Lista de probleme 184

Fiind date două tablouri bidimensionale a şi b, cu m linii şi n coloane fiecare, definim următoarele operaţii:

1. suma tablourilor a şi b, ca fiind un tablou c cu m linii şi n coloane, în care fiecare element este egal cu suma elementelor de pe aceeași linie şi aceeași coloană din a şi b. În acest caz folosim operatorul +, adică c=a+b.
2. produsul tablourilor a şi b, ca fiind un tablou d cu m linii şi n coloane, în care fiecare element este egal cu produsul elementelor de pe aceeași linie şi aceeași coloană din a şi b. În acest caz folosim operatorul *, adică d=a*b. Dacă a şi b sunt tablouri identice (a şi b au elemente identice pe aceeaşi poziţie), atunci pentru d se mai foloseşte şi notaţia a2 sau b2.

De exemplu, pentru m=2, n=3 şi tablourile:

se obține:

Fiind dat un tablou bidimensional a, cu m linii, n coloane şi componente numere naturale dorim să determinăm un şir de tablouri bidimensionale: b1, b2, …, bk cu număr minim de termeni (k minim), cu proprietatea că a=b12+b22...+bk2.

Se consideră două numere naturale nenule N şi K. Numim K-şir un şir de numere naturale cu K termeni.

Determinaţi numărul format din ultimele 4 cifre ale numărului de K-şiruri distincte cu proprietatea că fiecare dintre ele are cel mai mic multiplu comun al termenilor egal cu N.

Firma de transport la care lucrează Napocan trebuie să transporte un joc de biliard. Sarcina lui Napocan este să se ocupe de transportul celor 2n+1 bile ale jocului. Aceste bile sunt numerotate cu numere naturale distincte de la 1 la 2n+1. Pentru transportul lor se folosesc n+1 cutii numerotate de la cu numere naturale distincte de la 1 la n+1. În fiecare cutie încap exact două bile. Lui Napocan i se cere să distribuie bilele în cutii astfel încât:

în cutiile numerotate de la 1 la n să se afle câte două bile iar în cutia cu numărul n+1 să se afle o singură bilă

• pentru fiecare cutie numerotată de la 1 la n, modulul diferenţei dintre numerele celor două bile aflate în ea să fie egal cu numărul cutiei respective.

Determinaţi o modalitate de dispunere a celor 2n+1 bile în cele n+1 cutii care să corespundă cerinţelor impuse.

După ce au învăţat la şcoală numerele, Maria si Mihai au început sa se joace cu ele. Maria şi-a ales numărul 3 şi a spus că îi plac toate numerele ce se pot scrie ca sumă de una sau mai multe puteri distincte ale lui 3. De exemplu: 1 = 30, 91 = 34 + 32 + 30, 27 = 33, sunt numere care îi plac Mariei. Numărul 6 = 32 + 32 nu îi place Mariei (32 apare de 2 ori). Mihai, căruia îi place mereu să intre în competiţie cu Maria, a ales numărul 5 şi a zis că îi plac numerele ce se pot scrie ca sumă de una sau mai multe puteri distincte ale lui 5 (aceeaşi regulă ca la numerele care îi plac Mariei, dar folosind numărul 5). Jucându-se pe calculator, au găsit un fişier puteri35.in în care era scris un număr natural nenul n. Imediat, copii s-au gândit să scrie fiecare într-un fişier (pe care de comun acord l-au numit puteri35.out), fiecare, primele n numere care îi plac. Aici a apărut din nou discuţia: în ce ordine le vor scrie. În sfârşit, au căzut de acord să scrie toate cele 2·n numere în ordine crescătoare.

Dându-se un număr natural nenul n, obţineţi în ordine crescătoare toate cele 2·n numere, primele n numere care îi plac Mariei şi primele n care îi plac lui Mihai.

Gazonul unui teren de sport de formă dreptunghiulară este întreţinut cu o maşină de tuns iarbă. Dimensiunea terenului este de m rânduri şi n coloane de parcele pătratice de mărime 1×1 metri. Terenul este împrejmuit cu un gard prevăzut cu două porţi amplasate în două colţuri diagonal opuse ale terenului. Vom considera că poarta unu este amplasată în colţul din stânga-sus al terenului iar poarta doi în coltul din dreapta-jos.

Muncitorul care întreţine gazonul doreşte să facă o lucrare frumoasă şi totodată vrea să elimine şi mersul în gol al aparatului. El urmează întotdeauna acelaşi „algoritm” de parcurgere a terenului: intră pe gazon prin poarta unu şi iese prin poarta doi iar între aceste două porţi el urmează întotdeauna un traseu oblic şerpuit care urmează semidiagonalele terenului astfel încât să nu treacă de două ori prin aceeaşi porţiune. Modul în care este alcătuit acest traseu este ilustrat în exemplul următor pentru un teren de de mărime 5 x 8. Se observă că după ce tunde iarba din prima parcelă el se deplasează întodeauna pe orizontală.

În fiecare unitate de timp va fi tunsă câte o parcelă de mărime 1x1 metri. În figura anterioară, numerele care apar reprezintă unitatea de timp în care muncitorul se tunde iarba din parcela respectivă.

Maşina de tuns iarbă este foarte sensibilă la pietrele aflate accidental în iarbă: dacă lama de tăiere a maşinii loveşte o piatră maşina se strică. Din păcate, în timpul ultimului meci disputat un suporter needucat a aruncat o piatră pe teren. Fără să ştie acest „mic amănunt”, muncitorul s-a apucat de treabă, dar în momentul în care maşina a lovit piatra, el s-a oprit din activitate.

