Lista de probleme 3

Se consideră un șir de n numere naturale nenule. Două numere situate pe poziții consecutive în șir (a[i] și a[i+1], unde 1 ≤ i < n) pot fuziona dacă ele au cel puțin un divizor comun strict mai mare decât 1. În urma fuziunii ele vor fi înlocuite de cel mai mic număr care se divide cu toți divizorii lui a[i] și ai lui a[i+1]. Operația de fuziune se poate repeta, pe noul șir obținut, până când în șir nu va exista nicio pereche de numere situate pe poziții consecutive care să poată fuziona. Să notăm cu b șirul obținut după efectuarea tuturor operațiilor de fuzionare. Numim coeficient de fuziune al șirului b și îl notăm cu cf(b) un număr nenul care are proprietatea că orice termen al șirului b are cel puțin un divizor comun cu cf(b), strict mai mare decât 1.
Dat fiind un șir de numere naturale nenule, scrieți un program care să rezolve următoarele două cerințe:
1) să se determine lungimea minimă a șirului b obținut după efectuarea tuturor operațiilor de fuziune posibile;
2) să se determine cf(b).

Chris a scris pe un caiet foarte multe numere de două sau trei cifre, toate divizibile cu 7. Interesant este că aceste numere conțineau doar cifrele 1, 2 sau 4. Mădălina a făcut curățenie în casă și a aruncat caietul. Acum Chris este foarte supărat că și-a pierdut numerele. Ca să îl înveselească, Mădălina i-a spus lui Chris: “Numerele tale conțineau exact U cifre de 1, D cifre de 2 și P cifre de 4”. Bucuros, Chris a venit la concurenții de la ONIGim și i-a rugat să îi regăsească numerele. Experți în programare, concurenții s-au apucat de treabă, dar imediat și-au dat seama că este posibil să existe mai multe moduri de a reconstitui numerele. Din fericire Chris se mulțumește cu oricare reconstituire și a promis 100 de puncte pentru fiecare concurent care îi va oferi o soluție validă. Cunoscând cele trei numere U, D și P cu semnificația din enunț, să se determine numere de două sau trei cifre, divizibile cu 7 astfel încât în numerele determinate să se regăsească exact U cifre de 1, D cifre de 2 și P cifre de 4.

Un număr natural se numește extrapar dacă poate fi scris ca sumă de puteri distincte ale lui 2, puteri care au exponent par. Numărul 0 este considerat, de asemenea, extrapar. Considerând reprezentarea în baza 2 pentru un număr natural, se numerotează pozițiile cifrelor din reprezentare, de la dreapta către stânga, începând cu 0. Asupra reprezentării în baza 2 trebuie să se efectueze o singură operație. Operația constă din eliminarea a exact K cifre situate pe poziții consecutive. Fiind date reprezentările în baza 2 pentru N numere naturale, să se determine pentru fiecare dintre ele dacă se poate obține un număr extrapar în condițiile de mai sus.