Filtrare

Dificultate

Operații intrare/ieșire


Etichete

Numărul 1 poate fi scris în diverse moduri ca sumă de fracţii cu numărătorul 1 şi numitorul o putere a lui 2. De exemplu:

1 = 1/2 + 1/2 = 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/8 = 1/8 + 1/4 + 1/2 + 1/8

Două scrieri nu sunt considerate distincte dacă folosesc aceleaşi fracţii scrise în altă ordine. În exemplul de mai sus ultimele două scrieri nu sunt distincte.

Pentru N – număr natural nenul să se determine:
a) O modalitate de scriere a numărului 1 ca sumă de exact N fracţii cu numărătorul 1 şi numitorul o putere a lui 2.
b) Numărul de scrieri distincte a numărului 1 ca sumă de exact N fracţii cu numărătorul 1 şi numitorul o putere a lui 2. Deoarece acest număr poate fi foarte mare acest număr trebuie calculat modulo 100003.

OJI 2014, Clasele XI-XII

Fie n cuburi de aceeaşi mărime, cu feţe colorate. Culorile sunt codificate prin câte o literă de la A la M. Pentru fiecare cub se cunosc culorile feţelor în ordinea: bază, capac, faţă frontală, faţă laterală dreapta, faţa din spate, faţă laterală stânga. Să se determine numărul maxim de cuburi care, răsturnate şi rotite convenabil, pot fi puse unul peste altul astfel încât să formeze un turn cu toate feţele uniform colorate (fiecare faţă a turnului sa fie de aceeaşi culoare, de la primul, până la ultimul cub al turnului).

Lot Juniori, Bistrita, 2009

#711 desc

Fie n un număr natural nenul, n > 1. Definim n(p) ca fiind descompunerea lui n în sumă de puteri naturale distincte ale numărului prim p.

Să se scrie un program care citeşte un număr natural n şi determină toate n(p) descompunerile numărului n.

Lot Juniori, Botosani, 2012

#707 sumk

sumk este un joc de perspicacitate, cu N stagii numerotate de la 1 la N. Un joc se termină cu succes dacă jucătorul a parcurs în ordine, de la 1 la N, toate cele N stagii ale jocului şi în fiecare stagiu a obţinut exact K puncte. Fiecare stagiu are N niveluri, numerotate de asemenea de la 1 la N. Jucătorul are posibilitatea să câştige 0, 1, …, K puncte pe oricare nivel al stagiului curent.

Dacă jucătorul se găseşte în stagiul i pe nivelul j și numărul total de puncte obţinute până în acel moment în acest stagiu este mai mic decât K, el va trece în mod obligatoriu pe nivelul j+1 al stagiului i. Dacă jucătorul primește cel puţin un punct pe nivelul j și astfel punctajul său în stagiul i devine exact K, atunci jucătorul trece în mod automat pe nivelul j al stagiului i+1 sau termină jocul cu succes dacă i=N.

Cunoscând numărul N de stagii ale jocului şi numărul K de puncte care trebuie să fie obţinute în fiecare stagiu, să se determine numărul de posibilităţi modulo 578537 pentru ca jocul să se termine cu succes.

Lot Juniori, Baia Mare, 2013

Ludwig are o permutare p=(p[1],p[2],...,p[N]) a mulțimii {1,2,..,N} și o masă pe care putea așeza numerele din permutare. Ludwig ia primul număr din permutare, adică p[1], și îl așează pe masă. Al doilea număr, p[2], îl pune fie în stânga lui p[1], fie în dreapta lui p[1]. La fiecare pas, dacă s-au așezat pe masă deja numerele p[1], p[2], …, p[i], atunci numărul p[i+1] este pus fie în stânga numerelor deja așezate, fie în dreapta lor.

Ajutați-l pe Ludwig să determine o modalitate de așezare a întregii permutări pe masă astfel încât în final să se obțină o nouă permutare care are un număr minim de inversiuni.

#1737 KSiruri

Se consideră un număr natural K și o secvență de N șiruri s[1], s[2], …, s[N]. Fiecare șir este format din cifre distincte. Pentru două șiruri s[i] și s[j] se definește operația de scădere () astfel: s[i]-s[j] va conține doar șirul de cifre care apar în s[i], dar nu apar în s[j]. De exemplu, dacă s[i]=(1,3,8) și s[j]=(2,9,3), atunci s[i]-s[j]=(1,8). Această operație nu este asociativă, (s[i]-s[j])-s[p] este diferită de s[i]-(s[j]-s[p]). De aceea, dacă se alege un subșir s[i1], s[i2], …, s[ip] din secvență, atunci convenim ca s[i1]-s[i2]-...-s[ip] să se execute de la dreapta la stânga.

Exemplu: (1,2,3)-(2,3)-(1,3)=(1,2,3)-(2)=(1,3). S-au obținut două cifre distincte.

Să se determine numărul subșirurilor nevide s[i1], s[i2], …, s[ip] din secvența s[1], s[2], …, s[N] asupra cărora, dacă se efectuează operația de scădere (adică s[i1]-s[i2]-...-s[ip]), se obțin cel puțin K cifre distincte. Pentru că numărul subșirurilor poate fi foarte mare, atunci el se va calcula modulo 123457.

