Lista de probleme 140

Ionuţ pleacă în drumeţie într-o porţiune de teren de formă pătratică cu latura de N metri. O hartă a zonei are trasat un caroiaj care împarte zona în N*N pătrate unitate, cu latura de 1 metru. Astfel harta zonei are aspectul unui tablou pătratic cu N linii şi N coloane. Liniile şi coloanele sunt numerotate de la 1 la N. Elementele tabloului bidimensional corespund pătratelor unitate. Zona poate fi parcursă străbătând oricare dintre laturile pătratelor unitate cel mult o singură dată.

Ionuţ pleacă din punctul aflat în colţul din dreapta jos al pătratului unitate din linia X, coloana Y şi se deplasează făcând un pas (parcurgând o latură a unui pătrat unitate) în una din direcţiile Nord, Est, Sud, Vest. Pentru a reţine mai uşor traseul foloseşte următoarea codificare pentru cele 4 direcţii: 1 pentru deplasarea spre Nord, 2 pentru deplasarea spre Est, 3 pentru deplasarea spre Sud, respectiv 4 pentru deplasarea spre Vest.

Ajuns într-alt punct (colţ de pătrat unitate), Ionuţ continuă să se deplaseze fără a trece de mai multe ori pe aceeaşi latură a unui pătrat unitate.

Ionuţ se opreşte în momentul în care ajunge într-un punct prin care a mai trecut. Traseul străbătut între cele două treceri prin acelaşi punct delimitează o zonă de teren formată din pătrate unitate.

Dându-se linia X şi coloana Y corespunzătoare poziţiei de plecare a lui Ionuţ, dimensiunea zonei N, lungimea traseului L şi traseul determinaţi:
a) Numărul de paşi parcurşi între prima şi a doua trecere prin punctul de oprire.
b) Numărul de pătrate unitate interioare zonei delimitată de traseul străbătut între cele două treceri prin acelaşi punct.

Un fermier deține o fermă de formă dreptunghiulară cu lungimea m metri și lățimea n metri. Respectând principiul rotației culturilor, fermierul și a realizat un plan pentru semănarea culturilor în noul an. Astfel ,el a desenat un dreptunghi pe care l-a împărțit în m * n celule, fiecare corespunzând unui metru pătrat, și a colorat în culori diferite zonele care corespund unor culturi diferite. O cultură poate fi semănată pe mai multe parcele. Două celule care au o latură comună aparțin aceleiași parcele dacă au aceeași culoare (sunt însămânțate cu aceeași cultură). Fermierul are posibilitatea să irige o sigură parcelă și dorește să aleagă parcela cu cea mai mare suprafață. Nefiind mulțumit de suprafața rezultată, s-a întrebat dacă ar putea schimba cultura de pe o singură celulă, astfel încât să obțină o parcelă de suprafață mai mare.

Dându-se dimensiunile fermei și pentru fiecare celulă culoarea corespunzătoare culturii semănate, determinați:

• Cerința 1: Suprafața maximă a unei parcele în planul inițial.
• Cerința 2: Numărul liniei, respectiv al coloanei celulei pe care va semăna o altă cultură și culoarea corespunzătoare noii culturi în vederea obţinerii celei mai mari parcele posibile.

Charlie a decis să se joace cu literele dintr-un șir de caractere, șir ce conține doar literele mici ale alfabetului englez ’a’…’z’. Jocul constă în a elimina litere din șir după următoarea regulă: fie L1, L2, L3 trei litere aflate pe poziții consecutive în șir, atunci litera L2 poate fi eliminată dacă și numai dacă este strict mai mică lexicografic decât literele L1 și L3.

Pentru a face jocul mai interesant, Charlie atașează eliminării literei L2 un cost egal cu valoarea maximă dintre ō(L1) și ō(L3), unde prin ō(litera) înțelegem numărul de ordine al literei respective în alfabet (ō(’a’)=1, ō(’b’)=2,…, ō(’z’)=26). Charlie aplică în mod repetat procedeul de eliminare și calculează suma costurilor eliminărilor efectuate.

Fiind dat un șir de caractere să se determine:

a) Lungimea maximă a unei secvențe de litere alternante, adică o secvență pentru care literele aflate pe poziții consecutive sunt de forma: Li > Li+1 < Li+2 > Li+3 < Li+4 > … < Lj.
b) Suma maximă pe care o poate obține Charlie aplicând în mod repetat procedeul de eliminare a literelor, precum și șirul obținut în final.

O rezervație de urși panda, privită de sus, are formă dreptunghiulară și este compusă din n rânduri identice, iar pe fiecare rând sunt m țarcuri identice cu baza pătrată. Țarcurile sunt îngrădite și sunt prevăzute cu uși către toate cele 4 țarcuri vecine. Ușile sunt prevăzute cu câte un cod de acces, ca atare acestea se închid și se deschid automat. Prin acest sistem, unele ţarcuri sunt accesibile ursuleților, iar altele le sunt interzise acestora. În T țarcuri se găsește mâncare pentru ursuleți.

