Lista de probleme 730

• toate cifrele sunt nenule;
• pornind de la cifra \(c_1\), aplicând algoritmul de deplasare circulară spre dreapta de exact k ori, se ajunge din nou la \(c_1\), fiecare dintre cifrele numărului fiind exact o singură dată cifră iniţială.

• este egal cu \(x_i\) , dacă \(x_i\) este număr circular;
• este numărul cel mai apropiat de \(x_i\) (număr mai mare sau mai mic decât \(x_i\)), cu proprietatea că este număr circular; dacă pentru un număr din şir se identifică un număr circular y, \( y > x_i\) şi un număr circular z, z<\(x_i\), pentru care \( y – x_i\) = \(x_i – z\), atunci se va alege numărul y.

În oraşul Iaşi, cele N firme IT derulează în prezent M proiecte din acest domeniu (printre care şi ONI 2012). Firmele sunt identificate prin numere naturale de la 1 la N, iar proiectele sunt identificate prin numere naturale de la 1 la M. Fiecare proiect are una sau mai multe etape, o etapă fiind executată de o singură firmă IT. Spunem că o firmă coordonează un proiect dacă execută mai mult de jumătate din etapele proiectului.
Cunoscând numărul firmelor IT, numărul proiectelor, numărul de etape ale fiecărui proiect şi firmele ce execută fiecare etapă, să se determine firma/firmele care coordonează cel mai mare număr de proiecte.

Se consideră un şir cu N numere naturale a[1], a[2], …, a[N]. Asupra unui element a[i] din şir se pot efectua operaţii de incrementare (adunare cu 1: a[i] = a[i] + 1) sau decrementare (scădere cu 1: a[i] = a[i] - 1). Fiecare element din şir poate fi incrementat sau decrementat de oricâte ori. Dat fiind șirul celor N numere naturale, să se determine:
a. numărul total minim de operaţii necesare pentru a transforma toate numerele din şir în numere prime;
b. numărul minim de operații (incrementări şi decrementări) ce trebuie să fie efectuate asupra elementelor şirului astfel încât să existe o secvență de lungime K formată numai din numere prime.

Gigel, mare amator de probleme de matematică şi informatică, a observat că unele numere prime au o proprietate interesantă: orice cifră ar elimina dintr-un astfel de număr, numărul obţinut este tot număr prim. A numit astfel de numere numere extraprime. De exemplu, numărul 317 este un număr extraprim: el este număr prim şi, în plus, dacă eliminăm cifra 3, obţinem 17, care este prim; dacă eliminăm 1, obţinem 37, care este prim; dacă eliminăm 7, obţinem 31, care este şi el număr prim.

Spunem că x este între a şi b dacă x≥a şi x≤b. Fiind date două valori naturale a şi b, să se determine câte numere extraprime există între a şi b, precum şi cel mai mic şi cel mai mare număr extraprim dintre a şi b.

La ONIGIM2013 participă N elevi de clasa a V-a având ca id-uri, în ordine, numerele naturale de la 1 la N. Anul acesta organizatorii au afişat la clasa a V-a toate punctajele distincte obţinute de elevi, în ordine strict crescătoare p1, p2,…, pK, şi un şir de N valori a1, a2,…, aN, unde ai reprezintă numărul de elevi care au punctaje strict mai mici decât punctajul elevului având id-ul i (1≤i≤N).

Cunoscând numărul de elevi (N), numărul de punctaje distincte (K) obţinute de elevii de clasa a V-a, punctajele p1, p2,…, pK, în ordine strict crescătoare, şi valorile a1, a2,…, aN cu semnificaţia din enunţ, să se scrie un program care determină:

a) Punctajul obţinut de fiecare elev în ordinea crescătoare a id-urilor.
b) Numărul de distincţii acordate de organizatori. Numărul de distincţii este egal cu numărul de elevi care au obţinut cele mai mari trei punctaje distincte.
c) Numărul maxim de elevi care au obţinut acelaşi punctaj.

Fie un șir de numere naturale. Se împarte şirul în patru secvenţe astfel încât orice element din şir să aparţină unei singure secvenţe şi fiecare secvenţă să conţină cel puţin două elemente. Pentru fiecare secvenţă se determină costul ei ca fiind diferenţa dintre valoarea maximă şi cea minimă din acea secvenţă.

Considerăm şirul de numere naturale nenule distincte \(a_1,a_2, …,a_N\). Notăm cu \(L_i\) lungimea maximă a unei secvențe de elemente cu valori consecutive care se poate obţine prin ordonarea crescătoare a primelor i elemente din şirul dat. Să se determine \(L_1,L_2, …,L_N\).

A fost odată ca niciodată un împărat puternic care avea o grădină minunată, situată pe un teren de formă dreptunghiulară din jurul palatului. În grădină creştea un măr cu mere de aur, dar împăratul nu a putut să se bucure vreodată de merele din pom deoarece grădina a fost mereu atacată de tâlhari şi merele au fost furate. Cu toate că aceasta a fost păzită zi şi noapte de cei mai viteji ostaşi din împărăţie, ei nu au putut face faţă tâlhăriilor. Deznădăjduit, împăratul şi-a pus în gând să taie pomul cu mere de aur, dar fiul său cel mic, Prâslea, l-a rugat să-l lase şi pe el să-şi încerce norocul. Prâslea a cugetat foarte bine la cele întâmplate şi a procedat astfel:

• a delimitat în grădină, de-a lungul acesteia, N parcele alăturate, numerotate de la stânga la dreapta cu valori în ordine, de la 1 la N. Dintre acestea, a dat spre pază fraţilor şi verişorilor săi M parcele, iar restul de N-M parcele oştenilor din împărăţie. Cele N-M parcele date oştenilor sunt identice şi au fiecare lăţimea L.
• a măsurat distanţa D la care se află pomul cu merele de aur faţă de marginea din stânga a grădinii, pentru a întări chiar el paza parcelei în care e situat acesta.

Cerinţă

a) Cunoscând lăţimea fiecărei parcele, determinaţi cel mai mare număr de parcele alăturate, de lăţime L fiecare, date spre pază oştenilor ;
b) Determinaţi numărul de ordine al parcelei în care se află pomul cu merele de aur.

Ada și Ben sunt pasionați de jocurile pe calculator și tocmai au descoperit cea mai recentă versiune a jocului 2048.

Scrieţi un program care să citească numerele naturale N (numărul inițial de piese) și M (numărul maxim de mutări), un șir de N numere reprezentând, în ordine, numerele înscrise pe cele N piese și cel mult M caractere din mulțimea {S, D} ce reprezintă mutările fixate de către Ada și Ben, și care determină:

a) numărul X de mutări efectuate până la încheierea jocului;
b) numărul maxim Y înscris pe una dintre piese la încheierea jocului;
c) numărul maxim Z de fuzionări efectuate la o mutare.

Se consideră un șir de N numere naturale, notate x 1, x 2, x 3,…, x N. Definim pentru orice pereche de indici i, j, 1 ≤ i ≤ j ≤ N, distanța între elementele x i și x j ca fiind egală cu j – i.

Acest șir va fi codificat după următoarele reguli:

• fiecare element din șir este înlocuit cu indicele celui mai apropiat element din șir (cel față de care distanța este minimă) strict mai mare decât el;
• dacă pentru un element din șir există două elemente care respectă regula de mai sus, atunci el va fi înlocuit cu indicele mai mare, adică al elementului strict mai mare decât el, aflat în dreapta lui;
• elementele de valoare maximă din șir vor fi înlocuite cu -1.

Scrieți un program care codifică un șir de N valori, după regulile descrise.