Lista de probleme 160

Am un cablu cu N leduri (numerotate de la 1 la N) aşezate echidistant. Inițial, unele leduri sunt aprinse, iar altele sunt stinse. Ledurile sunt legate între ele astfel încât atingerea fiecărui led produce modificarea atât a stării lui, cât şi a ledurilor vecine lui. Deci, dacă se atinge ledul i (2≤i≤N-1) atunci se modifică stările ledurilor i-1, i și i+1. Dacă se atinge ledul 1, atunci se modifică stările ledurilor 1 și 2, iar dacă se atinge ledul N, atunci se modifică stările ledurilor N-1 și N. Vreau să modific starea ledurilor astfel încât să semene cu cablul cu N leduri pe care îl are Ionuț, prietenul meu (două cabluri seamănă dacă pentru orice i=1..N stările ledurilor de pe poziția i sunt identice).

Cunoscând cum arată cablul lui Ionuț, ajutați-mă să determin numărul minim de atingeri ale unor leduri astfel încât cablul meu să arate ca și cablul lui Ionuț.

Se consideră o matrice cu L linii și C coloane care memorează doar valori din mulțimea {0,1,2}. O submatrice nevidă (formată din cel puțin o linie și cel puțin o coloană) a acestei matrice o numim omogenă dacă numărul valorilor de 0 este egal cu numărul de valori de 1 și egal cu numărul valorilor de 2.

Să se determine câte submatrice nevide omogene există.

Un grup de N cercetași, numerotați de la 1 la N, se află în tabără la munte. Pentru ei, organizatorii au pregătit N scaune, de asemenea numerotate de la 1 la N, așezate în cerc, astfel încât fiecare cercetaș să aibă locul său (locul cercetașului i este pe scaunul i, 1≤i≤N).

Pentru desfășurarea următoarei activități, organizatorii au decis ca M dintre cercetași să prezinte diferite exerciții. Numărul M este egal cu cea mai mare putere a lui 2 cu proprietatea că numărul N de cercetași aflați în tabără se poate scrie ca sumă de M numere consecutive în mulțimea numerelor impare. Cei M cercetași care vor prezenta sunt cei numerotați cu numerele impare consecutive a căror sumă este N. De exemplu, dacă N=8, atunci M este 2, iar exercițiile vor fi prezentate de cercetașii numerotați cu 3, respectiv cu 5.

Din joacă, micii cercetași s-au așezat pe scaune la întâmplare. Organizatorii au nevoie pentru a desfășura activitatea ca cel puțin cei M cercetași care vor prezenta exercițiile să se afle pe locurile lor. Pentru aceasta, o parte dintre cercetași trebuie să-și schimbe locul și organizatorii invită micii cercetași să participe la jocul numit ”Mutare”. Acest joc se desfășoară astfel: unul dintre cercetașii care nu se află pe locul lor se ridică și merge în interiorul cercului. Cercetașul numerotat cu numărul scaunului rămas liber își va ocupa locul, iar locul ocupat de el anterior rămâne astfel liber. Jocul continuă până când scaunul cercetașului aflat în interiorul cercului se eliberează și el se așază pe locul său.

Fiind dat numărul N, precum și ordinea în care s-au așezat cercetașii pe scaunele numerotate de la 1 la N, scrieți un program care să determine:

• numărul M de cercetaşi care vor prezenta exerciţii în cadrul activităţii;
• numerele de identificare ale celor M cercetaşi care vor prezenta exerciţiile, în ordine strict crescătoare;
• numărul minim de cercetași care își vor schimba locul, astfel încât toţi cei M cercetași care vor prezenta exercițiile să se afle pe locurile lor.

Se dă un şir de n numere naturale nenule x1, x2, …, xn şi un număr natural m. Să se verifice dacă valoarea expresiei \( \sqrt[m]{ x_1 \cdot x_2 \cdot … \cdot x_n } \) este un număr natural. În caz afirmativ să se afișeze acest număr descompus în factori primi.

Shaka, regele zuluşilor, a dat ordin să se realizeze un sistem de comunicaţii bazat pe tobe (tamtam)care să acopere întreaga ţară. Pentru aceasta el a dispus instruirea celor ce vor urma să transmită mesajele. Problema intervenită este aceea că o parte din cursanţi nu pot face distincţie între sunete şi nu pot reda cu fidelitate succesiunea de sunete pe hârtie. S-a făcut următoarea convenţie de notare: un sunet lung va fi reprezentat prin +, unul scurt prin -, iar unul nedecis (receptorul nu e sigur de lungimea sunetului) prin *.

