Lista de probleme 281

Avem o jucărie formată din NxN pătrate de latură 1 dispuse ca într-o matrice cu N linii și N coloane. Liniile și coloanele matricei sunt numerotate de la 1 la N, iar N este mereu impar. Pătrățelele pot fi albe și le vom codifica 0, sau negre și le codificăm 1. Împărțim matricea în zone concentrice astfel: zona 1 este formată din linia 1, coloana N, linia N și coloana 1; zona 2 este formată din linia a doua, coloana N-1, linia N-1, coloana 2 etc. Sunt [N/2] astfel de zone. În mijlocul matricei este, evident, un singur element, N fiind impar. Asupra oricărei zone putem aplica o operație de rotire, doar spre stânga.

Dată fiind codificarea jucăriei, precum și “lungimea” maximă permisă pentru o rotire în oricare zonă, să se determine numărul de posibilități de a aplica rotiri asupra zonelor așa încât să rezolvăm jucăria. Evident, unei zone i se poate aplica o singură rotire, de lungime cuprinsă între 0 și valoarea maximă permisă.

Se consideră o matrice A având N linii și N coloane. Elementele acesteia aparțin mulțimii {0,1,2}. Pe fiecare linie și pe fiecare coloană valorile elementelor sunt dispuse crescător.

Fie două elemente din matrice situate pe linia i1 și coloana j1 respectiv i2 și j2,unde i1≤i2 și j1≤j2. O submatrice a lui A, având colțurile stânga-sus şi dreapta-jos în (i1,j1) și (i2,j2), este formată din toate elementele situate pe linii cuprinse între i1 și i2, inclusiv, și coloane între j1 și j2, inclusiv. Numim submatrice constantă o submatrice a matricei A, având toate elementele egale.

Realizați un program care determină numărul maxim K de elemente pe care îl are o submatrice constantă a lui A și numărul submatricilor constante formate din K elemente.

Pe o foaie de matematică cu N pătrățele orizontale (pe aceeași linie) și M pătrățele verticale (pe aceeași coloană), Alex a pictat nave. Definim o navă linie (L) ca un set de pătrățele umbrite, consecutive pe un rând al foii de matematică. Definim o navă coloană (C) ca un set de pătrățele umbrite, consecutive pe o coloană a foii de matematică. Dimensiunea unei nave este egală cu numărul de pătrățele din care este formată. O navă formată dintr-un singur pătrățel nu este nici linie, nici coloană. Navele pot avea diferite dimensiuni. Două nave diferite nu se ating pe laturi sau colțuri, nu se suprapun și nu au pătrățele comune. Pe foaia de matematică sunt pictate doar nave de cele 3 tipuri: navă linie (L), navă coloană (C) sau navă pătrățel.

Cunoscându-se M, N și pictura lui Alex, scrieți un program care să determine:

1. Numărul de nave formate doar dintr-un singur pătrățel;
2. Numărul de nave linie și numărul de nave coloană, precum și dimensiunile acestora.

Șoricelul Remy dorește să depoziteze cubulețele de cașcaval pe care le-a adunat. El a construit un depozit pe o suprafață dreptunghiulară și l-a compartimentat în N*M camere identice. În fiecare cameră șoricelul a depozitat o cantitate de cubulețe de cașcaval (ca în Figura A) și a stabilit că va mânca în fiecare zi câte un cubuleț de cașcaval din fiecare cameră în care există cașcaval. Planul său este stricat de John, șoricelul leneș din casa vecină, căruia nu-i place să-și strângă singur cașcaval, așa că s-a hotărât să fure din depozitul lui Remy. Pentru că John este pasionat de matematică s-a hotărât ca în fiecare seară, după ce vecinul său a terminat de mâncat, să se plimbe prin depozit și să fure tot cașcavalul din camerele în care găsește un număr pătrat perfect de cubulețe de cașcaval. John intră în depozit prin camera din colțul stânga sus, de coordonate (1,1), parcurge prima linie de la prima la ultima coloană, apoi a doua linie de la ultima coloană, până la prima și așa mai departe, până când termină de vizitat toate camerele (ca în Figura B).

Scrieți un program care să determine:

1. Numărul de zile în care se va goli depozitul lui Remy și câte camere va goli John în ziua K.
2. Numărul maxim de camere consecutive golite de acesta într-o zi și ziua în care se va întâmpla acest lucru.

Fie un labirint reprezentat ca o matrice pătratică cu n linii (numerotate de sus în jos de la 1 la n) şi n coloane (numerotate de la stânga la dreapta de la 1 la n). Elementele matricei pot fi 0 (semnificând culoar de trecere) sau 1 (semnificând zid). Un roboţel se mişcă prin labirint după un anumit traseu, specificat ca o succesiune de direcţii de mişcare.

Marius este pasionat de pătrate perfecte. Se numeşte pătrat perfect un număr de forma x 2 (unde x este număr natural).

Într-o matrice T cu n linii şi m coloane, Marius a scris numere naturale nenule. Apoi construieşte o altă matrice NR, tot cu n linii şi m coloane. Elementul NR[i][j] = numărul de perechi de pătrate perfecte a căror diferenţă este egală cu T[i][j] (1≤i≤n, 1≤j≤m).

Cunoscându-se numerele n, m şi matricea T, să se afişeze matricea NR.

Un experiment urmăreşte comportarea unui şoricel pus într-o cutie dreptunghiulară, împărţită în n x m cămăruţe egale de formă pătrată. Fiecare cămăruţă conţine o anumită cantitate de hrană. Şoricelul trebuie să pornească din colţul (1, 1) al cutiei şi să ajungă în colţul opus (n, m), mâncând cât mai multă hrană. El poate trece dintr-o cameră în una alăturată (două camere sunt alăturate dacă au un perete comun), mănâncă toată hrana din cămăruţă atunci când intră. Se asemenea, nu va intra niciodată într-o cameră fără hrană. Stabiliţi care este cantitatea maximă de hrană pe care o poate mânca.

Se consideră harta universului ca fiind o matrice cu 250 de linii și 250 de coloane. În fiecare celulă se găsește o așa numită poartă stelară, iar în anumite celule se găsesc echipaje ale porții stelare. La o deplasare, un echipaj se poate deplasa din locul în care se află în oricare alt loc în care se găsește o a doua poartă, în cazul nostru în orice altă poziție din matrice. Nu se permite situarea simultană a mai mult de un echipaj într o celulă. La un moment dat un singur echipaj se poate deplasa de la o poartă stelară la alta.

Dându-se un număr p de echipaje, pentru fiecare echipaj fiind precizate poziția inițială și poziția finală, determinați numărul minim de deplasări necesare pentru ca toate echipajele să ajungă din poziția inițială în cea finală.

Să considerăm o matrice cu N linii şi N coloane cu elemente numere naturale. În această matrice trebuie să plasăm două ture, în poziţii distincte. Spunem că un element al matricei este atacat dacă se află pe aceeaşi linie sau pe aceeaşi coloană cu una dintre cele două ture. Elementele din poziţiile celor două ture nu sunt considerate atacate.
Turele vor fi plasate astfel încât suma elementelor atacate să fie cât mai mare. Scrieţi un program care să determine suma elementelor atacate (maximă posibil).

Generaţi un tablou bidimensional cu proprietăţile:

• conţine N linii şi N coloane;
• elementele sale sunt numere naturale nenule;
• suma elementelor este egală cu numărul natural nenul S;
• pe nici o linie şi pe nici o coloană nu există două elemente identice;
• diferenţa dintre cel mai mare şi cel mai mic element ale tabloului este minimă.