Lista de probleme 3

#2127 ninjago

După ce eroii ninja l-au învins pe Nadakhan, de ziua celor dispăruți Zane trebuia să păzească cele n păpuși din muzeu. Între aceste păpuși există m coridoare pe care se poate circula în ambele sensuri. Se garantează faptul că pe cele m coridoare Zane poate ajunge la fiecare dintre cele n păpuși. Skulkiu, având la dispoziție 5 tipuri de obstacole A, B, C, D, E, încearcă să-l oprească pe Zane punând pe fiecare coridor câte 4 obstacole. Zane poate distruge obstacolele de tip A, B, C și D, dar nu poate să distrugă obstacolele de tipul E. Pentru a distruge un obstacol de tipul A arma lui Zane are nevoie de 1 unitate de energie, pentru a distruge un obstacol de tipul B de 2 unități de energie, pentru a distruge un obstacol de tipul C de 3 unități de energie, iar pentru a distruge un obstacol de tipul D de 4 unități de energie. Datorită dispozitivului cu care Skulkiu amplasează obstacolele pe coridor, cele patru obstacole de pe acelaşi coridor au o adâncime din ce în ce mai mare, ceea ce implică faptul că pentru a distruge al doilea obstacol amplasat pe coridor este nevoie de 5 ori mai multă energie decât cea obișnuită, pentru a distruge cel de-al treilea obstacol amplasat pe coridor este nevoie de 25 ori mai multă energie decât cea obișnuită, iar pentru a distruge al patrulea obstacol amplasat pe acelaşi coridor este nevoie de 125 de ori mai multă energie decât cea obișnuită. Indiferent de sensul de parcurgere al coridorului de către Zane pentru a înlătura obstacolele, energia consumată este aceeaşi, aceasta depinzând doar de ordinea în care au fost amplasate obstacolele de către Skulkiu. Zane nu va înlătura obstacolele de pe toate coridoarele ci doar strictul necesar pentru a avea acces la fiecare păpușă. Zane dorește să-i lase pe ceilalți ninja să se antreneze așa că face în așa fel încât ajutorul pentru distrugerea obstacolelor de tip E să fie minim și apoi ca el să utilizeze un număr minim de unități de energie. Pentru coridoarele pe care se află obstacole de tip E Zane consumă energie doar pentru obstacolele de tip A, B, C şi D. Inițial Zane se află lângă păpușa 1.

Cerințe:

  1. Precizați la câte dintre cele n păpuși poate ajunge Zane înainte de a cere ajutorul celorlalți ninja.
  2. Precizați pentru eliberarea câtor coridoare trebuie să ceară ajutor extern pentru a reuși să ajungă la toate cele n păpuși și câte obstacole de tip E sunt în total pe aceste coridoare.
  3. Precizați care este numărul minim de unități de energie utilizate.

OJI 2017, Clasele XI-XII

Spunem că trei numere a b c sunt în progresie armonică dacă b este media armonică a numerelor a și a, adică
\( b = \frac{2}{\frac{1}{a} + \frac{1}{c}} = \frac{2 \cdot a \cdot c} {a + c} \)

Cunoscând un număr natural b să se determine toate perechile de numere naturale (a,c) pentru care a b c sunt în progresie armonică.

OJI 2017, Clasele XI-XII

Definim o permutare dublă de ordin n ca fiind un șir format din primele 2n numere naturale nenule: (a[1], a[2], ... , a[n], a[n+1], a[n+2], ... , a[2n]). Această permutare dublă este de trei ori în creștere, dacă sunt adevărate următoarele trei proprietăți:

  1. secvența formată din primele n elemente este crescătoare: a[1]<a[2]< ... < a[n]
  2. secvența formată din ultimele n elemente este crescătoare: a[n+1]<a[n+2]< ... < a[2n]
  3. perechile ordonate formate din elementele aflate pe poziții identice ale celor două secvențe sunt de asemenea în ordine crescătoare: a[1]<a[n+1], a[2]<a[n+2], ... , a[n]<a[2n].

Pentru simplificare în continuare permutarea dublă de trei ori în creștere se va numi permutare. Vom considera toate permutările de ordin n ordonate lexicografic, numerotate începând cu 1.

Există două tipuri de întrebări:

  1. Ce permutare se află pe o poziție dată?
  2. Pe ce poziție se află o permutare dată?

Să se răspundă corect la un set de întrebări.