Spre finalul stagiului Shaka a mers să verifice nivelul de pregătire al cursanţilor. Pentru aceasta el a adunat n cursanţi pe care i-a pus să recepţioneze şi să noteze un mesaj format din m sunete. După transmiterea mesajului s-a constatat că mulţi dintre cursanţi au scris şiruri foarte diferite, ceea ce ducea la o alterare semnificativă a mesajului original, chiar dacă nici cel mai slab pregătit cursant nu a fost indecis la mai mult de jumătate din sunete. Supărat Shaka l-a chemat pe instructorul şef şi, ca să-l pedepsească, i-a cerut ca să determine câte mesaje distincte se pot forma din şirurile scrise de cursanţi.

Pentru un număr natural nenul, definim factorialul său ca fiind produsul tuturor numerelor naturale nenule mai mici sau egale decât el şi îl notăm N! (adică N! = 1*2*…*N). Pentru o bază de numeraţie B şi un număr natural nenul N, se cere determinarea ultimei cifre nenule a scrierii în baza B a lui N!. Se citesc 5 perechi de forma (Ni, Bi), unde 1 ≤ i ≤ 5. Pentru fiecare din cele 5 perechi citite, aflați ultima cifră nenulă a scrierii în baza Bi a factorialului numărului Ni.

Ana a descoperit că are o adevărată pasiune pentru palindromuri. Un şir de numere este palindrom dacă se citeşte la fel de la stânga la dreapta şi de la dreapta la stânga (primul număr este egal cu ultimul, al doilea cu penultimul etc). Ea are un şir cu N numere naturale şi vrea ca orice subsecvenţă de lungime impară a şirului să fie palindrom. Pentru a-şi îndeplini dorinţa ea poate efectua asupra şirului mai multe operaţii. O operaţie constă în alegerea unui element din şir şi incrementarea sau decrementarea lui cu o unitate. Bineînţeles, Ana doreşte să utilizeze un număr minim de operaţii pentru ca şirul obţinut să respecte proprietatea amintită mai sus (orice subsecvenţă de lungime impară să fie palindrom).

Să se determine numărul de secvenţe PM care conţin x semne plus şi y semne minus.

Pentru un concurs de design de jocuri, Gigel vrea să construiască un joc. La joc participă n concurenţi numerotaţi de la 1 la n. Fiecare concurent are la dispoziţie câte un şir de m încăperi, numerotate de la 1 la m. Scopul jocului este de a găsi o comoară ascunsă în una din aceste încăperi. Fiecare încăpere conţine un cod, număr natural, fie egal cu 0, fie având cel puţin 2 cifre. Ultima cifră indică numărul de etape de penalizare, adică numărul de etape în care concurentul nu are voie să părăsească încăperea. Numărul obţinut prin eliminarea ultimei cifre a codului indică numărul încăperii în care se va deplasa acesta la următoarea etapă sau la expirarea penalizării.

Fiind dat numărul n de concurenţi, numărul m de încăperi alocate fiecărui concurent, şi codurile din cele n×m încăperi să se determine câştigătorul jocului, numărul încăperii în care a găsit comoara, numărul de etape parcurse până când câştigătorul găseşte comoara precum şi numărul de concurenţi eliminaţi din joc până la etapa respectivă (inclusiv).

Se consideră o matrice pătratică cu N linii şi N coloane ce conţine toate numerele naturale de la 1 la N*N.
Asupra matricei se definesc trei tipuri de operaţii codificate astfel:

• C i j – interschimbarea coloanelor i şi j ale matricei
• R i j – interschimbarea liniilor i şi j ale matricei
• E i j x y – interschimbarea elementului de pe linia i şi coloana j cu elementul de pe linia x şi coloana y.

Asupra matricei se efectuează un set de M astfel de operaţii.

Se cere să se determine numărul minim de aplicări complete ale acestui set de operaţii după care se ajunge din nou în starea iniţială. În cadrul setului operaţiile se efectuează mereu în aceeaşi ordine şi nu se poate sări peste o operaţie. Deoarece numărul acesta poate fi foarte mare se cere restul împărţirii sale la 13007.