Lista de probleme 730

Gigel este un mare pasionat al cifrelor. Orice moment liber şi-l petrece jucându-se cu numere. Jucându-se astfel, într-o zi a scris pe hârtie 10 numere distincte de câte două cifre şi a observat că printre acestea există două submulţimi disjuncte de sumă egală. Desigur, Gigel a crezut că este o întâmplare şi a scris alte 10 numere distincte de câte două cifre şi spre surpriza lui, după un timp a găsit din nou două submulţimi disjuncte de sumă egală. Date 10 numere distincte de câte două cifre, determinaţi numărul de perechi de submulţimi disjuncte de sumă egală care se pot forma cu numere din cele date, precum şi una dintre aceste perechi pentru care suma numerelor din fiecare dintre cele două submulţimi este maximă.

Copa ajunse în Orintia unde există un templu cu mai multe nivele, baza fiind un pătrat de lungime L. Primul nivel are înălţimea egală cu N, iar celelalte nivele au înălţimea mai mare cu o unitate faţă de cel anterior. Spre exemplu pentru L = 5 şi N = 3 din stâncă răsări templul (imagine din avion şi de la sol):

3 3 3 3 3
3 4 4 4 3
3 4 5 4 3
3 4 4 4 3
3 3 3 3 3

5
4 4 4
3 3 3 3 3
Copa deschise un document vechi şi citi: „Ca să afli cât aur este în templu, trebuie să însumezi numărul de metri de pe fiecare orizontală…”. Şi Copa socoti: 3 + 3 + 3 + 3 + 3 = 15 ; 3 + 4 + 4 + 4 + 3 = 18 ; 3 + 4 + 5 + 4 + 3 = 19 ; celelalte 18 şi 15. „Apoi, trebuie să afli suma numerelor obţinute…”. Iar Copa îşi notă numărul 85. „Toate numerele obţinute se lipesc pentru a forma cel mai mic număr posibil…”. Şi Copa obţinu numărul: 151518181985 . „Din numărul acesta se caută cel mai mare număr de două cifre alăturate. Aceasta este cantitatea de aur din templu.”. Şi Copa ţipă de bucurie: 98!.

Plecaţi în Orintia! Veţi primi cele două numere N şi L şi vi se cere să determinaţi numărul obţinut din sume şi cantitatea de aur.

Citind greutăţile unor cutii, să se determine numărul de control după o regulă precizată şi să se verifice dacă este număr prim.

Mircea este pasionat de programare. El a început să rezolve probleme din ce în ce mai grele. Astfel a ajuns la o problemă, care are ca date de intrare un tablou pătratic cu n linii şi n coloane, componente tabloului fiind toate numerele naturale distincte de la 1 la n2. Pentru a verifica programul pe care l-a scris îi trebuie un fişier care să conţină tabloul respectiv. După ce a creat acest fişier, fratele său, pus pe şotii îi umblă în fişier şi îi schimbă câteva numere consecutive, cu numărul 0. Când se întoarce Mircea de la joacă constată cu stupoare că nu îi merge programul pentru testul respectiv. După câteva ore de depanare îşi dă seama că programul lui este corect şi că fişierul de intrare are probleme.

Primăria orașului ONI a făcut un contract cu firma Gigel.SRL în vederea amenajării gardului Grădinii Botanice. Șeful firmei a constatat că gardul cu pricina este format doar din trei tipuri de scânduri care sunt aranjate fără nicio regulă. Fiind un tip cu “gust estetic” și-a propus să rearanjeze scândurile astfel încât gardul să conțină scândurile grupate astfel: primele să fie scândurile de primă dimensiune (cea mai mică) apoi cele mijlocii, iar ultimele să fie cele de dimensiunea cea mai mare. Echipa care a fost desemnată să execute lucrarea are un singur muncitor care dorește să știe care este numărul minim de schimbări pe care ar trebui să le facă astfel încât să rezolve problema și scândurile să fie ordonate așa precum a decis șeful firmei. Operația de schimbare constă în alegerea a două scânduri diferite și așezarea uneia în locul celeilalte.
Dându-se un număr n ce reprezintă numărul de scânduri care alcătuiesc gardul, precum şi modul în care sunt aranjate scândurile în gard, să se determine care este numărul minim de schimbări ce trebuie realizat astfel încât gardul să aibă scândurile aranjate crescător. Scândurile sunt codificate în funcție de dimensiune prin valorile 1, 2 și 3.

