Lista de probleme 140

Locuitorii planetei Aritmo au hotărât ca în celebrul an 2012 să le explice pământenilor metoda plus de adunare a numerelor naturale pe planeta lor. La fel ca și planetele, înainte de adunare, numerele se aliniază astfel încât să se obțină cât mai multe cifre egale pe aceleași poziții. Cifrele egale, astfel obținute, se elimină din cele două numere. Pentru a obține rezultatul final, se adună cele două numerele deplasate, obținute după eliminare.

Într-o expresie în care se adună mai multe numere pot să apară paranteze rotunde. În evaluarea unei asemenea expresii, numită expresie parantezată, se efectuează mai întâi adunările din paranteze conform metodei descrise mai sus, parantezele fiind apoi înlocuite cu rezultatul adunărilor din paranteze.

Pentru a-i ajuta pe pământenii care doresc să învețe acest nou mod de adunare, scrieți un program care citește o expresie parantezată și determină:

a) adâncimea expresiei date;
b) valoarea acestei expresii.

Miruna se pregăteşte de vacanţa de vară. Ea a hotărât deja că împreună cu un grup de colegi să facă o excursie în regatul INFO unde moneda locală se numeşte BOSS. A studiat deja harta acestei zone şi a aflat multe lucruri interesante. Ea ştie că regatul se află pe o insula cu suprafaţa uscatului sub forma dreptunghiulară ce poate fi reprezentată ca o matrice cu N linii şi M coloane în care fiecare element este un cod pentru un tip de obiectiv turistic ce poate fi vizitat. Deoarece sosirea şi plecarea de pe insulă se face cu avionul, ea cunoaşte poziția (l0,c0) unde va fi debarcată şi poziţia (lf,cf) unde va fi plecarea de pe insulă. Ea se poate deplasa pentru vizitarea obiectivelor turistice doar în celule vecine pe cele opt direcţii (N, S, E, V, NE, NV, SE, SV), iar dacă nouă poziţie are alt cod decât cel din care venise la pasul precedent, atunci trebuie să plătească o taxa de vizitare egală cu produsul codurilor celor doua zone (exprimată tot în moneda locală, BOSS!!!). Miruna ar dori să afle care ar fi suma minimă necesară pentru a se deplasa până la locul de plecare de pe insulă. Dându-se configuraţia regatului şi poziţiile de plecare şi sosire, să se determine suma minimă necesară
deplasării.

Olivius d’Info a primit de ziua lui o stivă şi s-a bucurat foarte tare. S-a tot gândit ce să facă cu ea şi a inventat un joc de logică pentru colegii lui de clasă.

În prima fază el a scris mai multe bileţele, conţinând fiecare câte o permutare a primelor n numere naturale nenule: 1, 2, 3, … , n. Bileţelele scrise conţin permutări pentru diferite valori ale lui n.

A clasificat aceste permutări în permutări stivuite şi permutări nestivuite.

O permutare este stivuită dacă se poate obţine pe parcursul introducerii în stivă a numerelor 1, 2, 3, ...,n în această ordine, prin extragerea elementelor, în ordinea indicată în permutare.

O permutare nestivuită este o permutare care NU se poate obţine prin procedeul de mai sus.

Respectând procedeul lui Olivius, pentru n=4, permutarea stivuită (2,1,3,4) se obţine astfel:

Succesiunile (3,1,2,4) şi (4,2,1,3) sunt permutări nestivuite.

În faza a doua, unele bileţele au fost scurtate din stânga şi/sau din dreapta. Astfel, din permutarea stivuită (2,1,3,4) se pot obţine succesiuni de lungime mai mică: (1,3,4), (2,1,3), (1,3), (3) etc.

Orice succesiune care aparţine unei permutări stivuite, poate aparţine şi unei permutări nestivuite. De exemplu, succesiunea (2,1,3) aparţine atât permutării stivuite (2,1,3,4), cât şi permutării nestivuite (4,2,1,3).

Dându-se mai multe succesiuni de numere naturale distincte, determinaţi, pentru fiecare dintre acestea, dacă aparţin cel puţin unei permutări stivuite.

Într-un oraș există un hotel de formă cubică, cu N etaje, numerotate de la 1 la N. Suprafața fiecărui etaj K (1 ≤ K ≤ N) este pătratică și este împărțită în N x N camere identice alăturate, dispuse pe N linii și N coloane, fiecare cameră având drept etichetă un triplet de numere naturale (K L C) (K=etajul, L=linia, C=coloana, 1 ≤ L, C ≤ N), ca în imaginea alăturată.