Cunoscând coordonatele pietrei (linie, coloană), calculaţi în a câta unitate de timp s-a întâmplat accidentul.

Pentru scrierea mesajelor soldaţii dintr-o unitate militară folosesc 9 litere mici: a, e, i, o, u, m, n, r, s şi caracterul spaţiu. Aceste litere sunt codificate cu ajutorul cifrelor 1, 2, …, 9 (în ordinea de mai sus), iar pentru caracterul spaţiu se foloseşte cifra 0. Astfel codificarea textului ana are mere se poate realiza prin numărul natural 171018206282.

Pentru a mări gradul de securitate a mesajelor transmise soldaţii relizează o supracodificare, înlocuind fiecare cifră k folosită la codicare cu puterea 2k. Astfel textul anterior se supracodifică astfel: 2128212256416442564.

Să se scrie un program care pentru o supracodificare dată, determină textul iniţial. Dacă există mai multe astfel de texte se vor determina toate.

Să se determine, dacă este posibil, un șir de piese de domino care respectă o anumită regulă.

Fiul risipitor primeşte de ziua lui o sumă de S lei. Începând din acea zi (considerată ca ziua 1) în fiecare zi se întâmplă unul dintre următoarele evenimente:

• Dacă S dă restul 0 la împărtirea cu 3 atunci el cheltuie două treimi din sumă.
• Dacă S dă restul 1 la împărtirea cu 3 atunci el primeşte 3A+2 lei de la tata.
• Dacă S dă restul 2 la împărtirea cu 3 atunci el primeşte 3B+1 lei de la mama.

Cunoscându-se S – suma iniţiala, A, B – numere cu semnificaţia din enunţ să se determine primele două zile în ordine cronologică în care fiul risipitor va avea aceeaşi sumă precum şi suma respectivă.

Ionel este mare pasionat al jocului Triburile. Ideea jocului este aceea că fiecare jucător deţine la un moment dat câteva sate dintr-o zonă şi încearcă să domine acea zonă cucerind satele deţinute în respectiva zonă de alţi jucători. Ionel a ajuns să deţină foarte multe sate şi îi este din ce în ce mai greu să-şi organizeze atacurile.

În acest moment el are n sate, numerotate de la 1 la n, şi urmează să organizeze atacuri coordonate asupra satelor duşmane. Ionel cunoaşte cât timp face armata din fiecare sat al său până la fiecare sat inamic.

Ionel a ales două sate inamice X şi Y pe care vrea să le atace. El s-a gândit la următorul scenariu: selectează k sate diferite ale sale şi trimite toate armatele din ele la atac asupra unuia dintre cele două sate inamice. Toate cele k atacuri trebuie să fie coordonate, adică toate trupele provenind din cele k sate trebuie să sosească în satul atacat exact la aceeaşi oră (pentru aceasta, ele pot pleca la momente diferite de timp). Se ştie că în urma acestui atac supravieţuiesc din fiecare sat al lui Ionel suficiente trupe care se întorc în satul de unde provin şi pot participa la un nou atac. Ionel va selecta apoi din nou k sate de-ale sale, printre care pot fi şi sate care au participat la primul atac, şi va lansa ofensiva asupra celuilalt sat inamic. Şi de data aceasta armatele provenind de la cele k sate trebuie sa ajungă în acelaşi timp la obiectivul pe care îl atacă.

Ionel doreşte ca timpul scurs de la plecarea primei armate până la momentul sosirii armatelor în cel de al doilea sat atacat să fie cât mai scurt, pentru a putea surprinde în felul acesta inamicul.

Vom considera că prima armată a lui Ionel va pleca la atac la ora 00:00, şi toate cele 2k atacuri îşi vor atinge ţinta cel târziu la ora 23:59 a aceleiaşi zile.

Timpul necesar revenirii unei armate în satul de origine după atacul asupra unui sat inamic este egal cu timpul necesar deplasării din satul de origine spre respectivul sat atacat, iar atacul este instantaneu (nu consumă timp).

Se cere să se determine ora la care ajung trupele în cel de al doilea sat atacat, conform cerinţelor de mai sus.

Considerăm un caroiaj dreptunghiular cu L linii şi C coloane. Liniile sunt numerotate de la 1 la L de sus în jos şi coloanele de la 1 la C, de la stânga la dreapta. Caroiajul este împărţit în L*C pătrate cu latura egală cu două unităţi (2). În fiecare pătrat al caroiajului se găseşte una dintre valorile 0 sau 1. Se cunoaşte o poziţie (i, j) a unuia dintre pătratele caroiajului (1 ≤ i ≤ L, 1 ≤ j ≤ C).

Trebuie construit un cerc care să îndeplinească următoarele proprietăţi:

• Centrul cercului să coincidă cu centrul pătratului din poziţia (i, j);
• Raza cercului să fie un număr natural nenul;
• Diferenţa dintre numărul de valori 1 şi numărul de valori 0 aflate în pătratele acoperite de cerc să fie maximă.

Considerăm că un pătrat este acoperit de cerc dacă pătratul şi cercul au cel puţin un punct comun (aflat pe contur sau în interior). Dacă un pătrat este complet inclus în interiorul cercului se consideră că şi acel pătrat este acoperit de cerc (în figură, cercul desenat “acoperă” inclusiv pătratul din poziţia (3, 4) ). Cercul din figură are raza 3.

Determinaţi diferenţa maximă ce se poate obţine cu constrângerile de mai sus.