Lista de probleme 91

Se consideră harta universului ca fiind o matrice cu 250 de linii și 250 de coloane. În fiecare celulă se găsește o așa numită poartă stelară, iar în anumite celule se găsesc echipaje ale porții stelare. La o deplasare, un echipaj se poate deplasa din locul în care se află în oricare alt loc în care se găsește o a doua poartă, în cazul nostru în orice altă poziție din matrice. Nu se permite situarea simultană a mai mult de un echipaj într o celulă. La un moment dat un singur echipaj se poate deplasa de la o poartă stelară la alta.

Dându-se un număr p de echipaje, pentru fiecare echipaj fiind precizate poziția inițială și poziția finală, determinați numărul minim de deplasări necesare pentru ca toate echipajele să ajungă din poziția inițială în cea finală.

Într-o pădure există plantați copaci pe N linii și M coloane. Copacii au diferite înălțimi. O zonă dreptunghiulară de copaci din cadrul pădurii trebuie tăiată. Pădurarul trebuie să aleagă dintre C zone, o zonă în care suma înălțimilor copacilor este maximă. Deoarece pădurarului îi plac numerele prime, el va alege o zonă în care suma înălțimilor copacilor este și un număr prim.
Determinați suma din enunț pentru zonele puse la dispoziție.

Pe o foaie de matematică cu N x M pătrăţele, Maria desenează C cifre. Fiecare cifră este desenată într-o zonă formată din 7 x 4 pătrăţele albe şi negre denumite pixeli, aşa cum este ilustrat mai jos :

Fiecare pixel ocupă exact un pătrăţel pe foaia de matematică. Evident, pe foaie Maria va desena doar pixelii negri. Determinaţi numărul de pătrăţele negre de pe foaia de matematică după ce au fost desenate cele C cifre.

Se consideră o matrice pătratică de dimensiune N, conţinând numere naturale. Numim cruce de lăţime K reuniunea mulțimii tuturor elementelor aflate pe K linii consecutive ale matricei și a mulțimii tuturor elementelor aflate pe K coloane consecutive ale matricei. Două elemente ale matricei se consideră distincte dacă sunt situate pe poziții distincte în matrice. Se acceptă şi forma degenerată a unei cruci, în formă de T sau L, când una dintre liniile sau coloanele care formează crucea sunt chiar la marginea matricei. Vom defini valoarea unei cruci ca fiind suma elementelor din care aceasta este formată.

Scrieți un program care, pentru o valoare K dată, determină o cruce de lățime K a cărei valoare este maximă și poziția ei în matrice. Această poziție va fi exprimată prin perechea de indici reprezentând prima linie din cele K consecutive și prima coloană din cele K consecutive din care este formată crucea.

Se dă o matrice A cu N linii și M coloane cu elemente numere naturale nu neapărat distincte. Pentru o submatrice definim mex-ul acesteia ca fiind cea mai mică valoare naturală nenulă care nu apare în aceasta.
Să se calculeze produsul mex-urilor tuturor submatricelor având K linii și L coloane ale matricei A.

În urma bombardamentelor din 11 septembrie 2001, clădirea Pentagonului a suferit daune la unul din pereții clădirii. Imaginea codificată a peretelui avariat se reprezintă sub forma unei matrice cu m linii și n coloane. Sumele alocate pentru refacerea Pentagonului vor fi donate celor care vor ajuta americanii să refacă această clădire prin plasarea, pe verticală, a unor blocuri de înălțimi k, k=1, …, m, și lățime 1, în locurile avariate. Pentru o structură dată a unui perete din clădirea Pentagonului, determinați numărul minim al blocurilor, de înălțimi k=1, k=2, …, k=m, necesare refacerii clădirii.

Echipajul navei Enterprise, a descoperit pe planeta Marte, zona în care sunt amplasate b baze militare care adăpostesc navele de luptă ale marțienilor. Echipajul navei a reușit să cartografieze zona și a împărțit harta planetei în n x m zone de latură 1, dispuse pe n linii (numerotate de sus în jos de la 1 la n) și m coloane (numerotate de la stânga la dreapta de la 1 la m). Astfel fiecare zonă poate fi identificată prin numărul liniei și al coloanei pe care se află. În fiecare astfel de zonă se află o bază a marțienilor ce adăpostește un număr de nave. Căpitanul navei Enterprise, Jean-Luc Picard a elaborat o strategie de atac terestru a acestor baze militare.
Nava Enterprise poate ateriza într-o zonă în care nu se află o bază marțiană și poate lansa un singur atac (deoarece după primul atac bazele marțiene își vor activa scuturile de protecție). La un atac se vor emite simultan 2 raze laser care vor distruge toate navele marțiene existente în bazele aflate pe direcția acestor raze, în ambele sensuri. Razele sunt emise din centrul zonei în care a aterizat Enterprise și fac unghiuri de 45o, respectiv 135o cu linia pe care se află Enterprise.