Dintre cele N x N x N camere ale hotelului, una este specială deoarece în ea locuiește de mult timp un șoricel. Fiind isteț, el știe eticheta camerei în care se află precum și eticheta camerei în care bucătarul hotelului depozitează alimente.

Studiind hotelul, șoricelul a constatat că pe fiecare etaj, din orice cameră poate intra în toate camerele care au un perete comun cu aceasta (existând un mic orificiu pentru aerisire).

De asemenea, șoricelul a constatat că din fiecare cameră (situată la etajele 2, 3, …, sau N-1) poate intra în camera situată imediat deasupra ei și în camera situată imediat sub ea.

Fiind un șoricel binecrescut, el nu intră în nicio cameră ocupată de clienți ca să nu-i deranjeze. Hotelul având mulți clienți, șoricelul trebuie să-și găsească cel mai scurt traseu de la camera lui la camera cu alimente, traseu care să treacă printr-un număr minim de camere, toate neocupate.

Se cere să se determine:
a) numărul de camere prin care trece cel mai scurt traseu al șoricelului de la camera lui la camera cu alimente (inclusiv camera lui şi camera cu alimente);
b) etichetele camerelor prin care trece traseul determinat la punctul a).

Costel are o mare pasiune pentru rezolvarea cubului Rubik, atât de mare încât a început să facă cercetări și calcule diverse pornind de la acest joc. Ultima lui idee, inspirată de cubul Rubik, folosește un cub de latură 2 unități, compus din 8 cuburi cu latura de o unitate (cub unitate), având fețele exterioare colorate. Fiecare cub unitate are 3 fețe exterioare şi fiecare dintre acestea este colorată cu una din cele 10 culori disponibile, codificate prin cifrele de la 0 la 9.

Figura 1	Figura 2

Identificarea cuburilor unitate se face conform specificaţiilor din Figura 1. Cubul care nu este vizibil în Figura 1 are coordonatele (1, 1, 2). Cubul lui Costel permite efectuarea următoarelor tipuri de mutări, asemănătoare cu cele din cubul Rubik:

M1: Paralelipipedul 1 conține cuburile unitate de coordonate: (1, 1, 1); (1, 2, 1); (2, 1, 1); (2, 2, 1). Acesta este un disc așezat orizontal și poate fi rotit cu 90 de grade către dreapta, în sensul acelor de ceasornic.
M2: Paralelipipedul 2 conține cuburile unitate de coordonate: (1, 1, 2); (1, 2, 2); (2, 1, 2); (2, 2, 2). Acesta este un disc așezat orizontal și poate fi rotit cu 90 de grade către dreapta, în sens invers acelor de ceasornic.
M3: Paralelipipedul 3 conține cuburile unitate de coordonate: (1, 1, 1); (2, 1, 1); (1, 1, 2); (2, 1, 2). Acesta este un disc așezat vertical și poate fi rotit cu 90 de grade către planul îndepărtat, în sens invers acelor de ceasornic.
M4: Paralelipipedul 4 conține cuburile unitate de coordonate: (1, 2, 1); (2, 2, 1); (1, 2, 2); (2, 2, 2). Acesta este un disc așezat vertical și poate fi rotit cu 90 de grade către planul îndepărtat, în sensul acelor de ceasornic.

Prin configurație se înțelege memorarea culorii fiecărei fețe exterioare a celor 8 cuburi unitate, deci culorile celor 24 de feţe exterioare. Aplicând o succesiune validă de mutări se obține o altă configurație.

Pentru ușurința memorării unei configurații, Costel utilizează desfășurarea în plan a celor 6 fețe ale cubului său după modelul din Figura 2, care ilustrează modul în care sunt dispuse fețele în desfăşurare. Fiecare faţă a cubului conţine patru feţe exterioare ale cuburilor unitate având, în ordine, coordonatele specificate în figură.

Fiind date o configuraţie iniţială şi o configuraţie finală ale jocului, determinați numărul minim de mutări prin care se poate ajunge de la configurația inițială la configurația finală şi succesiunea corespunzătoare de mutări prin care se poate obţine configuraţia finală.

Fie n un număr natural nenul.

Să considerăm o expresie de forma: x[1]-x[2]-x[3]-...-x[n]

Se ştie că scăderea nu este o operaţie asociativă, adică x[1]-(x[2]-x[3])≠(x[1]-x[2])-x[3].

Ca urmare, prin plasarea unor perechi de paranteze în expresie, putem obţine diferite valori.
Pentru problema noastră, vom denumi scădere o expresie de forma de mai sus în care pot apărea şi paranteze rotunde care se închid corect. Valoarea unei scăderi se obţine efectuând operaţiile de scădere în ordine de la stânga la dreapta; dacă apar paranteze, se efectuează mai întâi operaţiile din paranteze.

