Lista de probleme 64

Gigel se distrează construind şiruri crescătoare de numere din mulţimea {1,2,…,n}. La un moment dat observă că unele şiruri, de cel puţin k termeni (k ≥ 3), au o proprietate mai aparte: diferența dintre doi termeni consecutivi este constantă. Iată câteva exemple de astfel de şiruri pentru n ≥ 22:
2, 3, 4
1, 5, 9, 13
7, 10, 13, 16, 19, 22
Dându-se numărul natural n ajutați-l pe Gigel să numere câte astfel de șiruri poate să construiască.

Ştiind că pe o bară metalică de lungime L cm se plasează exact N furnici în poziţii cunoscute şi cu sensul iniţial de deplasare cunoscut, să se scrie un program care calculează numărul de secunde după care va cădea de pe bară şi ultima furnică de la momentul iniţial. Toate furnicile îşi încep deplasarea concomitent.

O culegere de probleme are P pagini, numerotate de la 1 la P. Problemele din culegere sunt numerotate cu 1,2,3,...,etc, în ordinea apariţiei lor în culegere. Pe prima pagină a culegerii este scrisă o singură problemă (cea cu numărul 1). Pe a doua pagină sunt scrise exact două probleme (cele cu numerele 2 şi 3, în această ordine). Pe cea de a P-a pagină sunt scrise exact P probleme.
Scrieţi un program care citeşte numerele naturale P şi N şi determină valorile:
a) T, numărul total de cifre care au fost utilizate în numerotarea tuturor problemelor din culegere;
b) M, numărul minim de pagini pe care ar trebui să le aibă culegerea, astfel încât aceasta să conţină şi problema numerotată cu N.

Oli are un echer de forma unui triunghi dreptunghic, cu catetele de lungimi L1 și L2 unități, și o foaie de caiet de matematică cu M rânduri și N coloane de pătrățele având latura de o unitate.

Oli a poziționat echerul în colțul din stânga sus al foii de hârtie, ca în imaginea alăturată și vrea să îl mute astfel încât să atingă colțul din dreapta jos al foii de hârtie cu oricare din colțurile echerului, utilizând doar mutări de forma:

Scrieţi un program care citeşte lungimile catetelor echerului, numărul de rânduri, respectiv numărul de coloane ale foii de hârtie și determină:

1. numărul minim de mutări K, prin care poate muta echerul din colțul din stânga sus al foii de matematică, astfel încât echerul să atingă colțul din dreapta jos al foii;
2. cele K mutări efectuate pentru a deplasa echerul din colțul din stânga sus al foii, până când un colț al echerului atinge colțul din dreapta jos al foii; dacă există mai multe soluții, se va afișa soluția minimă în sens lexicografic.

Un elev în clasa a V-a, Rareş, s-a gândit să studieze mersul trenurilor ce trec prin gara din oraşul său, într-o zi. Gara are 2 linii, numerotate cu 1 şi 2, pe care sosesc şi pleacă trenurile. În acea zi, în gară sosesc T trenuri. Pentru fiecare tren din cele T, Rareş cunoaşte linia L pe care va sosi, momentul sosirii, adică ora H şi minutul M, precum şi durata de timp S de staţionare (exprimată în minute). El a decis ca perioada de studiu a celor T trenuri să înceapă cu momentul sosirii primului tren în gară din cele T şi să se încheie odată cu momentul plecării ultimului tren din cele T.

Din sala de aşteptare Rareş poate vedea cele 2 linii. Rareş are însă o problemă: atunci când un tren se află în gară pe linia 1, el nu poate vedea trenul staţionat în acelaşi timp pe linia 2. De exemplu, dacă un tren ajunge în gară pe linia 1 la ora 14:21 şi staţionează 5 minute atunci trenul va pleca din gară la ora 14:26. Astfel, în intervalul de timp [14:21-14:26], Rareş nu poate vedea ce se întâmplă pe linia 2. Trenul de pe linia 2 va putea fi vizibil începând cu minutul următor, adică de la 14:27.

Scrieţi un program care să determine pentru un număr T de trenuri care trec prin gară în perioada de studiu din acea zi:

• numărul maxim de trenuri Z care au staţionat pe aceeaşi linie;
• numărul X de trenuri pe care Rareş le vede;
• durata de timp maximă Y (exprimată în număr de minute consecutive), din perioada de studiu, în care Rareş nu a văzut niciun tren.

La ora de matematică distractivă, domnul profesor Numerus propune elevilor săi să completeze cu numere naturale o grilă cu 6 coloane numerotate cu literele A, B, C, D, E şi F şi cu un număr infinit de linii. Grila va fi completată cu numere naturale, începând cu numărul 1. Pe liniile impare completarea se va face de la stânga la dreapta, iar pe cele pare de la dreapta la stânga. Ultimul număr de pe o linie va fi identic cu penultimul număr (în sensul completării) de pe aceeaşi linie.

În figura alăturată aveţi completate primele 7 linii ale grilei.

Deoarece pe tablă sau pe o foaie de hârtie numărul de linii este limitat, deci grila poate fi efectiv completată doar pentru un număr mic de linii, domnul profesor Numerus doreşte ca elevii săi să determine, cu ajutorul calculatorului, imaginea unei anumite linii a grilei şi locul sau locurile pe care se poate afla un număr natural dat.

Deduceţi regula după care se completează linia k a grilei şi scrieţi un program care să citească numerele naturale k şi n şi care să determine:

a) numerele naturale de pe linia k, vizualizate de la stânga la dreapta;
b) linia pe care se află în grilă numărul natural n;
c) coloana sau coloanele pe care se află în grilă numărul natural n.

