Lista de probleme 208

Nici nu ştiţi cât de greu este să fii funcţionar. Zeci de rapoarte de întocmit, sute de cereri ce trebuiesc redactate, mii de semnături, sute de mii de hârtii de înregistrat. Circuitul nesfârşit al hârtiilor este cunoscut sub numele de birocraţie. În instituţia noastră sunt angajaţi N funcţionari, numerotaţi de la 1 la N.

Fiecare dintre ei trebuie să înregistreze un număr considerabil de documente. Acesta este motivul pentru care în fiecare zi, încă de la prima oră, funcţionarii se aşază la coadă la secretariat, în ordine de la 1 la N. Modalitatea de înregistrare a documentelor este următoarea: funcţionarul se aşează la coadă, aşteaptă până îi vine rândul, înregistrează un singur document, apoi, dacă mai are alte documente se reaşează la coadă, ş.a.m.d. Din păcate, serviciul de secretariat înregistrează într-o zi cel mult M documente.

Dacă se cunoaşte, pentru fiecare din cei N de funcţionari, numărul de documente pe care trebuie să le înregistreze la secretariat, determinaţi numărul de ordine al funcţionarilor care nu au reuşit semnarea tuturor documentelor până la încheierea zilei de muncă.

Jocurile cu Mario sunt jocuri on-line pentru copii de toate vârstele. Acum, Mario-personajul din joc, are nevoie de ajutorul vostru pentru a ajunge din turnul castelului unde se află, la sol, unde îl așteaptă cu nerăbdare prințesa Peach.

Coborârea din turn se face cu ajutorul unor platforme orizontale, de diferite lungimi, fiecare dintre ele aflându-se la o anumită înălțime față de sol. Deplasarea din turn spre sol se va face astfel:

• Mario își dă drumul în cădere liberă din turn și cade sub efectul greutății sale;
• dacă în cădere, el ajunge pe o platformă, se va deplasa pe suprafața acesteia spre unul din capetele din stânga sau din dreapta ale acesteia, urmând ca de acolo să procedeze la fel, lăsându-se din nou în cădere liberă spre sol.

Dacă Mario cade pe o distanță mai mare decât H, atunci își pierde toată energia și nu mai poate continua jocul.

Cunoscând poziția în care se află Mario și modul de așezare al platformelor (date în coordonate carteziene), determinați numărul drumurilor distincte pe care le poate parcurge Mario pentru a ajunge la prințesă.

Se consideră N intervale [Ai,Bi], 1 ≤ i ≤ N disjuncte.

Tuturor intervalelor li se aplică o operație de extindere la ambele capete cu o valoare naturală x, astfel încât după extindere cu valoarea x, intervalul [Ai,Bi] va deveni intervalul [Ai-x,Bi+x], 1 ≤ i ≤ N.

După extindere, spunem că intervalele [Ai,Bi] și [Aj,Bj] aparțin aceluiași grup de intervale dacă ele se intersectează sau dacă există un interval [Ak,Bk] astfel încât [Ai,Bi] se intersectează cu [Ak,Bk] iar intervalele [Ak,Bk], [Aj,Bj] aparțin aceluiași grup de intervale.

Să se determine valoarea minimă x cu care vor trebui să fie extinse toate intervalele astfel încât să se formeze un grup cu cel puțin P intervale.

Irinei îi plac numerele naturale. Ea știe că orice număr natural cu cifre nenule se poate reprezenta ca un șir de cifre din mulțimea A={1, 2,..., 9}. Irina își alege o cifră k şi îşi propune să afle câte numere naturale au suma cifrelor egală cu un număr dat S și în același timp se reprezintă folosind doar cifre din mulţimea {1, 2,..., k}.

Dându-se S şi k, se cere să se determine ultima cifră a numărului de numere naturale care se reprezintă doar cu cifre din mulțimea {1,...,k} și au suma cifrelor egală cu S.

Fie N un număr natural format din cifre nenule.

Să se determine suma tuturor numerelor distincte ce se pot forma cu toate cifrele numărului N.

Undeva, în deșertul Sahara, ilustrul biolog Sahraa Gaea a conceput și construit un sistem de irigații ingenios, sistem cu care își propune să irige o zonă deșertică dreptunghiulară bogată în nutrienți minerali. Zona deșertică este împărțită în N*M pătrate de latură unitate. În fiecare pătrat se află un dispozitiv de picurare ce asigură o anumită cantitate de apă în funcție de comanda primită de la centrul de control al sistemului.

Sistemul de irigare este astfel conceput încât să irige (ude), pe baza unor comenzi automatizate, parcele dreptunghiulare ale regiunii deșertice.

Orice parcelă are laturile paralele cu laturile zonei deșertice și este identificată prin coordonatele colțurilor stânga-sus (x1,y1), respectiv dreapta-jos (x2,y2). La fiecare comandă se specifică parcela care va fi udată și cantitatea de apă (exprimată în litri) cu care va fi irigat fiecare pătrat al acesteia.

