Lista de probleme 77

Domino este un joc care utilizează N piese speciale, de formă dreptunghiulară. Pe prima şi pe a doua jumătate a fiecărei piese este inscripţionată câte o cifră de la 1 la 9.

În timpul jocului cele N piese se așează pe tabla joc astfel încât toate cifrele să fie aliniate pe orizontală, iar jucătorul poate acţiona asupra unei piese în două moduri:

• ELIMINARE – piesa este înlăturată de pe tabla de joc;
• ROTIRE – piesa este rotită cu 180 grade, păstrându-și ordinea relativă în raport cu celelalte piese.

Ştiind că în timpul jocului pot fi efectuate cel mult K1 ROTIRI şi exact K2 ELIMINĂRI de piese, determinaţi cel mai mare număr care se poate forma prin scrierea în ordine, de la stânga la dreapta, a cifrelor de pe piesele rămase pe tabla de joc, în urma efectuării operaţiilor permise.

Pe axa reală există N orașe, numerotate cu numerele 1, 2, 3, …, N. Deși într-o lume unidimensională lucrurile par a fi mult mai simple, totuși majoritatea locuitorilor sunt nemulțumiți de distanțele mari parcurse între orașe în scopul rezolvării diferitelor probleme. Astfel, pentru o mai bună organizare, s-a supus la vot și s-a decis promovarea a cel mult K orașe la rangul de centru adminstrativ. Centrele trebuie amplasate într-un mod isteț, în așa fel încât distanța maximă calculată dintre distanțele de la fiecare oraș la cel mai apropiat centru administrativ să fie cât mai mică. Întrucât costurile de administrare ale unui astfel de centru sunt ridicate, se dorește să se amplaseze un număr cât mai mic de centre administrative astfel încât distanța maximă să nu fie modificată.

Adela lucrează la un laborator de cofetărie. Ea trebuie să pregătească două torturi de nuntă şi în acest scop va folosi n blaturi de tort. Blaturile de tort au formă cilindrică, având toate aceeaşi înălţime, eventual diametre diferite. Blaturile ies pe rând din cuptor. Când un blat iese din cuptor, Adela îl va aşeza deasupra uneia dintre cele două stive de blaturi aflate pe cele două tăvi pe care se pregătesc torturile.

Blaturile diferă între ele prin rezistenţa la presiune. Rezistenţa unui blat creşte odată cu creşterea diametrului. Astfel, un blat va suporta deasupra sa oricâte alte blaturi cu diametre mai mici sau egale cu diametrul său. Pe de altă parte, dacă se aşează un blat de diametru d, deasupra altuia de diametru mai mic, atunci atât blatul aflat imediat dedesubt, cât şi toate blaturile din tort cu diametrul mai mic decât d vor colapsa. Blatul de diametru d se va stabiliza pe un blat cu diametru mai mare sau egal cu al său sau după caz, pe fundul tăvii.

Adela trebuie să folosească toate cele n blaturi pentru pregătirea celor două torturi, şi să le aşeze pe cele două tăvi, în ordinea în care blaturile ies din cuptor. Dorinţa Adelei este ca numărul total de blaturi care nu vor colapsa în cele două torturi să fie maximă.

Cunoscând diametrele blaturilor şi ordinea în care acestea ies din cuptor, să se determine numărul maxim de blaturi care nu vor colapsa.

Pe o scândură se găsesc înfipte și aliniate N cuie de diverse înălțimi, măsurate în centimetri.

La fiecare ”bătaie” de ciocan într-un cui, acesta pătrunde în scândură cu 1 cm. Tâmplarul dorește să obțină cea mai lungă secvență de cuie de aceeași înălțime, după aplicarea a cel mult M ”bătăi” de ciocan.

Să se determine lungimea maximă – L a unei secvențe de cuie de aceeași înălțime în condițiile date și numărul minim de ”bătăi” – K necesare obținerii acesteia.

Deoarece vin sărbătorile, elevii de la Liceul de informatică s-au gândit să decoreze laboratorul P1 cu ghirlande legate între ele. Ei au cumpărat N ghirlande numerotate de la 1 la N și vor să le lege împreună apoi să orneze laboratorul. Fiecare ghirlandă are doua culori distribuite astfel încât capetele să aibă culori diferite. Culorile sunt codificate prin numere naturale. Decoraţiunile cumpărate au N-1 culori care apar exact de două ori şi 2 culori care apar doar o singură dată. Pentru a face munca mai distractivă ei s-au gândit că, la legarea a două ghirlande, să unească două capete de aceeaşi culoare.