Ursuleții din rezervație poartă câte un microcip care le deschide automat ușile țarcurilor unde pot intra și închide automat uşile țarcurilor interzise. Un țarc este accesibil ursulețului dacă ultimele S cifre ale reprezentărilor binare ale codului țarcului și ale codului k de pe microcip sunt complementare. (Exemplu: pentru S=8, 11101011 și 00010100 sunt complementare).

Într-un țarc este un ursuleț căruia i s-a făcut foame. Ursulețul se deplasează doar paralel cu laturile dreptunghiului. Trecerea dintr-un țarc în altul vecin cu el se face într-o secundă.

Cunoscând n și m dimensiunile rezervației, codurile de acces de la fiecare dintre cele n*m țarcuri, coordonatele celor T țarcuri cu mâncare, coordonatele țarcului L și C unde se află inițial ursulețul, codul k al microcipului său și numărul S, determinați:

a) Numărul X de țarcuri care îndeplinesc proprietatea că ultimele S cifre din reprezentarea binară a codului lor sunt complementare cu ultimele S cifre din reprezentarea binară a codului k purtat de ursuleț, cu excepția țarcului în care se află acesta inițial.
b) Numărul minim de secunde Smin în care poate ajunge la un țarc cu mâncare precum și numărul de țarcuri cu mâncare nt la care poate ajunge în acest timp minim.

În Orașul Liniștit un număr de k tineri prieteni doresc să participe la un miting de protest. Deoarece cartierul în care locuiesc aceștia este mare, ei se vor deplasa spre punctul de întâlnire cu mașinile personale. Fiecare tânăr va aduce cu el o pancartă, pe care a desenat o singură literă din mulțimea A ... Z. Nu există două pancarte cu litere identice. Cele k litere formează un cuvânt, să-l notăm cuv, cunoscut.

Cartierul în care locuiesc tinerii poate fi codificat printr-o matrice cu n*m zone pătratice, dintre care unele sunt interzise. Se știe că o mașină consumă o unitate de combustibil la trecerea dintr-o zonă în zona vecină și nu consumă combustibil dacă staționează. Două zone sunt vecine dacă au în comun o latură. Pentru a face economie de combustibil, tinerii decid că dacă două mașini se întâlnesc într-o zonă și toate literele aflate în cele două mașini reprezintă o secvență din cuvântul cuv, atunci ei vor continua drumul cu o singură mașină, luând desigur toate pancartele cu ei. În caz contrar, mașinile își continuă drumul separat.

De exemplu, dacă cuvântul cuv este JOS, atunci mașina care transportă litera J poate prelua tânărul care aduce pancarta cu litera O, sau invers: mașina având litera O poate prelua tânărul care aduce litera J. Apoi se poate continua drumul spre mașina care transportă litera S. În altă variantă se pot reuni mai întâi literele S și O într-o singură mașină, dacă mașinile care le transportau se întâlnesc în aceeași zonă. Totuși, între mașina care transportă doar litera J și cea care transportă doar litera S nu se poate realiza un transfer, adică o reunire a literelor.

Cunoscând dimensiunile cartierului n și m, cuvântul cuv, configurația cartierului și pozițiile inițiale ale tinerilor, se cere:

1. Aria minimă a unei submatrice a matricei care codifică cartierul, în care se situează toate pozițiile inițiale ale tinerilor.
2. Numărul minim de unități de combustibil consumați de către toate mașinile, știind că în final toți tinerii se vor reuni într-o singură mașină.

Pentru a diminua efectele crizei economice prin creşterea numărului de telespectatori (şi implicit a veniturilor provenite din publicitate), redacţia „Şocuri şi concursuri” a unei televiziuni selecte a decis să organizeze un turneu de lupte k1. La acesta vor lua parte N sportivi. Fiecare dintre aceştia are un rating, calculat pe baza rezultatelor sale anterioare. Suma de bani pe care o primeşte pentru fiecare luptă la care va lua parte este egală cu acest rating. În urma fiecărei lupte rating-ul învingătorului creşte cu valoarea rating-ului învinsului.

Cum televiziunea îşi doreşte un profit cât mai mare, conducătorii acesteia doresc să programeze meciurile astfel încât să plătească luptătorilor o sumă totală cât mai mică. Ştiind că nu există lupte încheiate la egalitate şi că turneul se termină doar după ce a fost stabilit un învingător, stabiliţi care este suma totală minimă pe care o pot plăti organizatorii. Suma totală plătită de televiziune este obţinută prin adunarea sumelor plătite tuturor luptătorilor pe parcursul turneului.

Numim listă un sir de numere naturale. Avem la dispoziţie mai multe liste aşezate, în ordine, una sub alta. Spunem că două liste L1 şi L2 sunt vecine dacă L1 este imediat deasupra lui L2, sau dacă L2 este imediat deasupra lui L1. Oricare două liste vecine L1 şi L2 pot fi unificate dacă ele au cel puţin un element comun. Prin unificare, noua listă va avea ca elemente toate elementele din L1 la care se adaugă toate elementele din L2. Listele L1 şi L2 vor dispărea şi în locul lor va apărea noua listă.

