Lista de probleme 160

Filtrare

#2472 fractal

Andra este o fetiță pasionată de desen. Pentru a-și îmbunătăți performanțele școlare la geometrie, Andra îmbină pasiunea pentru desen cu rezolvarea problemelor de geometrie. Astfel, pe o foaie de matematică împărțită în pătrățele dispuse pe \(2^N \) linii şi \(2^N \) coloane, Andra desenează în centru o figură de forma unui pătrat de latură \(2^{N-1} \) (figura 1) . Pentru fiecare colț al figurii, Andra desenează alte 4 noi figuri cu latura egală cu jumătate din latura figurii inițiale (Figura 2). Repetă procedeul de desenare pentru fiecare nouă figură obținută, până când ajunge la marginea foii de hârtie, fără a depăși marginile acesteia. Fiecare pătrățel care face parte dintr-o figură desenată este colorat, pentru a se distinge pe foaia de hârtie. Fiecare figură desenată este un pătrat cu laturile paralele cu marginile foii de hârtie.

Scrieţi un program care citește numărul N , corespunzător dimensiunii de \(2^N\) x \(2^N \) a foii de desen şi determină:

1) Numărul de figuri de latură minimă desenate;
2) Numărul total de pătrățele colorate cel puțin o dată de pe foaia de hârtie.

#2474 Evip

Un număr natural n se numește număr VIP dacă este format din cel puțin două cifre, conține cel puțin o cifră impară și cel puțin o cifră pară, iar toate cifrele impare sunt scrise înaintea tuturor celor pare. ( VIP = Valori Impare Pare). De exemplu, 352, 7546 sunt numere VIP, iar 35, 468, 5483, 387 nu sunt numere VIP. Se numește SECVENȚĂ VIP într-un șir de cifre, o succesiune de cifre (aflate pe poziții consecutive în șir) care formează, în ordine, un număr VIP.

Pentru un șir de cifre nenule, se cere să se determine:

1. Numărul de SECVENȚE VIP din șir.
2. Lungimea minimă a unui șir de cifre care conține același număr de SECVENȚE VIP ca șirul dat și are toate cifrele impare situate înaintea celor pare.
3. Suma tuturor numerelor ce se pot forma, astfel încât fiecare număr să conțină toate cifrele distincte ale celui mai mare număr VIP din șirul dat, fiecare cifră fiind folosită exact o dată, și nicio altă cifră diferită de acestea.

#2456 numinum

Se consideră următoarea structură de date. În vârful structurii se găsește fracția 1/1. Din fiecare vârf în care se găsește fracția p/q se formează alte două fracții trasând câte două segmente de dreaptă astfel: către stânga fracția p/(p+q) și către dreapta fracția (p+q)/q.
Cunoscând numărătorul, respectiv numitorul a două fracții ireductibile diferite din structură, determinați numărul minim de segmente de dreaptă cu care putem conecta în structura dată, cele două fracții.

ONI 2018, Clasa a IX-a

#2457 bazaf

În matematică factorialul unui număr natural nenul K este notat cu K! și este egal cu produsul numerelor naturale nenule mai mici sau egale cu K.
Orice număr natural N poate fi descompus cu ajutorul numerelor factoriale astfel:
N = 1! • f[1] + 2! • f[2] + 3! • f[3] + ... + m! • f[m]
unde coeficienții f[i], cu 1 ≤ i ≤ m sunt numere naturale și în plus f[m] ≠ 0.
Dintre toate aceste descompuneri posibile există o singură descompunere, numită descompunere în bază factorială care respectă suplimentar condițiile 0 ≤ f[i] ≤ i, cu 1 ≤ i < m și 0 < f[m] ≤ m.
1. Să se determine descompunerea în bază factorială a unui număr natural X dat.
2. Cunoscând o descompunere oarecare a unui număr natural Y să se determine descompunerea în bază factorială a acestuia.

ONI 2018 clasa a IX-a

#2517 panou

Gigel vrea să-şi deschidă o firmă de publicitate. Întrucât nu are experiență, s-a decis să înceapă modest închiriind Q panouri publicitare, din care la rândul lui va închiria anumite porțiuni. Astfel el s-a decis să divizeze fiecare panou de înălțime H într-un număr maxim posibil de regiuni/benzi orizontale, toate de înălțime h, deci identice, cu condiția să nu se suprapună. De asemenea, el a făcut o analiză a pieței și a asociat profitul P[h] ce l-ar putea obține pentru o regiune de înălțime h, 1 ≤ h ≤ hmax. Întrucât fiecare client are propria opinie despre dimensiunea reclamei perfecte, profiturile nu sunt corelate cu dimensiunile, astfel fiind posibil ca regiuni mai mici să genereze profit mai mare.
Cunoscând secvența profiturilor, P[1], P[2], …, P[hmax], Gigel își dorește să afle pentru o listă de panouri H[1], H[2], …, H[Q] care vor fi profiturile maxime asociate.