Date fiind valorile x[1], x[2], …, x[n] care intervin în scădere, scrieţi un program care să rezolve următoarele două cerinţe:

1. să se determine valoarea maximă a unei scăderi (obţinută prin inserarea convenabilă a unor paranteze rotunde în expresia x[1]-x[2]-x[3]-...-x[n]), precum şi o scădere având valoare maximă.
2. să se determine valoarea unei scăderi specificate.

Parcul oraşului a fost neglijat mult timp, astfel că acum toate aleile sunt distruse. Prin urmare, anul acesta Primăria şi-a propus să facă reamenajări. Parcul are forma unui pătrat cu latura de n metri și este înconjurat de un gard care are exact două porți. Proiectanții de la Primărie au realizat o hartă a parcului și au trasat pe hartă un caroiaj care împarte parcul în nxn zone pătrate cu latura de 1 metru. Astfel harta parcului are aspectul unei matrice pătratice cu n linii și n coloane. Liniile și respectiv coloanele sunt numerotate de la 1 la n. Elementele matricei corespund zonelor pătrate de latură 1 metru. O astfel de zonă poate să conțină un copac sau este liberă. Edilii orașului doresc să paveze cu un număr minim de dale pătrate cu latura de 1 metru zonele libere (fără copaci) ale parcului, astfel încât să se obțină o alee continuă de la o poartă la alta. Scrieți un program care să determine numărul minim de dale necesare pentru construirea unei alei continue de la o poartă la cealaltă.

Arhipelagul RGB este format din insule care aparţin ţărilor R, G şi B. Putem reprezenta harta arhipelagului ca o matrice cu n linii şi m coloane cu elemente din mulţimea {0, 1, 2, 3}. Un element egal cu 0 reprezintă o zonă acoperită de apă; un element egal cu 1 reprezintă o zonă de pământ aparţinând unei insule din ţara R, iar un element egal cu 2 reprezintă o zonă de pământ aparţinând unei insule din ţara G, iar un element egal cu 3 reprezintă o zonă de pământ aparţinând unei insule din ţara B.

Se consideră că două elemente ale matricei sunt vecine dacă ele au aceeaşi valoare şi fie sunt consecutive pe linie, fie sunt consecutive pe coloană. Două elemente aparţin aceleiaşi insule dacă ele sunt vecine sau dacă se poate ajunge de la un element la celălalt pe un drum de-a lungul căruia oricare două elemente consecutive sunt vecine.

Pentru a încuraja relaţiile de colaborare dintre ţările R şi G, se doreşte construirea unui pod care să unească o insulă aparţinând ţării R de o insulă aparţinând ţării G. Podul trebuie să respecte următoarele condiţii:

• să înceapă pe o zonă cu apă consecutivă pe linie sau coloană cu o zonă aparţinând ţării R;
• să se termine pe o zonă cu apă consecutivă pe linie sau coloană cu o zonă aparţinând ţării G;
• să traverseze numai zone acoperite cu apă;
• oricare două elemente consecutive ale podului trebuie să fie vecine;
• lungimea podului să fie minimă (lungimea podului este egală cu numărul de elemente traversate de pod).

Dată fiind harta arhipelagului să se determine câte insule aparţin fiecărei ţări, precum şi lungimea minimă a unui pod care să satisfacă condiţiile din enunț.

Institutul Naţional de Robotică Avansată realizează o serie de teste ultimei generaţii de roboţi inteligenţi proiectaţi de specialiştii acestuia. Sistemul de testare se bazează pe o reţea de senzori formată din n segmente egale dispuse orizontal şi n segmente egale dispuse vertical. Distanţa între două segmente alăturate orizontale, respectiv verticale este de 1 metru. Fiecare segment orizontal este în contact cu fiecare segment vertical. Denumim nod un punct în care un segment orizontal şi unul vertical vin în contact. Segmentele sunt numerotate: cele orizontale de sus în jos începând de la 1 iar cele verticale de la stânga la dreapta începând de la 1.

Un nod va fi identificat prin două numere: primul reprezintă numărul segmentului orizontal iar al doilea numărul segmentului vertical care vin în contact în respectivul nod.

Într-unul dintre nodurile reţelei se află o ţintă. În alte două noduri se află câte o sursă ce emite o rază laser. O astfel de sursă emite raza într-o singură direcţie. Raza laser are o grosime neglijabilă. Cele două surse sunt astfel orientate încât raza emisă de fiecare “loveşte” ţinta. Cele două noduri în care sunt plasate sursele sunt astfel alese încât cele două raze nu se intersectează decât în nodul unde se află ţinta.