Determinaţi numărul minim de liste care rezultă după aplicarea unui număr suficient de unificări astfel încât să nu mai existe două liste vecine care să poată fi unificate.

Pixy locuieşte într-o ţară colorată. Harta ţării poate fi reprezentată sub forma unui dreptunghi împărţit în celule, organizate în M linii şi N coloane. Liniile sunt numerotate de la 1 la M, începând de la linia de sus, iar coloanele sunt numerotate de la 1 la N începând de la coloana din stânga. Fiecare celulă are o anumită culoare. Culorile sunt codificate cu literele A, B, C, D, E, F (există doar 6 culori).

Casa lui Pixy se găseşte în celula de coordinate (1,1), iar prietena lui, Pixela, locuieşte în celula de coordonate (M,N). Pixy doreşte să ajungă la aleasa inimii sale, însă nu poate păşi decât pe celule de aceeaşi culoare. Ştim că Pixy se poate deplasa doar orizontal, sau vertical cu câte o căsuţă la fiecare pas.

Pentru a putea ajunge la Pixela, Pixy va proceda astfel: alege o culoare şi va recolora celula în care se găseşte casa sa cu culoarea aleasă. Astfel va obţine o zonă de celule adiacente având toate aceeaşi culoare. Două celule se consideră adiacente dacă se învecinează orizontal sau vertical. De exemplu, pentru harta din figura 1, dacă alege culoarea având codul D va obţine zona marcată din figura 2, toate celulele din această zonă având culoarea D.

În continuare Pixy va proceda asemănător: alege o nouă culoare, şi recolorează toată zona obţinută la pasul anterior cu noua culoare, astfel zona pe care poate păşi se lărgeşte. De exemplu, dacă în situaţia din figura 2, Pixy alege acum culoarea cu codul C va obţine situaţia din figura 3.

Procedeul continuă până când celula corespunzătoare casei Pixelei face şi ea parte din zona obţinută de Pixy în urma recolorărilor.

Alegerea culorilor de la fiecare pas trebuie făcută cu mare grijă, astfel încât numărul de recolorări să fie minim.

Acum lui Pixy îi mai rămâne sarcina de a găsi un drum cât mai scurt pe care îl va parcurge până la Pixela, păşind doar pe celulele din zona obţinută în urma recolorărilor succesive, adică celulele de pe parcursul drumului vor avea toate aceeaşi culoare.

Se cere să determinaţi:

a) numărul minim de recolorări
b) lungimea drumului minim de la Pixy la Pixela, parcurs pe zona obţinută în urma recolorărilor de la cerinţa a).

Atunci când este plictisit, Costel inventează jocuri logice şi încearcă să le rezolve. Într-o zi Costel ia o tablă dreptunghiulară împărţită în M*N pătrăţele identice, asemănătoare unei table de şah, şi aşează pe aceasta cuburi identice astfel încât, pe fiecare pătrat al tablei să se afle cel puţin un cub şi cel mult 10 cuburi suprapuse. Costel determină numărul minim de cuburi aşezate pe o poziţie a tablei, notat cu MIN.

El defineşte noţiunea de mutare astfel: alege patru pătrăţele învecinate, care formează un pătrat compus din 2*2 pătrăţele şi ridică toate cuburile de pe aceste poziţii astfel ca, pe fiecare dintre cele patru pătrăţele, să existe un număr de cuburi egal cu MIN. Efortul necesar efectuării mutării este egal cu MAX-MIN, unde MAX reprezintă numărul maxim de cuburi aflat pe unul dintre cele patru pătrăţele alese.

Scopul jocului este acela de a obţine acelaşi număr de cuburi, egal cu valoarea MIN, pe fiecare pătrăţel de pe tablă, efectuând un şir de mutări ce necesită un efort total minim. Efortul total depus pentru rezolvarea jocului este egal suma eforturilor mutărilor efectuate.

Determinaţi valoarea efortului total minim depus pentru rezolvarea jocului.

Mihai a primit de ziua sa un joc de şah special. Tabla jocului are forma pătrată, de dimensiune N dar unele poziţii sunt marcate ca obstacole şi ele nu pot fi ocupate cu piese. În plus, jocul său are o singură piesă, numită “nebun”. Două poziţii pe tablă sunt desemnate ca poziţie iniţială şi poziţie finală. Mihai vrea să determine o modalitate de a deplasa nebunul, cu un număr minim de mutări, astfel încât acesta să ajungă din poziţia iniţială în poziţia finală. Mihai va respecta regulile de mutare a nebunului la jocul de şah, adică din poziţia curentă nebunul se poate muta doar pe diagonală, în oricare dintre cele 4 direcţii, oricâte poziţii deodată dar fără a sări peste obstacole. În plus, Mihai are voie la o excepţie de la această regulă: îi este permis să execute cel mult două mutări după regula de avansare a calului pe tabla de şah.

Dată fiind configuraţia tablei de şah precum şi poziţiile iniţială şi finală ale piesei, se cere determinarea numărului minim de mutări pentru a deplasa piesa între cele două poziţii.