Lista de probleme 140

Se dă un șir de N numere distincte a[1],a[2],..a[N]. Orice secvență
a[i],a[i+1],...,a[j-1],a[j], 1 ≤ i + 1 < j ≤ n, pentru care toate valorile a[k],
i < k < j, sunt mai mici decât extremitățile a[i] și a[j], o vom numi în continuare “groapă”.

Scrieţi un program care va determina numărul “gropilor” din șirul dat.

Şoricelul Jerry este (pentru a câta oară ?) în labirint. Labirintul poate fi codificat ca o matrice cu n linii şi m coloane formată din n*m celule pătratice identice. Liniile se numerotează de la 1 la n, iar coloanele de la 1 la m. Labirintul este format din celule libere şi din celule ocupate de pereţii labirintului.

La momentul iniţial, Jerry se găseşte într-o anumită celulă liberă şi misiunea lui este să ajungă la destinaţie într-o altă celulă liberă precizată. Șoricelul se poate deplasa din celula curentă în oricare dintre cele patru celule cu care aceasta are în comun o latură şi nu poate ieşi în afara labirintului. Este posibil ca el să nu poată să ajungă de la poziţia iniţială la cea finală trecând doar prin celule libere. În această situație el este nevoit să sfărâme peretele în anumite celule. Jerry şi-a pregătit dinamită în acest scop, pentru că nu i se pare optim să roadă peretele cu dinţii.

Cunoscând dimensiunile n şi m ale labirintului, coordonatele celulei de plecare şi ale celulei destinaţie, precum şi coordonatele celulelor ocupate de pereţi, să se determine numărul minim de celule ocupate, pe care Jerry trebuie să le dinamiteze pentru a putea să ajungă la destinaţie.

În banca lui Cătălin există un seif special unde Moș Crăciun își ține ascunse cadourile pentru copiii cei cuminți. Fiind vorba de o persoană așa de importantă, codul seifului nu este unul ușor. Moșului îi este dat un cartonaș cu n numere pe care le parcurge, în ordine, de la al doilea la penultimul, şi verifică pentru fiecare număr dacă cei 2 vecini sunt ori divizori ori multipli ai acestuia. Dacă da, va șterge primul triplet care respectă această regulă (numărul şi vecinii săi), formându-se un nou cod pentru care se reia de la început aplicarea regulii, până când nu mai există pe cartonaș niciun număr care să respecte proprietatea de eliminat.

La final se vor obține valorile corecte ale codului, care vor fi introduse în ordinea apariției lor sau, în cazul în care s-au șters toate numerele de pe cartonaș, atunci codul va fi mesajul preferat folosit de Moș Crăciun: Merry Christmas.

Date fiind cele n numere de pe cartonaş, Moșul vă roagă să aflați codul de care are nevoie pentru a putea deschide seiful în seara de ajun.

Rică se joacă în fiecare seară The MazeRunnerVladVersion, joc pe care îl vom numi pentru simplitatea problemei MR. Jocul constă în găsirea unei căi de scăpare dintr-un labirint care conține:

• ziduri prin care Rică nu va putea să treacă;
• zero sau mai multe teleporturi cu ajutorul cărora deplasarea între două puncte precizate p1(x1, y1) și p2(x2, y2) se face într-un minut, dacă se doreşte acest lucru;
• zone libere, trecerea din zona curentă într-o zonă învecinată se poate face pe direcția celor patru puncte cardinale. Deplasarea se va face într-un minut.

Rică pleacă din colțul stânga-sus al labirintului și doreşte să ajungă în colțul dreapta-jos.

El știe că are o teză în ziua următoare, așa că vă cere ajutorul vouă, programatorilor, și vă roagă să aflați timpul minim în care poate să ajungă din colțul stânga-sus în colțul dreapta-jos al labirintului.

Renumitul nostru brutar a avut azi noapte un vis tare ciudat: acesta trăia într-un univers paralel în care nu omul îl mănâncă pe blat ci blatul îl mănâncă pe om… (eh, poate nu chiar atât de paralel). Astfel, brutarul nostru a fost atacat de blatul pe care tocmai îl pregătise (pentru prăjituri, evident) și a încercat să scape. Acesta a ieșit din brutărie și a ajuns în fața unui câmp de formă dreptunghiulară, cu dimensiunile cunoscute, ce poate fi împărțit în celule elementare cu latura de o unitate (exact ca o matrice!). Acesta poate intra pe câmp prin orice celulă a primei linii și trebuie să ajungă în orice celulă a ultimei linii (blatul se va întări până va ajunge acolo). Unele celule îi sunt inaccesibile din cauza diverselor obstacole (pietre, pomi, gropi,etc.)

Brutarul nostru se poate deplasa în 6 moduri:

• Din căsuța curentă în cele adiacente ( Nord, Vest, Sud, Est )
• Două mișcări speciale ce pot varia.

Mutările speciale vor fi citite din fișier și o mutare se va codifica astfel: xA yB, unde x și y sunt numere naturale nenule iar A și B sunt două caractere ce codifică direcția (A poate fi 'N' sau 'S' de la Nord respectiv Sud iar B poate fi ‘E’ sau ‘V’ de la Est respectiv Vest)

O mutare specială se poate face dacă celula destinație nu este ocupată de un obstacol și dacă nu implică ieșirea brutarului din matrice.

Brutarul vă roagă să îi specificați un traseu cu număr minim de celule parcurse, ce pornește de pe prima linie și se termină pe ultima linie, pentru a nu fi blătuit (mâncat de blat).

