Lista de probleme 730

Dexter a moştenit o avere fabuloasă, dar este închisă într-un seif. Unchiul său, cel care i-a lăsat averea, a dorit să îl pună la încercare astfel: a umplut o cutie foarte mare cu bileţele pe care sunt scrise numere naturale din mulţimea {0, 1, 2, ..., 99}. Pe fiecare bileţel este scris un singur număr. Dexter trebuie să formeze perechi de bileţele care au scrise pe ele acelaşi număr. La sfârşit, vor rămâne câteva bileţele fără pereche. Codul de acces la seif este format din numerele rămase pe bileţelele fără pereche, aşezate în ordine crescătoare şi fără spaţiu între ele.

Scrieţi un program care să furnizeze codul de acces la seif.

În vederea asigurării unei transmiteri cât mai exacte a informaţiilor pe reţea, transmiterea se efectuează caracter cu caracter, fiecare caracter fiind dat prin codul său ASCII, adică o grupă de 8 biţi (octet). Pentru fiecare 8 biţi transmişi se calculează un bit de paritate care are valoarea 0 (dacă codul ASCII al caracterului conţine un număr par de cifre binare 1) sau 1 (în caz contrar). Deoarece în problema noastră se transmit numai caractere ASCII standard, cu codul ASCII din intervalul [32,127], codul lor ASCII are bitul 7 (primul bit din stânga) egal cu 0. Pe această poziţie va fi pus bitul de paritate, economisind astfel câte un bit pentru fiecare caracter transmis.
Să se scrie un program care să verifice dacă un text a fost sau nu transmis corect.

Gigel a aflat la matematică definiţia factorialului unui număr natural nenul n. Acesta este produsul tuturor numerelor naturale începând cu 1 şi terminând cu numărul respectiv şi se notează cu n!. Astfel, factorialul numărului natural 6 este 6!=1*2*3*4*5*6 şi este egal cu 720. Factorialele numerelor naturale cresc însă extrem de repede. De exemplu, 7!=5040 în timp ce 10!=3628800.

Fiind un bun matematician, Gigel a imaginat o altă metodă de a indica factorialul unui număr. Astfel, el ştie că un număr natural nenul se poate descompune în factori primi. De exemplu 720 poate fi scris ca 24*32*51. Gigel codifică descompunerea în factori primi astfel: 4 2 1 însemnând faptul că în descompunerea lui 720 în factori primi apare factorul 2 de 4 ori, factorul 3 apare de două ori şi factorul 5 apare o dată. Cu alte cuvinte, Gigel indică pentru fiecare număr prim ≤ n puterea la care acesta apare în descompunerea în factori primi a lui n!.

Scrieţi un program care să citească o secvenţă de numere naturale nenule şi care să afişeze în modul descris în enunţ factorialele numerelor citite.

Nicuşor este elev în clasa a VI-a şi s-a gândit că este suficient de mare ca să inventeze un joc nou. Are doar o foaie de hârtie şi un pix. Scrie mai întâi n numere naturale în cerc. Acestea formează Ruleta numerelor. Jocul se desfăşoară după următoarele reguli:
- se parcurge şirul numerelor în sensul deplasării acelor de ceasornic;
- se porneşte de fiecare dată de la acelaşi element;
- se execută de fiecare dată o rotaţie completă;
- fiecare element nenul se scade din elementul imediat următor doar dacă este mai mic sau egal cu acesta şi nenul;
- ruleta se opreşte atunci când execută o rotaţie completă şi nu se modifică nici o valoare din şirul elementelor.

Scrieţi un program care să determine, pentru un şir de n numere naturale care indică starea iniţială a ruletei, numărul r de rotaţii complete efectuate respectând regulile jocului până la încheierea acestuia şi numărul t al elementelor nenule aflate în şir la încheierea jocului.

Costel are de rezolvat o temă grea la matematică: având la dispoziţie N numere naturale nenule trebuie să aşeze între acestea 2 operaţii de înmulţire şi N-3 operaţii de adunare, astfel încât rezultatul calculelor să fie cel mai mare posibil. Nu este permisă modificarea ordinii numerelor date.

De exemplu, dacă N=5 şi numerele sunt 4, 7, 1, 5, 3, operaţiile pot fi aşezate 4 + 7 * 1 + 5 * 3, 4 * 7 *1 + 5 + 3, e.t.c

Scrieţi un program care să aşeze două operaţii de înmulţire şi N-3 operaţii de adunare între cele N valori date astfel încât valoarea expresiei obţinute să fie maximă.

Norocosul Gigel tocmai a primit în dar de la bunicul său, Nelu, o imensă plantaţie de pomi fructiferi. Fost profesor de geometrie, Nelu a plantat în mod riguros pomii fructiferi pe m rânduri paralele, iar pe fiecare rând a plantat exact câte n pomi fructiferi. Însă, din motive mai mult sau mai puţin obiective, domnul Nelu nu a plantat pe fiecare rând toţi pomii de acelaşi soi, ci din mai multe soiuri diferite. Soiurile de pomi plantaţi în livadă sunt codificate cu numere naturale cuprinse între 1 şi p.