Programatoarea Petra a început un curs de criptografie. Fiind un spirit creativ, Petra a creat deja o metodă elaborată de criptare a unei parole sub forma unei perechi (tabel de litere aparţinând mulţimii {‘a’...’z’}, dicţionar de cuvinte). Din păcate pentru Petra, metoda ei de criptare a parolei, poate fi decriptată de oricine astfel:

  • se iau tabelul de litere şi dicţionarul de cuvinte permise
  • se listează, sortează şi numără toate cuvintele care se găsesc în tabel. Un cuvânt \(c_1c_2:::c_k\) care există în dicţionar există şi în tabel dacă, fiecare literă ci apare în tabel şi pentru i>1, \(c_i\) este vecină în tabel cu litera \(c_{i-1}\).
  • din lista sortata de T perechi (\(cuvânt_i\), \(a_i\)), unde \(cuvânt_i\) este un cuvânt iar \(a_i\) este numărul de apariţii în tabel, reconstituie litera \(p_i\) a parolei astfel: \(p_i =\) ‘a’ + ( \(a_i\) mod 26). Încercând să îmbunătăţească algoritmul, Petra a decis să înlocuiască unele litere din tabel cu semnul întrebării '?'. Un semn '?' poate fi înlocuit cu orice literă când se parcurge tabelul. Convinge-o pe Petra că, în ciuda îmbunătăţirii, îi poţi găsi parola pornind de la orice pereche de (dicţionar, tabel de litere) dată.

Concursul EMPOWERSOFT, 2016

#1648 Diez

Negrimon a găsit într-o culegere această problemă #legendară: peste un şir de caractere de lungime N, alcătuit din litere mici ale alfabetului englez, se efectuează M operaţii de următoarele tipuri:

  1. Se inserează în şir caracterul x, pe poziţia p, după deplasarea cu o poziţie la dreapta a caracterelor situate pe poziţiile mai mari sau egale cu p. Dacă valoarea p este egală cu lungimea şirului, x este alipit la finalul şirului.
  2. Se răspunde cu 1 dacă secvenţa de litere care începe la poziţia q1 şi are lungimea lg coincide literă cu literă, cu secvenţa care începe la poziţia q2 şi are aceeaşi lungime lg şi se răspunde cu 0 în caz contrar. Este posibil ca cele două secvenţe să se suprapună complet sau parţial în şirul din care ele fac parte.

Fiind dat un şir de N litere mici şi o listă de M operaţii, să se afişeze răspunsurile la operaţiile de tip 2, respectând ordinea din succesiunea de operaţii date.

Urmasii lui Moisil, 2016

#615 Gate

După ce a ajutat la conectarea oraşelor Nordemos şi Suderim, Negrimon s-a hotărât să-şi urmeze destinul şi să devină un programamon roşu. Pentru a-şi începe călătoria, este nevoit să părăsească Udobje Lurrak şi să treacă prin Sha’ar Azih, poarta magică de la ieşirea din oraşul Estumar. Această poartă se bazează pe un sistem de runix-uri aşezate în linie, numerotate de la 1 la N. Un runix este un pătrat pe care este înscrisă o literă mică, din mulţimea
unui alfabet restrâns, format din primele L litere ale alfabetului englez. Alfabetul restrâns este circular, astfel încât după ultima literă urmează prima, iar înainte de prima literă este ultima literă din alfabet.

În starea iniţială a sistemului, primul runix este setat pe litera a, al doilea runix este setat pe următoarea literă din alfabetul restrâns ş.a.m.d .

Când Negrimon ajunge la poartă, aceasta prinde viaţă şi se produce un şir de acţiuni de următorul tip:

1. Runix-ul cu numărul r împreună cu toate runix-urile din stânga se deplasează şi se separă de cele din dreapta (dacă există), formându-se astfel două grupuri independente (iniţial toate runix-urile formează un singur grup).
2. Toate runix-urile din grupul din care face parte runix-ul cu numărul r execută o schimbare de pas p. Aceasta constă în înlocuirea literei asociate cu următoarea a p-a literă din alfabet (p > 0) sau cu precedenta a (-p)-a literă din alfabet (p < 0). Datorită circularităţii alfabetului, oricât de mare ar fi p va exista o literă care să fie la
distanţa p faţă de litera actuală.
3. Negrimon primeşte o întrebare de tipul: pe ce literă este setat runix-ul cu numărul r?

Poarta se deschide dacă Negrimon răspunde corect la toate întrebările primite şi astfel își poate continua călătoria în Azih Lurrak.

Ajutaţi-l pe Negrimon să deschidă poarta.

#149 scara

Claudia vrea să construiască o scară cu N trepte astfel încât prima treaptă să fie la înălţimea 0 şi ultima treaptă să fie la înălţimea H. Fiind pusă pe glume, ea îi cere arhitectului să proiecteze o scară neobişnuită, în care treptele sunt dispuse astfel încât, la un moment dat, să poţi urca, coborî sau rămâne la acelaşi nivel. Pentru a fi uşor de urcat sau coborât, valoarea absolută a diferenţei dintre înălţimile la care se află oricare două trepte consecutive trebuie să fie mai mică sau egală cu o valoare dată, K. Nicio treaptă nu se poate afla la o înălţime negativă sau la o înălţime mai mare decât H.

Scrieţi un program care să determine numărul de scări diferite cu N trepte, ce pot fi construite respectând cerinţele Claudiei. Deoarece numărul de scări poate fi foarte mare, determinaţi restul împărţirii acestui număr la 666013.

Urmasii lui Moisil, Iasi, 2013