1) Pentru cerinţa 1 copiii vor să afle suma codurilor culorilor aflate la cele două capete ale lanţului format prin legarea ghirlandelor cumpărate, respectând regulile de îmbinare de mai sus.
2) Pentru cerinţa 2 ajutaţi-i să lege ghirlandele pentru a decora laboratorul P1 respectând regulile menţionate. Trebuie sa afisati numerele de ordine ale ghirlandelor în ordinea în care vor fi legate. La cele doua capete se vor afla
cele doua ghirlande care conțin o culoare ce apare o singura data. Dintre acestea prima va fi cea care are codul culorii mai mic

Andrei este manager la o firmă foarte importantă, la care se lucrează în ture. Aceste ture durează un număr constant de minute (1017 minute), fiecare tură începând la minutul 1. După o tură, Andrei, fiind foarte obosit, doarme până la începutul următoarei ture.

El este foarte ocupat cu o mulțime de ședințe (S ședințe mai exact). Acestea sunt trecute în agenda lui astfel: Minutul de început Durata Minutele necesare pentru pregătire – în minutele de pregătire nu trebuie să îl deranjeze nimeni).

Agenda este foarte dezordonată, iar şedinţele nu sunt notate în ordine cronologică, şi, în plus, acestea se pot suprapune. Ca un bun manager, Andrei doreşte să participe la cât mai multe şedinţe într-o tură cu condiţia să nu se desfăşoare în acelaşi timp. Deoarece nu poate renunța la nicio ședință, el va amâna pentru turele viitoare unele dintre ședințele care se suprapun, păstrând în agendă aceleași informații despre fiecare (început, durată, timp necesar pentru pregătire).

a) Afișați numărul minim de ture în care Andrei poate participa la toate şedinţele.
b) Știind că în prima tură, Andrei poate să ajungă la toate şedinţele (nu se desfăşoară două sau mai multe şedinţe la un moment dat), determinați minutul în care se poate programa începutul pregătirii unei noi şedinţe de durată D şi timp de pregătire P, astfel încât să nu se suprapună cu o alta (dacă există mai multe soluţii se va afişa cea cu momentul de început minim).

Marele inginer NN, a fost numit inspector general al barajelor. În prima zi de lucru el primește un sector dintr-un baraj de lângă un lac de acumulare care conține stricăciuni și are misiunea de a realiza un plan de reparații. În plus, costurile reparațiilor trebuie să fie minime. Sectorul din baraj poate fi reprezentat ca o matrice binară de NxN. El a observat că liniile l1, l2 …, lk și coloanele c1,c2, …, cl sunt singurele care au stricăciuni. Pentru a le repara el trebuie să înlocuiască unele elemente din matrice astfel încât liniile și coloanele stricate să devină palindrom.

Ajutați-l pe NN să găsească numărul minim de înlocuiri și să dovedească că e maestru în baraje de toate felurile.

Gigel primeşte o nouă provocare de la prietenul său Programatorul! Cunoscând înălţimile clădirilor aflate pe o anumită stradă, Gigel trebuie să răspundă rapid la întrebarea: “Care este gradul de vizibilitate al străzii?”

Gradul de vizibilitate al unei străzi este dat de raportul dintre numărul clădirilor vizibile din capătul stâng al străzii şi numărul total al clădirilor de pe stradă, raport calculat cu trei zecimale.

Pentru o intersecţie de N străzi ajutaţi-l pe Gigel să determine gradul de vizibilitate al fiecărei străzi şi să precizeze care este strada cu grad maxim de vizibilitate.

Eroul nostru, Costy merge la magazin pentru a-şi cumpăra biscuiţi. Vânzătorul îi spune că biscuţii costă S nasturi, şi că doreste ca plata lor să fie făcută cu n tipuri diferite de nasturi. De asemenea, vânzătorul precizează că ar dori ca numărul de nasturi din fiecare tip i să depăşească valoarea x[i], dar, să nu depăşească valoarea y[i]. Presupunând că baiatul are o infinitate de nasturi din fiecare tip şi că doreşte să rămână cu cât mai mulţi nasturi de tipurile n, n-1, n-2,.. în buzunar, ajutaţi-l să efectueze plata şi să pună cât mai repede mâna pe biscuiţi.

Într-o tabără de vară se programează susținerea unor cursuri în K săli de clasă. Sunt N profesori care și-au exprimat dorința de a participa, fiecare dintre ei specificând intervalul de timp [ai, bi] în care își poate susține cursul. Programarea pe săli a profesorilor trebuie să țină cont de faptul că într-o clasă, la un moment dat, nu poate preda decât un singur profesor.

Cunoscându-se faptul că organizatorii doresc susținerea a cât mai multor cursuri, să se determine:

1) Numărul maxim de cursuri care pot fi programate în cele K săli de clasă, ținând cont de restricția indicată.
2) În dorința de a programa toate cursurile, în cele K săli, organizatorii decid să modifice durata cursurilor, păstrând însă neschimbată ora de început a lor. Astfel, ei hotărăsc ca toate cursurile să dureze un interval egal de timp, care însă nu va depăși durata celui mai lung curs propus inițial de unul dintre cei N profesori. Determinați care poate fi durata maximă pe care o pot avea cursurile în aceste condiții.