Cuprins de febra rigurozităţii matematice şi de cea a statisticii, Gigel a definit noţiunea de soi majoritar astfel: dacă pe un rând k format din n pomi fructiferi avem cel puţin [n/2]+1 pomi de acelaşi soi x, atunci spunem că soiul x este soi majoritar pe rândul k (prin [y] se înţelege partea întreagă a numărului real y).

Cunoscând numerele m, n şi p, precum şi soiul fiecărui pom de pe fiecare rând al plantaţiei, ajutaţi-l pe Gigel să determine:

1. pe câte rânduri din livadă există un soi majoritar;
2. care este cel mai mare număr de pomi de acelaşi soi plantaţi în poziţii consecutive pe un rând.

Se dă un număr raţional strict pozitiv q, sub formă de fracţie zecimală.

Să se determine două numere naturale a şi b astfel \( q= \frac{a}{b} \) încât iar modulul diferenţei dintre a şi b să fie minim.

La Loteria Naţională există N bile inscripţionate cu numere naturale, nenule, distincte de cel mult 4 cifre. Şeful de la loterie primeşte o cutie în care se află cele 6 bile extrase la ultima rundă, restul bilelor neextrase fiind puse într-un seif. Deoarece are o fire poznaşă, el scoate din cutie bila pe care este înscris numărul cel mai mic şi o păstrează în buzunarul hainei sale. În locul ei va pune o bilă neextrasă, aflată în seif, având numărul cel mai apropiat de aceasta. Apoi continuă operaţia şi scoate din cutie şi bila pe care este înscris numărul maxim extras iniţial, pe care o va pune în celălalt buzunar al său. De asemenea o va înlocui cu o altă bilă neextrasă iniţial, aflată în seif, având numărul cel mai apropiat de aceasta.

Realizaţi un program care afişează în ordine crescătoare numerele de pe bilele aflate în cutie după modificările făcute de şef.

Vasilică se antrenează pe un site de probleme cu evaluare online. Când el trimite pe site soluţia la o problemă, aceasta este evaluată pe un anumit număr de teste. Punctajul obţinut la problema respectivă va fi egal cu suma punctajelor obţinute la fiecare test. Punctajele asociate testelor pot fi diferite. În plus, dacă problema a fost complet rezolvată (a obţinut punctaj maxim la toate testele), Vasilică primeşte şi un bonus.

Vasilică poate trimite soluţia la o problemă de mai multe ori. Când trimite soluţia prima dată, punctajul se calculează în modul prezentat anterior. Când trimite soluţia a doua oară, Vasilică va fi penalizat cu două puncte (adică din punctajul total obţinut la problemă se scad două puncte). Când trimite soluţia a treia oară penalizarea este de 4 puncte, a patra oară de 6 puncte ş.a.m.d. Observaţi că la fiecare nouă încercare penalizarea creşte cu două puncte.

Date fiind rezultatele obţinute pe teste de Vasilică la fiecare soluţie trimisă, să se determine punctajul maxim pe care el l-a obţinut la problema respectivă.

Institutul de Fizică a Pământului studiază efectele unui potenţial cutremur folosind simulări computerizate. Harta plană a clădirilor de pe un teritoriu oarecare este reprezentată folosind coordonatele GPS în plan, longitudine şi latitudine, faţă de un reper considerat de coordonate (0,0), ca în figura de mai jos.

Fiecare dintre clădirile aflate pe hartă, au două coordonate GPS, (Longitudine, Latitudine) şi un Grad de rezistenţă la cutremure.

Un cutremur se poate produce în orice punct de coordonate de pe hartă, numit centrul seismului şi are o anumită intensitate. Unda de şoc se propagă sub forma unor pătrate concentrice cu centrul seismului, numite nivele (nivelul 0 reprezintă centrul seismului, nivelul 1 primul pătrat concentric, nivelul 2 al doilea pătrat concentric şi aşa mai departe). Intensitatea slăbeşte la fiecare pătrat concentric cu centrul seismului cu câte o unitate. Clădirile sunt afectate de cutremur doar dacă gradul lor de rezistenţă la cutremur este mai mic sau egal cu intensitatea cutremurului în poziţia clădirii.

Scrieţi un program care să citească coordonatele centrului seismului şi intensitatea sa în acel punct, precum şi coordonatele clădirilor şi gradul lor de rezistenţă la cutremur, şi apoi să determine:

a) numărul N total de clădiri afectate;
b) numărul M maxim de clădiri afectate pe un nivel;
c) numerele nivelelor cu M clădiri afectate, în ordinea crescătoare a numerelor acestor nivele.