Lista de probleme 67

Pe o matrice de dimensiune m linii și n coloane se cunosc coordonatele castelului și a k cavaleri. Se cere să se determine:

1. numărul minim de mutări după care va ajunge la castel unul dintre cavaleri
2. numărul minim de mutări după care toţi cavalerii se vor afla la castel.

Se dă un graf neorientat cu n vârfuri. Determinați, dacă există, un ciclu hamiltonian.

Gigel are un graf cu n noduri și m muchii, care nu este conex. El dorește să afle răspunsul la două întrebări:

1) Care este numărul minim de muchii ce trebuie ađugate astfel încât graful să devină conex?
2) Dacă costul adăugării unei muchii între nodurile a și b este a + b, care este costul total minim al muchiilor care trebuie adăugate astfel încât graful să devină conex?

În țara Zoomba trăiesc K prieteni, fiecare în localități diferite. În această țară se găsesc N orașe, oricare două fiind legate prin cel mult o șosea bidirecțională. Deoarece nu s-au mai întâlnit de mult, cei K prieteni s-au hotărât să se reîntâlnească într-un oraș. Fiecare are câte o mașină cu număr nelimitat de locuri. Pentru a trece de la un oraș la altul, o mașină consumă 1 litru de benzină.

Știind că odată ce au ajuns în același oraș 2 sau mai mulți prieteni, aceștia iși pot continua drumul cu o singură mașină, să se determine consumul minim de benzină pentru ca aceștia să ajungă în orașul Z.

Ionuț tocmai a terminat liceul și susține examenul de admitere la facultate. Știind că s-a pregătit foarte bine pentru examen, el dorește să își anunțe reușita după examen printr-o postare pe Facebook.
Ionuț cunoaște n utilizatori reprezentați de numerele de la 1 la n, între care există m relații de prietenie de forma i j, unde i și j sunt utilizatori, iar n și m sunt numere naturale nenule. Un utilizator nu poate fi prieten cu el însuși, iar o relație de prietenie între doi utilizatori ne spune că fiecare dintre ei este prieten cu celălalt.

Întrucât dorește ca postarea lui să fie cât mai răspândită, Ionuț vrea să afle care sunt utilizatorii cei mai bine conectați din mulțimea sa de cunoscuți, pentru ca eventual să le ceară prietenia. Pentru aceasta, Ionuț trebuie să găsească cea mai mare submulțime de utilizatori cunoscuți, în care fiecare utilizator din această submulțime are cel puțin k prieteni aflați la rândul lor în submulțime, unde k este un număr natural nenul.

Ajutați-l pe Ionuț să se determine și să se afișeze, printr-o soluție de complexitate timp cât mai bună, în funcție de datele de intrare, membrii celei mai mari submulțimi de utilizatori, cu proprietatea că fiecare utilizator din această submulțime are cel puțin k prieteni aflați la rândul lor în submulțime.

Se dă un arbore (graf conex aciclic) cu N noduri. Vrem să eliminăm noduri (împreună cu muchiile adiacente) din arborele dat, astfel încât numărul de componente conexe ale grafului rămas să fie maxim. Aflați care este numărul maxim de componente conexe pe care le putem obține și câte submulțimi distincte de noduri se pot elimina din arbore astfel încât să rămână la final acest număr maxim de componente conexe.

Zăhărel şi Sică s-au gândit să se reinventeze din punct de vedere spiritual. În prima fază, vor să se mute în oraşul Sala. Oraşul Sala conţine N case (numerotate de la 1 la N) unite prin M străzi bidirecţionale de lungimi egale. Ei au la dispoziţie fonduri limitate şi pot să se mute doar într-un cartier mărginaş format din X case. Fiindcă sunt buni prieteni cei doi vor să se mute în două case distincte, cât mai apropiate între ele. Determinaţi distanţa minimă dintre două case distincte din cele X din cartier.

Un graf conex cu N noduri și M muchii poate fi privit ca o clepsidră cu centrul în nodul X, 1 ≤ X ≤ N, dacă putem împărți toate nodurile, mai puțin nodul X, în două submulțimi nevide astfel încât orice drum de la un nod dintr-o mulțime la un nod din cealaltă mulțime trece prin nodul X. Voi trebuie să determinați numărul de moduri distincte în care putem privi graful ca o clepsidră pentru fiecare din cele N noduri alese drept centru, modulo 666013. Două moduri se consideră distincte dacă cele două submulțimi aferente sunt diferite. Ordinea submulțimilor într-un mod este relevantă, dar ordinea nodurilor în cadrul unei mulțimi nu este. Spre exemplu, soluțiile ({1,2,3}, {4,5}) şi ({4,5}, {1,2,3}) sunt distincte, dar soluţiile ({4,5}, {1,2,3}) şi ({4,5}, {1,3,2}) nu sunt distincte.

Această problemă este dedicată celor care așteaptă metroul cu cea mai mare ardoare: locuitorii din Drumul Taberei.

Se dă planul unei rețele de metrou cu N stații și M tuneluri bidirecționale între stații. Două stații de metrou se numesc vecine dacă există un tunel între ele în acest plan. Fiecare stație i are asociat un profit p[i] dat.

Henry a fost recent promovat dintr-un post de angajat al departamentului de curățenie pe postul de project manager al firmei. Deoarece nu există fonduri pentru construirea întregii rețele de metrou, Henry trebuie să aleagă o submulțime de stații care vor fi construite, astfel încât oricare două stații alese să nu fie vecine în planul inițial. Pentru a-și păstra poziția în companie, suma profiturilor stațiilor alese în această submulțime trebuie să fie maximă.

Dându-se N, M, profiturile aduse de fiecare din cele N stații și planul inițial al rețelei, să se determine suma maximă a profiturilor stațiilor pe care le poate alege Henry astfel încât oricare două stații alese să nu fie vecine în planul inițial.

Se știe că într-un graf neorientat conex, între oricare două vârfuri există cel putin un lanț iar lungimea unui lanț este egală cu numărul muchiilor care-l compun. Definim noțiunea lanț optim între două vârfuri X și Y ca fiind un lanț de lungime minimă care are ca extremități vârfurile X și Y. Este evident că între oricare două vârfuri ale unui graf conex vom avea unul sau mai multe lanțuri optime, depinzând de configurația grafului. Fiind dat un graf neorientat conex cu N vârfuri etichetate cu numerele de ordine 1, 2, …, N și două vârfuri ale sale notate X și Y (1 ≤ X, Y ≤ N, X≠Y ), se cere să scrieți un program care determină vârfurile care aparțin tuturor lanțurilor optime dintre X și Y.