Lista de probleme 48

Se dau un arbore cu N noduri și rădăcina în nodul 1 al cărui muchii au lungimi exprimate prin numere naturale nenule și Q query-uri de forma u v. Pentru fiecare query să se afle suma lungimilor tuturor drumurilor distincte de la un nod aflat în subarborele cu rădăcina în nodul u la un nod aflat în subarborele cu rădăcina în nodul v modulo \( {10}^{9} + 7 \)(lungimea unui drum este egală cu suma lungimilor tuturor muchiilor ce îl alcătuiesc).

Avem în cartier un arbore cu nodurile colorate și cu rădăcina nodul 1. Pentru fiecare nod i al arborelui să se afișeze câte culori distincte sunt în subarborele cu rădăcina în i.

Studii recente arată că într-adevăr există viață inteligentă pe Marte. Problema de acum este că omenirea se află în război cu Marțienii și cea mai bună strategie pentru noi este să atacăm primii. Pe Marte se află un sistem de cale ferată complex alcătuit din N orașe conectate de M căi ferate bidirecționale.

Omenirea a apelat la cel mai mare bombardier posibil, domnul RANDy, ca să distrugă căile ferate. Pentru că este un maniac, el mai are doar o bombă disponibilă, deci va putea ținti doar o cale ferată. RANDy va ținti doar căile ferate strategice. O cale ferată este strategică dacă și numai dacă există o pereche de orașe (x, y) astfel încât să putem ajunge de la x la y și după bombardarea acesteia, să nu mai poți ajunge de la x la y.

Marțienii încep să se prindă de planul nostru, așa că încep să construiască Q noi căi ferate. După fiecare cale ferată nou adăugată, RANDy vrea să știe câte căi ferate strategice există. El este în dubii, și vă cere ajutorul.

Fie un șir a = a1, a2, …, aN de numere naturale, nu neapărat distincte, cuprinse între 1 și N. Fie de asemenea două numere naturale x și y. Se definește operația transform(i) astfel: se determină valoarea w = 1 + (x * i + y * ai) mod N, apoi toate elementele egale cu ai din secvența ai, ai+1, …, aN își modifică valoarea în w. După fiecare operație de tip transform se calculează suma elementelor șirului obținut. Să se determine suma maximă care s-a obținut în șirul a efectuând pe rând asupra șirului operațiile transform(1), transform(2), …, transform(N).

După o zi productivă de făcut curățenie, Henry și Hetty au ieșit în oraș la un restaurant de sushi. În acest restaurant există N mese unite între ele prin N-1 benzi rulante cu dublu sens, astfel încât oricare două mese sunt conectate direct sau indirect prin benzi rulante. Pentru fiecare masă i, 1 ≤ i ≤ N, cunoaștem atât numărul K[i] de mese cu care este conectată direct, cât și lista ordonată de mese vecine acesteia: V[i,1], V[i,2] … V[i,K[i]].

Benzile rulante au rolul de a transporta preparatele la clienți. Acestea urmează un traseu unic, definit după următoarea regulă: pentru orice masă i, un preparat aflat la masa i care tocmai a venit dinspre masa V[i,j], va pleca de la masa i spre masa:

• V[i,j+1], dacă 1 ≤ j < K[i]
• V[i,1], dacă j = K[i].

În plus, dacă un preparat nou este trimis de la masa 1 spre masa V[1,1], știm că acesta va ajunge la masa i pentru prima oară venind dinspre masa V[i,1], pentru orice i, 1 ≤ i ≤ N.

Henry și Hetty au intrat în restaurant la momentul de timp 0. Ei știu că pe parcursul vizitei lor pe benzile rulante vor fi așezate M preparate. Pentru fiecare din cele M preparate ei cunosc tripletul (x, y, t), semnificând faptul că la momentul de timp t preparatul va fi așezat pe bandă în dreptul mesei x pentru a pleca spre spre masa V[x,y]. Ei mai știu și că timpul necesar unui preparat de a parcurge distanța dintre două mese vecine este de o unitate. Cei doi se vor așeza la o masă și vor lua de pe bandă toate preparatele care trec prin dreptul mesei respective. Henry și Hetty se întreabă: pentru fiecare masă i, care este timpul minim după care culeg toate cele M preparate ce vor fi puse pe bandă?

