Lista de probleme 730

Să se determine soluțiile ecuației \({1 \over x} + {1 \over y} + {1 \over z} = {a \over b}\) , unde a<b sunt numere naturale nenule.

N copii, numerotați de la 1 la N, se aşează în cerc, unul lângă altul, în ordinea crescătoare a numerelor lor, copilul cu numărul N ajungând să fie situat lângă copilul cu numărul 1.
Un copil din cerc are o minge. El o aruncă unui alt copil din cerc. Acesta o aruncă și el unui alt copil din cerc care nu a atins vreodată mingea, … șamd. Fiecare aruncare este notată printr-o pereche de numere naturale distincte (X,Y) cu semnificația că copilul cu numărul X aruncă mingea copilului cu numărul Y care nu a mai atins mingea până în acel moment.
Cunoscându-se cele K perechi de aruncări care se fac în timpul jocului, determinați numărul copiilor care nu ating mingea și traseul parcurs de minge.

Dându-se un cuvânt să se afișeze literele sale în ordine alfabetică.

Popel, elev de liceu calificat la barajul pentru Lotul Național de Informatică, tocmai a învățat ciurul lui Eratostene, pentru aflarea numerelor prime, al cărui algoritm este descris astfel:

prim[i]=1, oricare ar fi i de la 2 la N
pentru i de la 2 la N:
	dacă prim[i] este 1:
		pentru j de la 2*i la N din i în i:
			prim[j] = 0

Din cauza oboselii și a stresului, Popel a inițializat greșit șirul prim, punând pe unele poziții 0 în loc de 1. După ce a executat algoritmul pe șirul prim greșit inițializat, a obținut un nou șir pe care l-a notat pe o foaie de hârtie. Mai târziu, nu își mai amintea șirul inițial prim, dar mai avea șirul final pe care l-a obținut. În plus, nu mai era sigur dacă unele valori din șirul final le-a notat corect, așa că le-a marcat cu caracterul "?". Popel vă roagă să aflați un șir inițial cu proprietatea că dacă ar executa algoritmul de mai sus asupra lui, ar obține un șir care s-ar potrivi cu șirul final notat pe foaie. De asemenea, el își dorește ca șirul inițial să aibă un număr cât mai mare de cifre de 1.

Fie un şir a[1], a[2], …, a[n] de numere naturale, unde n este impar. Avem la dispoziţie o singură operaţie admisă şi anume: putem aduna la două poziţii diferite din şir o aceeaşi valoare naturală nenulă.

Cerințe:

1. Să se verifice dacă șirul poate să aibă toate elementele egale după aplicarea unei singure operații.
2. Folosind de mai multe ori operaţia admisă, să se obţină șirul cu toate elementele egale, dar valoarea egală obţinută să nu depăşească dublul valorii maxime din şirul iniţial.

Se consideră două numerele naturale K și S și un șir de N numere naturale a[1], a[2],…, a[N]. O secvenţă de lungime K este un subşir format din K elemente aflate pe poziţii consecutive în şir: a[i], a[i+1],.., a[i+k-1]. Parcurgând șirul de la stânga la dreapta, începând cu primul element, se elimină prima secvență de lungime K, cu suma elementelor strict mai mare decât numărul S. În urma ștergerii șirul va avea N-K elemente: a[1], a[2],…, a[N-K]. Operația de ștergere continuă după aceleași reguli până când nu mai există secvențe care pot fi eliminate.

Să se scrie un program care citind numerele N, K, S și cele N elemente din șir rezolvă cerințele:
1) Determină numărul secvențelor care se vor elimina respectând condiția din enunț.
2) Considerând că în șirul citit nu sunt posibile eliminări de secvențe conform condiției din enunț, programul determină numărul de elemente a[i] din șir cu proprietatea următoare: ștergerea lui a[i] conduce la obținerea unui șir în care se mai poate elimina cel puțin o secvență de K elemente cu sumă strict mai mare ca S.

Pentru un număr natural N se consideră șirul a=(1,2,3...,N), deci a[i]=i pentru orice i, 1≤i≤N.

