Lista de probleme 38

Definim mulțimea punctelor laticiale ca fiind mulțimea perechilor de puncte din plan (x,y) cu proprietatea că x și y sunt numere întregi. Fie R un număr natural pozitiv și C(O, R) cercul cu centrul în originea sistemului de axe, de rază R. Notăm cu P1, P2, P3, …, Pk punctele laticiale care se găsesc pe cercul C(O,R), în ordine inversă a acelor de ceasornic, începând cu punctul de coordonate (R,0). Să se scrie un program care determină numărul punctelor laticiale N cu proprietățile:

• se găsesc în interiorul sau pe cercul C(O, R);
• nu se găsesc în interiorul sau pe laturile poligonului P1 P2 P3… Pk.

Proprietatea trebuie împărțită fraților în mod egal. Zona are forma unui poligon convex cu vârfurile numerotate începând cu 1. Hotarul trebuie să fie un segment care are unul dintre capete în vârful 1 al poligonului. Trebuie să determinați celălalt capăt al segmentului care stabilește hotarul, așa încât ariile celor două suprafețe formate să fie egale. Punctul determinat trebuie să se afle pe poligon.

Fie a și b două numere naturale 0 < a ≤ b. Să se determine numărul de fracții \( \frac{x}{y} \) diferite, ce se pot forma utilizând numere naturale nenule, având proprietățile: \( \frac{a}{b} \leq \frac{x}{y} \leq \frac{b}{a} \) și 2 ≤ x + y ≤ a + b.

Primarul orașului tocmai a aprobat un proiect pentru construirea unui ștrand la periferia localității. Zona pe care se dorește a fi amplasat ștrandul se poate identifica cu planul 2D (infinit). Aceasta conține N arbori, aflați la coordonate întregi, cu lățimea de 1 metru. Nu există doi arbori la aceeași coordonată x sau y. Mai exact, xi ≠ xj și yi ≠ yj, pentru orice i ≠ j. Care este suma ariilor tuturor regiunilor valide posibile? Rezultatul se va afișa modulo 1.000.000.007.

Demult într-o vreme îndepărtată trăiau Foarte mulți porci. Pentru că erau atât de mulți trebuia să le fie construite anumite țarcuri reprezentate prin poligoane nu neapărat convexe. Din cauza unui antrenament militar cu focuri de armă mai mulți porci riscau să moară.

Se dau N poligoane nu nepărat convexe reprezentând țarcurile porcilor, toate complet în cadranul 1. Fiecare poligon are un cost atașat reprezentând numărul de porci din acel țarc. Se mai dă K și K perechi de coordonate X_i Y_i cu semnificația că la a i-a tragere traiectoria glonțului fi o semidreaptă care va porni din (0, 0) și va face un drum infinit de mare care va trece și prin (X_i, Y_i). Dacă la o tragere glonțul va lovi unul dintre țarcurile porcilor atunci din acel țarc vor muri toți porcii iar glonțul își va continua normal traiectoria. Pentru fiecare tragere trebuie să spuneți care este numărul de porci omorâți dacă am face doar acea tragere.

Aveți o foaie de hârtie dreptunghiulară cu dimensiunile N x M centimetri. Foaia este împărțită într-o rețea de pătrate de 1 x 1 centimetri fiecare. Puteți considera foaia ca un sistem de coordonate – colțul din stânga jos este originea (0,0) a sistemului de coordonate și fiecărui vârf al unui pătrat îi sunt atribuite coordonate întregi – între 0 și N pe axa x și între 0 și M pe axa y. Primiți o succesiune de cereri de tăiere a foii de hârtie (sau mai exact, a părții care a mai rămas din ea). Fiecare cerere este definită de o pereche de numere întregi nenegative (p, q), reprezentând un punct din rețea, care este situat în porțiunea netăiată a hârtiei. Scrieți un program care după fiecare cerere calculează aria figurii rămase.

Construcția unei noi clădiri a fost finalizată! Frank, celebrul arhitect a făcut o poză cu fațada. Nu este chiar mulțumit de poză deoarece a observat o înclinație a pozei relativ la orizontală. Asta se poate repara printr-o rotație, iar Frank se întreabă dacă procesul de îndreptare nu ar putea fi automatizat. Cu acest scop, imaginea este transformată într-o mulțime de segmente din plan, detectate automat cu algoritmi speciali, ca în imaginea din dreapta. Segmentele care se obțin sunt identificate prin cele două extremități, puncte având coordonate numere naturale, în sistemul xOy: (x1, y1), (x2, y2). Un segment este numit aliniat cu axele dacă este orizontal paralel cu axa Ox, deci y1 = y2) sau vertical (paralel cu axa Oy, deci x1 = x2). Prin rotația imaginii în ansamblu, o parte dintre segmente devin aliniate cu cele două axe. Scrieți un program care pentru o mulțime de segmente determină numărul maxim de segmente care se pot alinia prin rotirea cu un același unghi a tuturor segmentelor. Unghiul de rotație poate fi orice număr real.

După ce a scăpat de Spân și a devenit împărat, Harap-Alb a decis să își construiască un nou castel în împărăția sa ce poate fi reprezentată cu ajutorul sistemului de coordonate carteziene. El știe că Roș-Împărat a construit N+1 garduri dreptunghiulare, însă știe și că acesta este cam zgârcit și nu a folosit cele mai bune materiale. Harap-Alb a învățat din greșeli, iar acum încearcă să se ferească de pericole cât de mult poate. De aceea, el vrea să își amplaseze castelul într-un punct din sistemul cartezian care să se afle în interiorul a cel puțin N dintre cele N+1 garduri. Fiind date numărul natural nenul N și coordonatele celor N+1 garduri (perechi de colțuri stânga-sus și dreapta-jos), să se determine (în cazul în care există) punctul cel mai apropiat de originea sistemului de coordonate unde Harap-Alb își poate amplasa castelul astfel încât acesta să se afle în interiorul a cel puțin N garduri.