Într-o zi frumoasă de vară, Alice se juca în parc. Deodată, văzu un iepure cu ceas, numit Iepurele Alb, sărind grăbit în scorbura unui copac. Curioasă, Alice îl urmări şi sări şi ea în scorbură. Spre mirarea ei, ajunse într-o sală mare cu N uşi încuiate. Pe fiecare uşă era scris câte un număr natural. Într-o clipă, lângă ea apăru Iepurele Alb şi-i spuse că doar uşile cu numere magice pot fi deschise dacă are cheile potrivite. Pentru a o ajuta, Iepurele Alb i-a explicat că un număr magic este un număr natural care poate fi redus la o cifră prin complementarea cifrelor acestuia faţă de cifra sa maximă din scrierea zecimală, apoi prin complementarea cifrelor numărului obţinut faţă de cifra sa maximă şi aşa mai departe până când se obţine o cifră. Evident, nu toate numerele naturale sunt numere magice. De exemplu, uşa cu numărul 1234 poate fi deschisă cu cheia inscripţionată cu cifra 1 deoarece 1234 este un număr magic ce poate fi redus la cifra 1 prin complementări repetate (1234→3210→123→210→12→10→1), iar uşa cu numărul 1204 nu poate fi deschisă deoarece 1204 nu este un număr magic (indiferent de câte ori s-ar repeta complementarea nu poate fi redus la o cifră: 1204→3240→1204→3240→1204 ... ).

Înainte să dispară, Iepurele Alb îi dădu o cheie aurie inscripţionată cu cifra K şi o avertiză că poate deschide cu această cheie doar uşile cu numere magice ce pot fi reduse la cifra K.

Scrieţi un program care să citească numerele naturale N, K şi cele N numere naturale scrise pe cele N uşi, şi care să determine:

a) cel mai mare număr par dintre numerele scrise pe cele N uşi;
b) numărul uşilor care pot fi deschise cu cheia aurie inscripţionată cu cifra K.

Locuitorii planetei Agria, numiţi agri, au hotărât ca în celebrul an 2012 să le explice pământenilor cum trebuie cules „eficient” un rând cu n porumbi, numerotaţi, în ordine, cu 1, 2, 3,..., n.

Cei n porumbi sunt culeşi de mai mulţi agri. Primul agri merge de-a lungul rândului, plecând de la primul porumb şi culege primul porumb întâlnit, al treilea, al cincilea şi aşa mai departe până la capătul rândului.

Atunci când ajunge la capătul rândului, porneşte al doilea agri şi culege porumbi respectând aceeaşi regulă ca şi primul agri.

Metoda se repetă până când toţi porumbii sunt culeşi.

Pământeanul Ionel încearcă să descopere ce ascunde această metodă şi se gândeşte câţi porumbi culege primul agri, câţi agri culeg un rând cu n porumbi, la a câta trecere este cules porumbul cu numărul x şi care este numărul ultimului porumb cules.

Exemplu: Dacă pe un rând sunt n=14 porumbi atunci sunt 4 agri care culeg porumbii:

primul agri culege porumbii 1,3,5,7,9,11,13; al doilea agri culege porumbii 2,6,10,14; al treilea agri culege porumbii 4 şi 12; ultimul agri culege porumbul 8.

Pentru a-l ajuta pe Ionel să descopere secretul acestei metode, scrieţi un program care citeşte cele două numere naturale n şi x şi care determină:

a) numărul de porumbi culeşi de primul agri;
b) numărul de agri care culeg şirul de n porumbi;
c) numărul trecerii la care este cules porumbul cu numărul x;
d) numărul ultimului porumb cules.

Bunica Marei țese un covor. Mara urmărește cu mare atenție modelul și încearcă să-l reconstituie pe caietul de matematică. Modelul este format din romburi. Primul romb, de indice 1, are latura formată din două pătrățele, al doilea romb, de indice 2, are latura formată din trei pătrățele etc. Un romb de indice i are latura formată din i+1 pătrățele.
Romburile sunt unite, consecutiv, ca în exemplul din imaginea alăturată. Săgețile indică sensul în care bunica țese covorul.

Ca să nu uite modelul, Mara scrie pe caiet, începând cu 1, numere consecutive care să indice modul în care țese bunica covorul.

În exemplul următor este reprezentat modul în care se țese un model format din patru romburi.

Cunoscându-se numerele n și k să se determine:

1. numărul maxim de romburi complete care pot forma modelul unui covor, descris cu ajutorul unui șir format din maximum n numere naturale consecutive (primul număr din șir fiind 1);
2. cel mai mic indice al unui romb ce conține numărul k.

Maria are în camera sa N mărgele așezate una lângă alta. Pe fiecare dintre ele este scris un număr natural format din cifre nenule distincte. Pentru fiecare mărgea, Maria șterge numărul și în locul său scrie altul, având doar două cifre, respectiv cifra minimă și cifra maximă din numărul scris inițial, în ordinea în care aceste cifre apăreau înainte de ștergere. Acum Maria consideră că mărgelele sunt de două tipuri, în funcție de numărul de două cifre scris pe ele: tipul 1 (cele care au cifra zecilor mai mică decât cifra unităților) și tipul 2 (celelalte). Folosind mărgelele, fetița dorește ca prin eliminarea unora dintre ele (dar fără să le schimbe ordinea celorlalte) să obțină un colier circular cât mai lung care să respecte proprietatea că oricare două mărgele vecine ale sale sunt de tipuri diferite. În colierul format cu mărgelele rămase după eliminare se consideră că prima mărgea este vecină cu ultima.

1) determinați numărul de mărgele de tipul 1;
2) determinați numărul maxim de mărgele pe care le poate avea colierul;