Asupra acestui șir se pot aplica operații de două tipuri:

a) la operația de tipul 1 se specifică două valori i și j, cu 1≤i≤j≤N. Efectul acestei operații asupra șirului este de oglindire a secvenței din șir care începe cu elementul de pe poziția i și se termină cu cel de pe poziția j. De exemplu, dacă în șirul a=(1,2,3,4,5,6,7) se aplică operația 3 6, atunci șirul devine a=(1,2,6,5,4,3,7). Iar în șirul a=(1,4,3,2,5,6,7), dacă se aplică operația 4 6, atunci a=(1,4,3,6,5,2,7).
b) Operația de tipul 2 conține un indice i, 1≤i≤N, și cere să afișăm valoarea elementului care se află în acel moment pe poziția i în șir.

Se consideră M astfel de operații într-o ordine dată.

Scrieți un program care să determine și să afișeze rezultatul pentru fiecare operație de tipul 2.

Ionel și Georgel sunt colegi de clasă și doresc să facă schimb de fișiere prin email. Fiecare dintre ei își arhivează fișierele cu câte o parolă. Fiecare copil își construiește parola pe baza unui șir format din N numere naturale.

Numerele din șir care se folosesc efectiv pentru construirea parolelor sunt doar cele divizibile cu numerele din mulțimea {2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15}. Copiii numără câte din valorile din șir sunt divizibile cu fiecare din aceste numere.

Parola folosită de Ionel se obține prin însumarea numărului de valori din șir care sunt divizibile cu numerele din mulțimea {2,3,4,5,6,7,8,9}. Parola folosită de Georgel se obține prin însumarea numărului de valori din șir care sunt divizibile cu numerele din mulțimea {10,11,12,13,14,15}.

Scrieţi un program care citește șirul celor N numere și determină:

1. câte numere din șir nu se vor folosi în construirea parolelor celor doi copii;
2. parola construită de Ionel;
3. parola construită de Georgel.

• notează fiecare putere a lui 2, strict mai mică decât 226, cu o literă a alfabetului, astfel:

• reprezintă fiecare număr ca un șir de cifre și litere obținut din scrierea acelui număr ca sumă de puteri ale lui 2; dacă o putere este folosită de mai multe ori în descompunerea numărului atunci ea va fi precedată în șir de numărul de utilizări.

Un număr poate fi reprezentat astfel în mai multe moduri. De exemplu, pentru numărul 100 printre variantele de reprezentare avem:

• 100 = cfg = 22+25+26 = 4+32+64 = 100
• 100 = 2ab2cde2f = 2*20+21+2*22+23+24+2*25 = 2*1+2+2*4+8+16+2*32 = 100
• 100 = 16bcg = 16*21+22+26 = 16*2+4+64 = 100

Scrieți un program care rezolvă următoarele cerinţe:

1. cunoscând s numărul de stele dintr-o galaxie, determină o reprezentare codificată a acestui număr formată doar din litere mici distincte ordonate alfabetic;
2. cunoscând g, reprezentând numărul de galaxii și g numere în scriere codificată, reprezentând numărul de stele din fiecare galaxie, determină scrierea zecimală a numărului total de stele din cele g galaxii.

Se consideră un număr natural par N și șirul ordonat crescător X format din primele N numere naturale nenule:

X[1] = 1, X[2] = 2, …., X[N] = N.

Pozițiile numerelor din șir se pot modifica doar conform regulii A,după cum urmează:

• dacă X[1] este număr impar, atunci se interschimbă X[1] cu X[2], X[3] cu X[4], …, X[N-1] cu X[N];
• dacă X[1] este par atunci se interschimbă X[2] cu X[3], X[4] cu X[5], …, X[N-2] cu X[N-1], iar X[N] cu X[1].

Aplicând de R ori regula A șirului X se transformă șirul dat într-un șir “A sortat”.

Cunoscându-se numerele naturale N, R, K și T, scrieți un program care să determine:
1) Numărul situat pe poziția K în șirul “ A sortat” obținut prin aplicarea de R ori a regulii “ A ” șirului X.
2) Predecesorul și succesorul numărului T în șirul “ A sortat” .