Lot juniori Câmpulung Muscel, 2018

#2556 hn

Fie N un număr natural și expresia \( H_N = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + … + \frac{1}{N}\). Determinați numerele naturale P și Q ce reprezintă numărătorul respectiv numitorul fracției ireductibile \( H_N = \frac{P}{Q}\).

Balcaniada de Informatică 2018, ziua 1

#2930 NREcou

Dorind să inventeze ceva nou Mate a inventat numerele “ecou”. Un număr natural A se numeşte număr-ecou dacă există un număr natural B cu proprietatea că numărul A se poate obţine prin concatenarea de un număr de ori (cel puţin de două ori) a numărului B. De exemplu numărul 313313 este număr-ecou, iar 31313 nu este număr-ecou.

Mate şi-a propus să afle câte numere-ecou sunt printre numerele naturale care au exact N cifre. Deoarece acest număr poate fi foarte mare, se va afişa doar restul împărţirii rezultatului la 10^9+17.

Info Oltenia 2019

#2931 Parap

Se dau N numere naturale \( {a}_{1},{a}_{2}…{a}_{n}\). O pereche (a[j],a[k]) cu 1≤j<k≤N se numește pereche specială dacă are proprietatea că din a[j] și a[k] prin “lipire” se formează un număr X în care cifrele conținute apar de număr par de ori. De exemplu numerele 123 şi 21223 dacă se lipesc produc numărul 12321223 în care 1 apare de 2 ori, 2 apare de 4 ori și 3 apare de 2 ori.

Să se determine numărul perechilor speciale.

#2954 game1

A și B participă la un joc cu următoarele reguli:

  • întotdeauna începe jucătorul A;
  • el primește un număr natural n mai mare decât 1;
  • jucătorul care este la mutare poate să scadă 1 din număr, sau să îl împartă la 2 (rezultatul fiind partea întreagă a împărțirii), apoi acest număr este dat adversarului, care va proceda la fel;
  • jocul se va termina atunci când un jucător a ajuns la numărul 1.

Avem două tipuri de joc, în funcție de cum se termină:
1. Câștigă cel care primește de la adversar numărul 1;
2. Pierde cel care primește de la adversar numărul 1.

Un meci este format din mai multe game-uri consecutive, toate fiind de același tip. Vom considera, că cei doi jucători cunosc acest principiu înainte de începerea meciului și că vor juca optim de fiecare dată. De exemplu, dacă jocul este de tipul 1 (câștigă cel care primește 1) și game-ul începe cu valoarea n = 4, atunci A va câștiga, pentru că împarte la 2, iar B indiferent că scade 1 sau împarte la 2, îi va da lui A numărul 1, deci A va câștiga.
Dacă jocul este de tipul 2 și game-ul începe cu valoarea n = 4, atunci A va pierde, pentru că indiferent că scade 1 și îi dă lui B numărul 3, sau împarte la 2 și îi dă lui B numărul 2, B va împărți acest număr la 2 (3 / 2 = 1, 2 / 2 = 1) și îi va da lui A numărul 1, deci A va pierde.

Cunoscând tipul T al jocului, numărul G al game-urilor, respectiv valoarea de pornire pentru fiecare game, să se răspundă pentru fiecare caz în parte, dacă jucătorul A va câștiga (1) sau va pierde (0).

#2957 nests

Pe vârfurile unui poligon regulat și-au făcut cuibul 𝑁 păsări. Cele 𝑁 vârfuri ale poligonului sunt numerotate cu numere de la 0 la 𝑁−1 în ordine sens trigonometric. Fiecare pasăre se găsește în câte un cuib. La un moment dat păsările își schimbe cuiburile. Se obține astfel o permutare (𝑐0 ,𝑐1 ,𝑐2 ,..., 𝑐𝑁−1) unde 𝑐𝑖 reprezintă cuibul în care s-a mutat pasărea care locuia inițial în cuibul 𝑖. Pentru ca toate păsările sa depună același efort cuiburile vor fi alese astfel încât distanța între cuibul inițial 𝑖 și cel final 𝑐𝑖 să fie aceeași pentru toate cele 𝑁 păsări. Se consideră toate permutările (𝑐0 ,𝑐1 ,𝑐2 ,..., 𝑐𝑁−1) obținute după mutarea păsărilor și se ordonează lexicografic. Scrieți un program citește două numere naturale 𝑁 și 𝐾 și care afișează permutarea situată pe poziția 𝐾 în ordine lexicografică după ordonarea permutărilor obținute prin mutarea păsărilor.

Prosoft@NT Piatra Neamț 2019