În alte două noduri ale reţelei se află câte un robot. Fiecare robot se poate deplasa dintr-un nod în cele vecine (cele aflate sus, jos, în stânga şi în dreapta), dar fără să iasă din cadrul reţelei. Roboţii se deplasează cu 1 m/secundă.

Se efectuează experimente în care roboţii sunt programaţi să se deplaseze prin reţea cu scopul de a proteja ţinta faţă de cele două raze laser. Un robot poate proteja ţinta fie ocupând nodul unde se află sursa, fie ocupând un nod prin care trece raza laser în drumul de la sursă către ţintă (razele laser nu “ocolesc” roboţii). Dimensiunea roboţilor este atât de mică încât, în acest al doilea caz, ei protejează ţinta faţă de raza laser doar când nodurile unde sunt sursa, ţinta şi robotul sunt coliniare iar robotul este între sursă şi ţintă. În momentul în care un robot ajunge într-un nod unde protejează ţinta faţă de una dintre raze, el se poate opri sau poate să îşi continue deplasarea. Dacă îşi continuă deplasarea astfel încât noua poziţie ocupată de acel robot şi poziţiile ţintei şi sursei nu mai sunt coliniare, atunci acel robot nu mai protejează ţinta. Din modul în care sunt alese poziţiile nodurilor pentru ţintă şi sursele laser rezultă că nu există nicio poziţie în care un robot să protejeze simultan ţinta faţă de ambele raze.

Fiecare robot este dotat cu o reţea neuronală şi poate învăţa din experimentele anterioare pe unde să se deplaseze. Pentru a mări capacitatea de adaptare a roboţilor, în k noduri ale reţelei sunt aşezate obstacole care fac ca roboţii să nu poată trece prin nodurile respective. Deoarece obstacolele folosite sunt transparente, razele laser pot trece prin acestea fără a le fi afectată intensitatea sau direcţia. Două sau mai multe obstacole dispuse pe acelaşi segment, în noduri alăturate, formează un zid. Lungimea unui zid este egală cu numărul de obstacole din care este alcătuit.

Cerințe:

1) Determinaţi lungimea maximă a unui zid.
2) Determinaţi numărul minim de secunde în care cei doi roboţi pot proteja ţinta faţă de cele două raze laser.

Se consideră un şir A=(A1, A2, ..., AN), format din N numere naturale nenule. Două numere se consideră vecine dacă se află pe poziţii alăturate (Ai are ca vecini pe Ai-1 şi Ai+1, pentru orice 1<i<N, A1 are ca vecin doar pe A2, iar AN are ca vecin doar pe AN-1).

Dacă două elemente vecine Ai, Ai+1 (1≤i<N) au cel puţin o cifră comună, ele se pot unifica. Procedeul de unificare constă în eliminarea din numerele Ai şi Ai+1 a tuturor cifrelor comune şi adăugarea prin alipirea numărului obţinut din Ai+1 la numărul obţinut din Ai, formându-se astfel un nou număr. Numărul Ai va fi înlocuit cu noul număr, iar numărul Ai+1 va fi eliminat din şir.

De exemplu, numerele Ai=23814 şi Ai+1=40273 au cifrele 2, 3, 4 comune, după unificare obţinem Ai=817, iar Ai+1 este eliminat; observaţi că dacă după eliminarea cifrelor comune, numerele încep cu zerouri nesemnificative, acestea vor fi eliminate, apoi se realizează alipirea.

Dacă în urma eliminării cifrelor comune, unul dintre numere nu mai are cifre, atunci numărul rezultat va avea cifrele rămase în celălalt. Dacă în urma eliminării cifrelor comune atât Ai cât şi Ai+1 nu mai au cifre, atunci ambele numere vor fi eliminate din şir, fără a fi înlocuite cu o altă valoare.

Ordinea în care se fac unificările în şir este importantă: la fiecare pas se alege prima pereche de elemente vecine Ai Ai+1 care poate fi unificată, considerând şirul parcurs de la stânga la dreapta. (De exemplu, considerând Ai=123, Ai+1=234, Ai+2=235, se unifică Ai cu Ai+1 => Ai=14, iar unificarea cu următorul număr nu mai este posibilă).

Cunoscându-se şirul celor N numere naturale, să se determine:

a) cifra care apare cel mai frecvent în scrierea tuturor celor N numere; dacă există mai multe cifre cu aceeaşi frecvenţă de apariţie maximă, se va reţine cea mai mică cifră.
b) şirul obţinut prin efectuarea unui număr maxim de unificări, după regulile descrise în enunţ.