Lista de probleme 108

Se consideră un tablou bidimensional cu m linii şi n coloane. Se numeşte traseu în V o parcurgere prin elementele tabloului astfel:

• se pleacă întotdeauna dintr-un element de pe prima linie a tabloului, se ajunge în final într-un alt element de pe prima linie a tabloului, trecând prin cel puţin 3 elemente, fără a trece printr-un element de mai multe ori;
• parcurgerea elementelor tabloului se face în forma unei singure litere V ca în desen, dintr-un element putându-se trece doar într-un alt element imediat vecin pe diagonală.

Fiecare element al tabloului conţine valori întregi. La parcurgerea traseului se calculează suma elementelor de pe traseu.

Determinaţi traseul în V care are suma maximă. În cazul în care există mai multe trasee de sumă maximă, se va alege traseul care parcurge cele mai puţine elemente. Dacă şi în acest caz există mai multe soluţii, se alege traseul cel mai din stânga (cel cu indicele coloanei de pornire cel mai mic).

După cum probabil ştiţi, contabilii îşi ţin datele sub formă de tabele şi calculează tot felul de sume pe linii şi pe coloane. Contabilul nostru Atnoc şi-a organizat valorile sub forma unui tabel cu n linii (numerotate de la 1 la n) şi m coloane (numerotate de la 1 la m). Elementele de pe ultima coloană sunt sumele elementelor de pe linii (mai exact, elementul de pe linia i şi coloana m este egal cu suma elementelor de pe linia i aflate pe coloanele 1, 2, …, m-1), iar elementele de pe ultima linie sunt sumele elementelor de pe coloane (mai exact, elementul de pe linia n şi coloana i este egal cu suma elementelor de pe coloana i aflate pe liniile 1, 2, …, n-1).

Se consideră o matrice binară B (cu valori 0 sau 1) cu N linii şi M coloane, liniile şi coloanele fiind numerotate de la 1 la N, respectiv de la 1 la M. Matricea B este generată după regula B[i][j] = R[i] xor C[j], unde R şi C sunt vectori binari de lungime N, respectiv M. Determinaţi numărul maxim de elemente egale cu 0 într-un dreptunghi a cărui arie este exact A, precum şi numărul de dreptunghiuri pentru care se obţine acest număr maxim.

Fiind data harta grădinii se cere să se determine starea finală a iepuraşului (îngeraş, rătăcit respectiv fericit), numărul de morcovi ronţăiţi până în momentul terminării expediţiei, precum şi numărul de paşi pe care îi face iepuraşul până la acest moment.

Primăria orașului Constanța reamenajează plaja din stațiunea Mamaia. Aceasta este reprezentată ca o zonă dreptunghiulară cu lățimea de a unități și lungimea de b unități. Pe plajă sunt trasate linii paralele cu laturile dreptunghiului astfel încât să formeze pătrate cu latura de o unitate, numite zone. Pe plajă se vor pune obiecte: umbrele și prosoape. Se consideră că dacă un obiect intră în interiorul unei zone, o ocupă în întregime. Se poziționează u umbrele de soare. Într-o zonă se poate așeza cel mult o umbrelă.

N turişti vin şi îşi aşează prosoapele pe plajă. Un prosop are formă dreptunghiulară şi va fi aşezat paralel cu laturile dreptunghiului. Turiştii îşi pot aşeza prosoapele pe zone libere sau peste prosoape deja aşezate. Un turist nu îşi poate aşeza însă prosopul pe plajă dacă suprafaţa acoperită de acesta include cel puţin o zonă în care se află o umbrelă.
M localnici au suprafeţe favorite pentru aşezarea prosoapelor. O suprafaţă favorită are forma unui dreptunghi cu laturile paralele cu laturile dreptunghiului care marchează plaja. După ce turiştii termină aşezarea prosoapelor, localnicii verifică dacă zonele din suprafaţa favorită sunt libere (neacoperite de prosoape aşezate de turişti sau de umbrele).

Scrieţi un program care să determine numărul de turişti care au reuşit să îşi aşeze prosoapele pe plajă, precum și numărul de localnici ale căror zone favorite sunt libere.

Pentru o matrice A cu n linii şi m coloane, ce conţine numere naturale, se defineşte amedia matricei A ca fiind valoarea situată la mijlocul şirului ordonat crescător format din toate elementele matricei A, dacă numărul de elemente din acest şir este impar, respectiv cea mai mică valoare dintre cele două valori situate la mijloc, dacă numărul de elemente din acest şir este par. Se definesc trei tipuri de operaţii ce pot fi aplicate matricei A. Scrieţi un program care determină valorile obţinute în urma efectuării operaţiilor de tip 3 din şirul de operaţii aplicate matricei A.