Scrieți un program care, cunoscând configurația bazelor marțiene, determină numărul maxim de nave marțiene pe care Enterprise le poate distruge la un singur atac, precum și linia și coloana zonei în care poate ateriza nava Enterprise astfel încât să distrugă un număr maxim de nave; dacă există mai multe zone în care poate ateriza convenabil pentru Enterprise este să aleagă zona pentru care linia este maximă; dacă există mai multe zone pe linia maximă, se va alege cea pentru care coloana este maximă.

Pe un teren de formă dreptunghiulară format din L linii și C coloane sunt plantate M mine. Liniile sunt numerotate de sus în jos cu valori de la 1 la L iar coloanele sunt numerotate de la stânga la dreapta cu valori de la 1 la C. Deoarece războiul s-a terminat, specialiștii vor să demineze terenul și să-l redea utilizării publice. Mutarea unei mine reprezintă operația de transfer a unei mine de la linia x1 și coloana y1 la o poziție liberă, dată de linia x2 și coloana y2, unde 1 ≤ x1, x2 ≤ L și 1 ≤ y1, y2 ≤ C. Deoarece mutarea unei mine este periculoasă, trebuie determinat numărul minim de mine care trebuie mutate din poziția inițială astfel încât toate minele de pe teren să fie așezate unele lângă altele într-o zonă compactă dreptunghiulară, oriunde în cadrul terenului dat, pentru ca apoi să fie detonate împreună.

Cunoscând numărul de linii L și de coloane C ale terenului minat, numărul de mine M, precum și poziția fiecărei mine, să se scrie un program care determină:
1. linia sau liniile pe care se găsesc cele mai multe mine;
2. numărul minim de mine mutate, pentru ca toate minele de pe teren să fie așezate într-o zonă compactă cu formă dreptunghiulară.

Se consideră A un tablou bidimensional cu n linii, n coloane și elemente numere naturale. O zonă triunghiulară a tabloului, reprezentată de tripletul (lin, col, k), este o zonă de forma unui triunghi dreptunghic cu catetele de lungime egală cu |k|, definită astfel:

1. Pentru k>0, zona este compusă din k linii:
   • pe prima linie a zonei se află elementele A[lin][col], A[lin][col+1], …, A[lin][col+k-1];
   • pe a doua linie a zonei se află elementele A[lin+1][col], A[lin+1][col+1], …, A[lin+1][col+k-2];
   • pe a treia linie a zonei se află elementele A[lin+2][col], A[lin+2][col+1], …, A[lin+2][col+k-3];
   • …
   • pe ultima linie a zonei se află elementul A[lin+k-1][col].
2. Pentru k<0, zona este compusă din |k|=-k linii:
   • pe prima linie a zonei se află elementul A[lin-|k|+1][col];
   • pe a doua linie a zonei se află elementele A[lin-|k|+2][col-1], A[lin-|k|+2][col];
   • …
   • pe ultima linie a zonei se află elementele A[lin][col-|k|+1], A[lin][col-|k|+2],…, A[lin][col].

Suma elementelor ce compun o zonă triunghiulară se numește suma zonei.

Scrieţi un program care, cunoscând tabloul A şi Q zone triunghiulare, determină cea mai mare dintre sumele zonelor.

O fotografie alb-negru a surprins imaginea fulgerelor pe cerul întunecat în timpul unei furtuni electrice. Mărită, fotografia arată ca un caroiaj format din mici pătrate identice, albe sau negre, dispuse alăturat pe N rânduri și M coloane, câte M pe fiecare rând. Pătratele albe formează fulgerele din fotografie, iar pătratele negre reprezintă cerul. În fotografie, nu există două pătrate albe dispuse alăturat pe același rând. Un fulger este format din pătrate albe situate pe rânduri consecutive care respectă următoarele condiții: a) pătratele albe situate pe două rânduri consecutive au un vârf comun sau o latură comună; b) un fulger poate avea un singur pătrat alb pe un rând. În fotografie, fulgerele sunt distincte, ele neavând pătrate albe cu laturi sau vârfuri comune. Înălțimea unui fulger este dată de numărul de pătrate albe ale acelui fulger.
Scrieți un program care citește numerele N și M, cele N*M elemente ale tabloului T care codifică fotografia și rezolvă următoarele cerințe:

1. afișează numărul maxim P de pătrate negre dispuse alăturat pe un rând în fotografie;
2. afișează numărul F de fulgere și înălțimea maximă H a unui fulger din fotografie.