În Țara lui Papură Vodă s-au organizat de curând primele alegeri democratice. A rezultat astfel un parlament din care fac parte deputați cu diverse doctrine politice, de stânga sau de dreapta. Acestea sunt descrise prin numere naturale nenule (orientarea politică este cu atât mai de stânga cu cât numărul este mai mic). Parlamentarii s-au asociat în partide politice în funcție de doctrina fiecăruia. Oricare doi deputați ale căror doctrine corespund unor numere consecutive fac parte din același partid. Prin urmare, partidele vor fi alcătuite din deputați ale căror doctrine sunt numere consecutive. (De exemplu, dacă parlamentul are 5 deputați, cu doctrinele 1, 2, 3, 5 şi 6, atunci înseamnă că aceștia sunt grupați în două partide: unul format din 1, 2 și 3 și altul din 5 și 6.)
Un guvern trebuie să beneficieze de susținerea a mai mult de jumătate dintre parlamentari. De exemplu, dacă parlamentul este format din 7 deputați, atunci un guvern are nevoie de susținerea a cel puțin 4 deputați.
Pentru a putea guverna, partidele se pot grupa in coaliţii. Regula după care se asociază este urmatoarea: două partide A şi B, A având o doctrină mai de stânga, pot face parte din aceeași coaliţie doar dacă din coaliţia respectivă fac parte toate partidele a căror doctrină este mai de dreapta decât cea a lui A şi mai de stânga decât cea a lui B. De exemplu, dacă parlamentul este alcătuit din deputaţi cu orientările politice 1, 2, 4, 5, 7 şi 8, atunci partidul format din 1 şi 2 nu se poate asocia cu partidul format din 7 şi 8 decât dacă din coaliţia respectivă face parte şi partidul format din 4 şi 5.
Fiind dat parlamentul din Ţara lui Papură Vodă printr-un şir ordonat strict crescător de numere naturale nenule, se cere să se stabilească numărul de partide parlamentare şi numărul variantelor de coaliţie majoritară.

Ionel şi Georgel colecţionează jetoane care se găsesc în revistele Scooby-Doo. Jetoanele au înscrise pe ele diferite valori, numere naturale distincte, un copil neputând avea două sau mai multe jetoane cu aceeaşi valoare. Ei propun următorul joc: având în faţă jetoanele proprii, determină împreună care este jetonul de valoare comună cu cea mai mică valoare înscrisă şi jetonul de valoare comună cu cea mai mare valoare înscrisă. După ce au identificat aceste jetoane, câştigătorul este acela care va avea cele mai multe jetoane după eliminarea acelora cu valori cuprinse între minimul şi maximul comun, inclusiv minimul şi maximul.

Se consideră o matrice A cu următoarele proprietăţi:

• conţine n linii şi m coloane;
• conţine doar valorile 0 şi 1;
• pe fiecare linie valorile sunt plasate în ordine crescătoare.

Definim o submatrice determinată de perechea de linii L1 şi L2 (L1 ≤ L2) şi de perechea de coloane C1 şi C2 (C1 ≤ C2) ca fiind totalitatea elementelor matricei A[i,j] pentru care L1 ≤ i ≤ L2 şi C1 ≤ j ≤ C2.
Dacă toate elementele unei submatrice sunt egale cu 0, atunci submatricea se numeşte nulă.
Asupra matricei A putem efectua una sau mai multe operaţii de interschimbări de linii. Prin astfel de interschimbări liniile matricei pot fi rearanjate astfel încât matricea A să conţină cel puţin o submatrice nulă cu număr maxim de elemente.
Fiind dată o astfel de matrice se cere să se determine numărul maxim de zerouri dintr-o submatrice nulă ce se poate obţine printr-o rearanjare a liniilor matricei date.

Se consideră o autostradă dispusă în linie dreaptă având N puncte de acces (intrare şi ieşire). În fiecare punct de acces există containere pentru colectarea deşeurilor, toate containerele au aceeaşi capacitate şi în fiecare punct de acces pot fi mai multe astfel de containere. Firma care asigură curăţenia dispune de un singur mijloc de transport al containerelor. Acest mijloc de transport poate încărca exact un număr K de containere. Accesul mijlocului de transport pe autostradă se face cu restricţii pentru a nu perturba traficul şi din acest motiv trebuie ca la fiecare acces pe autostradă să fie colectate exact atâtea containere cât este capacitatea maşinii, dar dintr-un punct de colectare trebuie să ia exact un container, deci dacă se intră pe autostradă la punctul de acces P, unde P≤N-K+1, atunci trebuie să ia containere de la punctele de acces numerotate cu P, P+1, P+2,…, P+K-1, în aceste puncte de acces scade cu 1 numărul containerelor rămase. Firma trebuie să găsească toate valorile posibile pentru K astfel încât să poată colecta toate containerele.

Se cere să se găsească toate valorile posibile pentru K astfel încât să fie adunate toate containerele.

Alina este mare iubitoare de teatru. Directorul teatrului i-a oferit șansa să joace în mai multe spectacole, ca figurant, deocamdată. Costumiera de scenă a decis să-i dea C costume diferite dintre cele care sunt destinate acestei stagiuni. Alina va duce costumele acasă și le va ajusta ca să-i vină bine. Stagiunea durează Z zile consecutive și în fiecare zi se joacă câte o piesă. Aceeași piesă se va juca, desigur în una sau mai mai multe zile ale stagiunii. Fiecărei piese i se asociază un unic costum de figurant, deci pentru fiecare piesă în care joacă, Alina trebuie să îmbrace un singur costum, acela asociat piesei respective. Costumele de figuranți sunt identificate prin literele mari ale alfabetului englez: A, B, C, …, X, Y, Z. Alina are voie să-și aleagă cele C costume diferite.

Cunoscând costumul asociat fiecărei zile a stagiunii, ajutați-o pe Alina să-și aleagă cele C costume diferite, în așa fel încât să poată juca într-un număr cât mai mare de piese consecutive.