Păcală a reușit să ducă la bun sfârșit înțelegerea cu boierul căruia-i fusese slugă și, conform învoielii, boierul trebuie să-l răsplătească dându-i o parte din livada sa cu pomi fructiferi. Boierul este un om foarte ordonat, așa că livada sa este un pătrat cu latura de N metri unde, pe vremuri, fuseseră plantate N rânduri cu câte N pomi fiecare. Orice pom fructifer putea fi identificat cunoscând numărul rândului pe care se află și poziția sa în cadrul rândului respectiv. Cu timpul, unii pomi s-au uscat şi acum mai sunt doar P pomi. Păcală trebuie să-și delimiteze în livadă o grădină pătrată cu latura de K metri.

Pe baza unei imagini preluate din satelit, se realizează harta unei mici localități. Localitatea ocupă o suprafață dreptunghiulară, cu laturile orientate pe direcțiile Nord-Sud, respectiv Est-Vest. Studiind imaginea obținută de la satelit, cartografii au constatat că toate cele k clădiri au forma unor dreptunghiuri distincte. Imaginea poate fi reprezentată sub forma unui tablou cu n•m celule așezate pe n linii numerotate de la 1 la n și m coloane numerotate de la 1 la m.

Numim drum, un dreptunghi al tabloului care străbate întreaga localitate pe direcția Est-Vest și are un număr maxim de linii sau un dreptunghi care străbate întreaga localitate pe direcția Nord-Sud și are un număr maxim de coloane. Drumurile, evident, nu trebuie să treacă prin clădiri.

Cartografii sunt interesați ca pe această hartă să fie reprezentate la scară doar clădirile, nu și drumurile. De aceea, pentru realizarea hărții, lățimile drumurilor au fost reduse la o singură celulă

Tabloul care reprezintă imaginea localității se codifică astfel: 1 pentru o celulă ocupată de o clădire și 0 pentru o celulă neocupată.

Cunoscând n, m și k, precum și tabloul care codifică imaginea, se cere să se determine:

1. Numărul S de celule ocupate de către clădirea pătratică cu latura maximă și numărul de clădiri C alese dintre celelalte k – 1 clădiri, cu proprietatea că fiecare dintre ele “încape” în interiorul clădirii pătratice cu latură maximă, fără să se suprapună peste celulele marginale ale acesteia.
2. Tabloul care reprezintă harta, în urma prelucrării imaginii inițiale.

Sărbătorile de iarnă tocmai s-au încheiat. Florinel dorește să-și ajute părinții la despodobirea bradului. Tubul luminos pe care l-au folosit anul acesta este mai special. Are N3 becuri luminoase numerotate de la 1 la N3, iar fiecare bec care este inscripționat cu un număr prim, va rămâne mereu aprins. Cutia în care trebuie strâns tubul este un cub de latură N. Becul cu numărul 1, trebuie pus în colțul de coordonate (1,1,1), restul în spirală până la umplerea nivelului, apoi nivelul următor în sens invers, ș.a.m.d.

Cunoscând latura N a cubului, să se umple cubul cu tubul luminos (becurile fiind legate crescător), apoi să se determine:

1. Coordonatele (x,y,z) ale becului cu numărul V. (x-linia, y-coloana, z-înălțimea)
2. Numărul de becuri luminoase situate pe fiecare față a cubului.

Leneşul este un animal foarte leneş. El se deplasează numai în linie dreaptă, dar face din când în când câte un popas. În această problemă leneşul trebuie să traverseze de la nord la sud şi înapoi un teren reprezentat de o matrice de dimensiuni M×N cu valori numere naturale. Valorile reprezintă efortul cerut pentru traversarea zonei respective. Leneşul va alege o coloană pentru traversarea matricei, iar pentru popasuri, în număr de k1, va alege zone alăturate drumului din coloana din stânga sau cea din dreapta. În cazul în care se va întoarce va proceda la fel, dar va face k2 popasuri. Regulile problemei cer ca cele două drumuri să nu aibă zone comune.

Cunoscând dimensiunile M, N ale terenului, numărul de popasuri k1, k2 și efortul pentru traversarea fiecărei zone a terenului, să se determine:

1. Efortul minim de parcurgere a terenului de la Nord la Sud, folosind k1 popasuri.
2. Efortul minim de parcurgere a terenului de la Nord la Sud și înapoi de la Sud la Nord, folosind k1 popasuri la deplasarea Nord – Sud, respectiv k2 popasuri la deplasarea Sud – Nord.