Lui Andrei îi plac foarte mult jocurile de tip puzzle. De curând, el a descoperit un joc nou: un cub de dimensiune n format din n•n•n cuburi unitate sub forma unor cămăruţe. Cubul poate fi văzut ca o matrice tridimensionala ale cărei elemente sunt cămăruţele. Două cămăruţe se numesc adiacente dacă au o faţă comună. Astfel, o cămăruţă poate fi adiacentă cu maxim 6 cămăruţe. Scopul jocului este acela de a duce o bilă din cămăruţa de coordonate (1,1,1) în cămăruţa de coordonate (n,n,n). Bila poate trece dintr-o cămăruţă în alta doar dacă acestea sunt adiacente, iar noua cămăruţă este accesibilă din cămăruţa curentă.

Cunoscând n, dimensiunea cubului şi valorile asociate fiecărei cămăruţe, determinaţi:

a) cămăruța cu un număr maxim de cămăruțe ce pot fi accesate din ea;
b) un drum de lungime minimă de la cămăruţa (1,1,1) la cămăruţa (n,n,n).

Fericit că s-a calificat la ONI, XORin vrea să sărbătorească făcând cât mai mult zgomot. Deoarece e programator, acesta s-a gândit să automatizeze felul în care face zgomot.

Pentru a face zgomot el folosește o placă cu circuite de diverse intensități. Placa poate fi reprezentată sub forma unei matrice cu N linii și M coloane. Fiecare celulă din matrice are o intensitate între 0 și 9 (o celulă cu intensitatea 0 corespunde unei zone goale, fără nici un circuit).

Un circuit începe într-o celulă a matricei și se termină în altă celulă, fiind o succesiune de celule adiacente de aceeași intensitate de la un capăt la celălalt al circuitului, asemenea unui drum pe matrice între cele două celule. Două celule se consideră adiacente dacă au o latură comună, deci o celulă e adiacentă cu maxim patru alte celule.

Placa a fost concepută în așa fel încât să nu apară scurtcircuite, așadar curentul dintr-un circuit poate merge numai într-o singură direcție (cu alte cuvinte, fiecare celulă dintr-un circuit se învecinează cu maxim alte două celule din același circuit). Nu există circuite de aceeași intensitate care să se învecineze.

Zgomotul produs de un circuit este egal cu lungimea lui, adică cu numărul de celule din matrice corespunzătoare circuitului.

Cerințe:

1) Să se afle numărul de circuite.
2) Să se afle valoarea zgomotului maxim care poate fi obținut unind două circuite. Două circuite pot fi unite dacă se poate trage o legătură de la un capăt al unui circuit până la un capăt al celuilalt circuit, numai prin celulele libere ale matricei (de intensitate 0). Legătura trebuie să aibă forma unui circuit. Lungimea circuitului nou creat nu se adaugă la zgomotul produs de cele doua circuite.
3) Să se afișeze placa ce conține legătura care unește două circuite din care se obține zgomotul maxim de la cerința 2. Dacă există mai multe variante, se poate afișa orice placă care conține legătura validă.

NASA plănuiește o nouă misiune Rover pe Marte în anul 2020. Principalul obiectiv al acestei misiuni este de a determina, cu ajutorul unui nou Rover, dacă a existat în trecut viață pe Marte. Până când va fi lansată misiunea, Roverul este supus la tot felul de teste în laboratoarele NASA. Într-unul din teste, Roverul trebuie să parcurgă o suprafață de forma unui caroiaj cu N linii și N coloane. Acesta pornește din zona de coordonate (1,1) și trebuie să ajungă în zona de coordonate (N,N), la fiecare pas putându-se deplasa din zona în care se află într-una din zonele învecinate la nord, sud, est sau vest. Pentru fiecare zonă de coordonate (i,j) se cunoaște A[i,j], stabilitatea terenului din acea zonă. Știind că Roverul are o greutate G, o zonă cu stabilitatea terenului cel puțin egală cu G se consideră o zonă sigură pentru deplasarea Roverului, iar o zonă cu stabilitatea terenului mai mică decât G se consideră o zonă periculoasă pentru Rover.

1. Determinați numărul minim posibil de zone periculoase pe care le traversează Roverul pentru a ajunge din zona (1,1) în zona (N,N).
2. Determinați greutatea maximă pe care o poate avea un Rover care să ajungă din zona (1,1) în zona (N,N), fără a traversa nicio zonă periculoasă pentru el.

Cunoscând numărul de ani vizibili și numărul de participanți din fiecare din acești ani, să se răspundă la mai multe afirmații de tipul enunțat mai sus.

Mihai a construit o matrice pătratică A de dimensiune N cu valori în mulțimea {0,1}. El preferă acele matrice care au toate elementele identice și de aceea a calculat pentru matricea A, numărul K de submatrice care au toate elementele identice. Acum, Mihai vrea să transforme matricea A într-o matrice cu toate elementele identice. Pentru aceasta, el a selectat un număr natural nenul D, și definește operația ZET care constă în alegerea unei submatrice pătratice de dimensiunea D din matricea precedentă în care schimbă toate elementele 0 în 1 și invers. El vrea să aplice operația ZET inițial pentru matricea A, apoi repetă operația pentru matricea obținută la momentul anterior, de un număr minim de ori, notat R, până când matricea obținută are toate elementele identice, sau dacă nu este posibil, R va avea valoarea -1.

Mihai vă roagă să calculați valorile K și R. Pentru a preciza tipul cerinței, Mihai folosește un cod T care dacă are valoarea 1, atunci solicită calcularea valorii K, iar dacă T are valoarea 2, atunci solicită calcularea valorii R.