În perioada Campionatului Mondial din Brazilia se preconizează o creştere a traficului de cafea. Se ştie că sunt N orase, conectate prin N-1 străzi bidirecţionale, astfel încât se poate ajunge din orice oraş în altul. În prezent există K carteluri de cafea aflate în oraşe distincte, care își exercita influența în propriul oraș. Se ştie că fiecare din aceste carteluri doreşte să-şi extindă influenţa în oraşele vecine. Astfel, la un moment de timp, un cartel poate să-şi extindă influenţa într-un oraş vecin doar dacă acesta nu se află sub influenţa altui cartel. O dată ce un cartel îşi extinde influenta asupra unui nou oraş, cartelul îşi poate extinde influenţa şi în oraşele vecine acestuia. Se ştie că până la începerea campionatului mondial, fiecare oraş va fi sub influenţa unui cartel.

ABIN (Agência Brasileira de Inteligência) doreşte să afle în câte moduri poate fi dominată ţara de influenţele celor K carteluri la data începerii campionatului mondial, modulo 666013.

Cunoscând numărul de orașe N, modul în care acestea sunt conectate, numărul de carteluri inițiale K și cele K orașe în care se află cartelurile, să se determine numărul de moduri în care ţara poate fi împărţită între cartelurile de cafea, modulo 666013.

Mei și Satsuki s-au întors de curând în casa de vacanță a familiei lor. Această casă este formată din N camere, unite între ele prin N-1 culoare, astfel încât să se poată ajunge din orice cameră în orice altă cameră. Intrarea în casă se face prin camera 1. Deoarece casa n-a fost locuită timp de mai multe luni, în fiecare cameră i s-au stabilit s[i] spiriduși de praf.

Cele două fete doresc să-și amenajeze un spațiu de joacă întins pe mai multe camere. Ele vor să stabilească două camere a și b (nu neapărat distincte), astfel încât drumul cel mai scurt de la intrarea în casă până în camera b trece prin camera a. Fetele vor merge apoi din camera a în camera b pe drumul cel mai scurt (fără a trece de două ori prin aceeași cameră), gonind spiridușii de praf aflați în fiecare cameră prin care trec, inclusiv pe cei din camerele a și b. După ce fetele ajung în camera b, ele consideră că toate camerele din care au gonit spiridușii de praf au fost alese pentru spațiul de joacă.

Fetele au stabilit pentru fiecare cameră i un coeficient p[i] care reprezintă cât de plăcută ar fi camera i pentru spațiul lor de joacă. În plus, ele au convenit că nu vor goni în total mai mult de C spiriduși ai prafului din camerele prin care trec.

Cunoscând valorile lui N și C, numărul de spiriduși ai prafului s[i], coeficienții p[i] pentru fiecare cameră i, cât și modul în care sunt unite camerele prin culoare, să se determine suma maximă a coeficienților p ai camerelor alese pentru un spațiu de joacă ce respectă condițiile impuse de Mei și Satsuki.

Se dă un arbore cu N noduri numerotate de la 1 la N cu rădăcina în nodul 1. Fiecare nod din arborele dat are o valoare întreagă atașată. Se dau M întrebări de forma (x, y), unde x este un strămoș al nodului y: dacă s-ar elimina toate nodurile de pe lanțul care unește x cu y (inclusiv nodurile x și y), care ar fi valoarea maximă din nodurile neeliminate?

Cunoscând numărul de noduri N, configurația arborelui, valorile atașate celor N noduri, și cele M întrebări, să se răspundă la fiecare întrebare dată.

Bujorel s-a apucat de pomicultură şi a însămânţat un arbore (graf conex aciclic) cu N noduri, fiecare nod având o culoare dată dintr-un interval [1, K]. Acum, după ce arborele a crescut, el doreşte să ştie, pentru fiecare culoare, suma distanţelor dintre toate perechile de noduri ale arborelui ce au culoarea respectivă. Distanţa dintre două noduri se defineşte ca fiind numărul de muchii de pe drumul dintre cele două noduri. Deoarece Bujorel a folosit foarte mult îngrăşământ la plantarea arborelui, acesta a crescut foarte mult şi voi trebuie să scrieţi un program care calculează suma distanţelor dintre nodurile cu aceeaşi culoare.

În timp ce-și bea sortimentul preferat de vin sec, vrăjitorului Arpsod i-a venit în minte o problemă de informatică ce are un enunț cel puțin la fel de sec și anume:
Dându-se un arbore binar cu N noduri și rădăcina în nodul 1, să se răspundă la Q întrebări de forma: “sunt cei doi fii ai nodului X identici?”

Doi fii sunt identici dacă au același număr de subarbori și aceștia sunt identici (mai exact, pentru orice i=1, 2, ..., N subarborele i al primului este identic cu subarborele i al celui de-al doilea).

Cunoscându-se arborele, să se răspundă la cele Q întrebări de forma indicată în enunţ.