Un pătrat al zonei deșertice devine fertil dacă acumulează cel puțin Q litri de apă.

Să se determine aria maximă a unei suprafețe conexe fertile. Prin aria unei suprafețe înțelegem numărul de pătrate ce compun suprafața. Orice două pătrate fertile care au o latură comună fac parte din aceeaşi suprafaţă conexă fertilă.

Dorești să mergi în vacanță și ai hotărât deja destinația. Formal, te afli în punctul (0,0) al unui sistem cartezian de axe și trebuie să ajungi în punctul de coordonate (X,X). Țara în care te afli are drumuri paralele cu axele de coordonate la fiecare abscisă și la fiecare ordonată număr natural. În fiecare moment, dacă eşti în punctul de coordonate (a,b), ai 2 variante de deplasare: în punctul (a,b+1) sau în punctul (a+1,b). La fiecare astfel de pas consumi un litru de carburant. Prin unele puncte de forma (a,a) nu poți trece, iar în celelalte puncte care au abscisa egală cu ordonata poți trece și în plus, acolo se află câte o stație de benzină unde poți să „faci plinul”. Prin toate punctele care nu au abscisa egală cu ordonata poți trece dar acolo nu se află stații de benzină. Rezervorul mașinii tale are o capacitate de K litri.

Determinați numărul de trasee distincte prin care poți ajunge la destinație. Două trasee sunt distincte dacă diferă prin cel puţin un punct.

Alex a accesat fonduri europene și a pus bazele unei afaceri profitabile, constând în creșterea viermilor de mătase. Viermii de mătase se hrănesc cu frunze de dud, iar Alex are mulți duzi în grădină. El a observat că dacă așează un vierme de mătase pe o frunză de dud, acesta va mânca toată frunza într-un timp care depinde doar de mărimea suprafeței frunzei.

Alex a decis să le aplice viermilor săi de mătase un test de inteligență. În acest scop, a pus în practică următorul experiment științific: pe o bară îngustă, liniară, a așezat de la stânga la dreapta n frunze de dud având suprafețele s[1], s[2], … s[n], la distanțe x[1], x[2],…, x[n] milimetri față de capătul din stânga. Alex a așezat un vierme de mătase pe frunza cu numărul de ordine k. Pentru oricare frunză i, viermele de mătase va mânca frunza în s[i] secunde, unde s[i] este mărimea suprafeței frunzei. După ce mănâncă în întregime o frunză, viermele pornește imediat cu viteza de 1 milimetru/ secundă spre următoarea frunză, care poate fi la stânga sau la dreapta sa. Altfel spus, el își poate schimba dacă e cazul, sensul de deplasare după ce mănâncă o frunză.

Alex ar dori să știe care este numărul maxim de frunze de dud pe ar putea să le mănânce în întregime cel mai inteligent vierme de mătase pe care îl are, având la dispoziție timpul de maxim t secunde.

Cunoscând n, k, t, distanțele x[1], x[2], .., x[n] și suprafețele s[1], s[2], …, s[n] cu semnificațiile descrise mai sus, să se determine numărul maxim de frunze pe care un vierme de mătase poate să le mănânce în întregime, într-un timp cel mult egal cu t, dacă este plasat inițial pe frunza k.

Se consideră un număr natural N și fie A mulţimea tuturor numerelor naturale cuprinse între 1 şi N2.

Numim partiție a mulțimii A un set de submulțimi A1, A2, ..., AN cu proprietățile:

• Reuniunea celor N submulțimi are ca rezultat mulțimea A;
• Intersecția oricăror două submulțimi distincte este mulțimea vidă;
• Numărul de elemente ale fiecărei submulțimi Ai, 1 ≤ i ≤ N, este N;
• Elementele fiecărei submulţimi sunt aşezate în ordine crescătoare;

Să se scrie un program care determină o partiție a mulțimii A cu proprietăţile:

• Sumele elementelor fiecărei submulţimi Ai, 1 ≤ i ≤ N, sunt egale;
• Pentru oricare submulțime Ai, 1 ≤ i ≤ N, diferența oricăror două elemente succesive ale sale este diferită de N+1 și de N-1;

Fie A = (a[1],a[2],…,a[N]) o permutare a mulțimii {1,2,…,N}.

Permutarea A o numim K-swap dacă prin aplicarea algoritmului de sortare bubble-sort sunt necesare exact K swapuri (interschimbări) pentru ca aceasta să devină permutarea identică.
Reamintim algoritmul bubble-sort:

do {   
    ok = 1;    
    for ( i = 1; i < N; i ++ )      
        if ( a[i] > a[i+1] ){        
             swap(a[i], a[i+1]);   
             ok = 0;   
        }
}while( ok == 0 );          

Pentru N și K dat să se determine numărul de permutări K-swap ale mulțimii {1,2,…,N}.