Lista de probleme

Matca cea tânără a decis să părăsească stupul şi să îşi facă propria familie de albine, lucru nu tocmai uşor. Ea, împreună cu albinele sale trebuie să meargă din floare în floare până la marginea plantaţiei. Plantaţia are formă dreptunghiulară cu N linii (numerotate de la 1 la N) şi M coloane (numerotate de la 1 la M). În fiecare punct este o floare. Florile sunt codificate cu 0 sau 1, cele codificate cu 0 putând fi ocupate doar de matcă, cele cu valoarea 1 doar de câte o albină. Roiul de albine pleacă de la marginea stângă a plantaţiei (coloana 1) şi trebuie să ajungă în marginea din dreapta (coloana M). La un pas, toate albinele (inclusiv matca) trebuie să se afle pe poziţii consecutive pe aceeaşi coloană. La pasul următor ele se pot deplasa doar pe coloana următoare, dar tot pe poziţii vecine (eventual îşi pot schimba ordinea). Efortul depus pentru deplasarea de pe o coloană pe alta este egal cu diferenţa dintre prima linie ocupată de un membru al roiului de albine (matca sau albină) la pasul anterior şi prima linie ocupată de un membru al roiului albine (matca sau albină) după mutare.

Determinaţi numărul maxim de membri ai roiului de albine (matcă + albine) care pot părăsi stupul pentru a traversa toată plantaţia în scopul formării unei noi familii. Determinaţi, de asemenea efortul total minim cu care matca poate traversa plantaţia cu numărul maxim de albine determinat.

Lot Juniori, Focsani, 2010

#725 Rege

Cunoscând dimensiunea m*n a tablei de şah, respectiv poziţia iniţială (l1,c1) şi poziţia finală (l2,c2) a traseului regelui, să se calculeze numărul drumurilor minime distincte în care regele poate parcurge drumul.

Lot Juniori, Focsani, 2010

Se dau două numere naturale N şi K. Determinaţi numărul de şiruri de lungime N formate doar din semnele + şi şi în care nu apar K semne pe poziţii consecutive.

Lot Juniori, Arad, 2011

#738 Left

Se dau L şi C două numere naturale şi o matrice cu L linii şi C coloane având elementele numere întregi. Trebuie alese elemente care să respecte următoarele proprietăţi:

  • de pe fiecare linie se alege o secvenţă de elemente aflate pe coloane cu indici consecutivi, începând cu elementul de pe prima coloană;
  • pentru orice două linii consecutive, lungimile secvenţelor alese trebuie să difere prin 1 sau să fie egale;
  • nu trebuie să existe 3 linii consecutive pentru care lungimile secvenţelor alese să fie egale, sau să fie în ordine strict crescătoare sau strict descrescătoare;

Se cere să se facă o alegere a secvenţelor de pe fiecare linie a matricei respectând restricţiile precizate, astfel încât însumând elementele acestora să se obţină suma maximă posibilă.

Lot Juniori, Alba Iulia, 2010

#744 Rec

După strălucita victorie de la Austerlitz împotriva coaliţiei ruso-austriece, împăratul Napoleon Bonaparte doreşte să recompenseze N generali care s-au remarcat în luptă. Pentru aceasta, el dispune de o sumă în franci de valoare S. La festivităţile dedicate victoriei, cei N generali vor fi aliniaţi în ordinea descrescătoare a meritelor lor pe câmpul de luptă şi împăratul îi va chema pentru înmânarea recompensei în această ordine.

Bonaparte doreşte să împartă întreaga sumă astfel încât generalul cel mai merituos să primească suma cea mai mare şi oricare alt general să primească o sumă cel mult egală cu a generalului care a fost premiat anterior. De asemenea, generalul cu cel mai mic premiu nu trebuie să primească mai puţin de F franci.

Determinaţi numărul de variante distincte de acordare a recompenselor de către împăratul Napoleon.

Lot Juniori, Bistrita, 2009

#1093 Text

Ion Petre, ca oricare adolescent, este pasionat atât de jocuri, cât şi de informatică. Ultimul astfel de joc este acela de a elimina dintr-un text cuvinte astfel încât fiecare cuvânt rămas să fie urmat de un cuvânt care începe cu aceeaşi literă cu care se termină cuvântul precedent. Face excepţie de la această regulă numai ultimul cuvânt.

Ion Petre, ca oricare adolescent, este pasionat atât de jocuri, cât şi de informatică. Ultimul astfel de joc este acela de a elimina dintr-un text cuvinte astfel încât fiecare cuvânt rămas să fie urmat de un cuvânt care începe cu aceeaşi literă cu care se termină cuvântul precedent. Face excepţie de la această regulă numai ultimul cuvânt.

