Lista de probleme 193

O tablă de șah se reprezintă ca o matrice cu n linii și n coloane în care pozițiile libere au valoarea 0, iar pozițiile ocupate de piese sunt marcate prin valoarea 1.

Să se determine numărul maxim de piese pe care le poate lua un pion care pleacă de pe prima linie a tablei și vrea să ajungă pe ultima linie. Pionul poate porni din orice poziție de pe prima linie. Pe prima linie nu se află alte piese.

Pionul aflat în pozitia i,j se poate deplasa astfel:

• în poziția i+1, j dacă este liberă
• în poziția i+1, j-1 dacă este o piesă în această poziție
• în poziția i+1, j+1 dacă este o piesă în această poziție

În arhipelagul X, ajunge un peşte de aur. După drumul obositor parcurs de peşte, el vrea să se relaxeze într-o anumită zonă din acest arhipelag (cu coordonatele x2, y2). Totodată, acest peşte este curios să afle câte modalităţi sunt ca să ajungă în acea zonă.

Fie un vector cu n elemente numere naturale. Determinați suma maximă care se poate obține prin adunarea valorilor care nu se află pe poziții consecutive în vector.

Un numar natural se numeste “numar scara” daca toate cifrele lui sunt ordonate crescator, de la stanga la dreapta. De exemplu 11223569 este un “numar scara”, dar 98873 si 122429 nu sunt. Mihnea primeste o radiera si o foaie pe care este scris un sir de cifre. El trebuie sa stearga cat mai putine cifre cu proprietatea ca daca lipim cifrele ramase in ordinea din sir vom avea un “numar scara”.

Să se determine numărul minim de ștergeri pe care trebuie să le facă Mihnea.

Se dă un șir cu n elemente, numere naturale. Determinați un cel mai lung subșir crescător al șirului.

Dat n, un număr natural nenul, să se determine numărul de posibilități de a-l scrie pe n ca sumă de divizori ai săi. Pentru că acest număr poate fi foarte mare, se va determina modulo 123457.

Se dau două șiruri de caractere, litere mici ale alfabetului englez. Să se determine lungimea celui mai lung subșir comun.

De-a lungul principalei străzi din orașul nostru există n plopi, pentru fiecare cunoscându-se înălțimea. Primarul orașului dorește să taie anumiți plopi, astfel încât înălțimile celor rămași să fie în ordine strict descrescătoare.

Determinați numărul minim de plopi care trebuie tăiați astfel încât înălțimile celor rămași să fie în ordine strict descrescătoare.

Se dă un șir de N numere întregi indexat de la 1. Să se afle suma maximă a unui subșir format din T elemente astfel încât oricare 2 elemente consecutive ale acestuia să se afle la distanță cel mult K în șirul dat (distanța dintre elementele de pe pozițiile i și j, i < j, este j - i).

După ce în problema #Plata şi-a cumpărat biscuiţi, iar în problema #Maraton şi-a făcut temele, Costy s-a hotărât să meargă în vizită la prietenul său Paul. Și pentru că Paul este prietenul său cel mai bun, bineînţeles că nu se va duce cu mâna goala. Va trece pe la magazin şi îi va cumpăra un pachet de biscuiţi. Marea problemă a eroului nostru este oraşul rău famat, la fiecare intersecţie existând pericole. Oraşul are forma de două triunghiuri dreptunghice isoscele cu un vârf comun, ca în figura următoare:

C 
X X
X X X
X X X B
      X X
      X X X
      X X X P 

C – reprezintă poziţia iniţială a lui Costy, care se va afla mereu în colţul din stânga sus.
B – reprezintă poziţia magazinului, care se va afla mereu în vârful comun al celor 2
triunghiuri.
P – reprezintă poziţia lui Paul, care se va afla mereu în colţul din dreapta jos.

Cum spuneam, la fiecare intersecţie există pericole. O intersecţie X[i][j] reprezintă intersecţia străzii orizontale i, cu strada verticală j. Gradul de periculozitate al unei intersecţii este un număr întreg X[i][j]. Definim gradul unui drum ca fiind suma gradelor intersecţiilor ce compun acel drum.

Costy poate merge de la o intersecţie X[i][j], doar la o intersecţie X[i][j + 1] (în dreapta) sau X[i + 1][j](în jos).