Pentru un text dat, se cere să se afişeze numărul de cuvinte din text, apoi numărul minim de cuvinte ce pot fi eliminate astfel încât în textul rămas orice cuvânt (cu excepţia ultimului) să se termine cu aceeaşi literă cu care începe cuvântul următor, iar în final să se afişeze cuvintele din text rămase după eliminare, fiecare cuvânt fiind afişat pe câte o linie.

Pentru un text dat, se cere să se afişeze numărul de cuvinte din text, apoi numărul minim de cuvinte ce pot fi eliminate astfel încât în textul rămas orice cuvânt (cu excepţia ultimului) să se termine cu aceeaşi literă cu care începe cuvântul următor, iar în final să se afişeze cuvintele din text rămase după eliminare, fiecare cuvânt fiind afişat pe câte o linie.

OJI 2010, Clasa a X-a

#1712 Centura

Pe șoseaua care duce spre intrarea în oraș se află n autovehicule, dintre care m
sunt autovehicule de gabarit redus, pe care le vom numi în continuare autoturisme, iar restul sunt de gabarit mare și le vom numi camioane. Orașul are o șosea ocolitoare, numită popular centură. Camioanele trebuie să ocolească orașul
trecând în mod obligatoriu pe drumul de centură. Autoturismele pot continua drumul pe șoseaua care intră în oraș sau pot ocoli orașul intrând pe șoseaua de centură. Pe centură, camioanele circulă cu viteză redusă îngreunând traficul.

De aceea s-a impus restricția R: nu vor fi admise pe drumul de centură coloane formate din mai mult decât k camioane consecutive.

Cunoscând n, k și distribuția autovehiculelor pe șosea, să se determine două numere naturale V și T, unde V reprezintă numărul de variante de dirijare a traficului astfel încât să fie respectată restricția R, iar T reprezintă numărul minim de autoturisme care trebuie să fie deviate pe drumul de centură pentru a se respecta aceeași restricție R.

Lot Juniori Focsani, 2016

#1716 KDS

Se consideră un șir de numere naturale a[1], a[2], …, a[n] așezate circular. Acest lucru înseamnă că a[1] are ca vecini numerele a[n] și a[2], iar a[n] are ca vecini pe a[n-1] și a[1]. Se consideră de asemenea un număr natural K.

Să se determine suma maximă care se poate obține din exact K secvențe nevide, disjuncte și ne-vecine.

Lot Juniori Focsani, 2016

În țara lui Oblio toate lucrurile sunt sub formă de triunghi. Chiar și fotografiile sunt sub formă de triunghi. Fotografiile sunt formate din pixeli, care evident, la rîndul lor sunt triunghiuri ca în figura de mai jos.

Fotografiile sunt alb negru și fiecare pixel este identificat prin rândul pe care se găsește și prin poziție, adică al câtelea triunghi este în rândul respectiv numărând de la 1, d­e la stânga la dreapta. Fiecare pixel are culoarea alb sau negru. Fiecare pixel are dimensiunea 1, dar mai mulți pixeli vecini pot forma triunghiuri cu vârful în sus cu laturi de diferite lungimi. În figura din dreapta avem 3 triunghiuri de dimensiune 1 (rândul 2 poziția 1, rândul 3 poziția 1, rândul 3 poziția 3) și un triunghi de dimensiune 2 (cu colțurile: în rândul 2 poziția 1, rândul 3 poziția 1 și rândul 3 poziția 3).

Se știe că în fotografie sunt n rânduri și m pixeli albi, fiecare pixel fiind identificat prin rând și poziție.

Se cere să se determine, pentru p lungimi de laturi date, câte triunghiuri de culoare neagră (adică pline numai cu pixeli de culoare neagră) și cu vârful în sus se găsesc în fotografie pentru fiecare lungime.

Lot Juniori Focsani, 2016

#1732 Para

Terenul de golf al unei persoane bogate, s-o numim P. are formă dreptunghiulară și se compune din NxM parcele de forma pătrată, aflate la intersecția celor N rânduri cu cele M coloane.

P. este paranoic. El nu suportă ideea că cineva ar putea să pătrundă neinvitat pe terenul lui și să-i calce iarba. În consecință, în fiecare noapte el își plasează toți cei K câini de pază pe câte una dintre parcelele terenului de golf. Dar câinii sunt la rândul lor paranoici și niciunul dintre ei nu suportă să vadă decât cel mult un alt câine, dacă privește de-a lungul rândului și coloanei pe care este amplasat.

P. și-a construit un punct de observație pe parcela aflată pe linia N și coloana M, iar acolo este singurul loc unde nu va plasa un câine de pază.

Cunoscând dimensiunile terenului de golf, să de determine numărul de posibilități modulo 30011 în care P. își poate plasa câinii pe terenul său de golf.

Lot Juniori Magurele, 2016