Lista de probleme 30

Șirul lui Fibonacci este definit astfel:

$$ F_n = \begin{cases}
1& \text{dacă } n = 1 \text{ sau } n = 2 ,\\
F_{n-1} + F_{n-2} & \text{dacă } n > 2.
\end{cases} $$

Se dă un număr natural n. Determinați al n-lea termen al șirului, modulo 666013.

Determinați cea de-a \(N\)-a permutara a numerelor \(1,2,… P\) atunci cand aceste permutari sunt generate in ordine lexicografică.

Aflați câte subsecvențe de cifre din s formează numere divizibile cu n.

Dorel şi consătenii lui, fiind în perioada de alertă, s-au aşezat la rând la magazin. Fiecare avea la el o sumă diferită de bani şi, mai mult, sumele de bani ale secvenţelor de oameni din rând erau diferite oricare două.
Aflaţi ce sumă de bani avea fiecare sătean la el.

Se dau numerele naturale n, x, y, z, t. Se generează vectorul a astfel: a[i] = (a[i-1] * x + y) % z, pentru 1 ≤ i ≤ n si a[i] = 0 pentru i = 0. Determinați ∑(a[i] XOR a[j]), unde 1 ≤ i < j ≤ n, modulo t.

Al Bundy a plecat la serviciu, lăsându-i soţiei lui, Peg, cardul de cumpărături. PIN-ul este valoarea expresiei \(E\left ( n \right )=\sum_{k = 1}^{n}\left ( 2\cdot \left ( a^{2}+b^{2} \right )^{\frac{k}{2}}\cdot cos\left ( k\cdot \alpha \right ) \right ),\ \)unde \(\ \alpha =arctg\left ( \frac{a}{b} \right ) \), iar n, a, b sunt numere naturale nenule.

Se consideră o matrice cu n linii şi n coloane şi elemente egale cu 0 sau 1. Să se calculeze determinantul matricei.

Se dau n numere întregi, \( a_{1}, a_{2}, …, a_{n} \).

Calculați valoarea determinantului \( \begin{vmatrix}
1 & 1 & 1 & … & 1 & 1\\
a_{1} & a_{2} & a_{3} & … & a_{n-1} & a_{n}\\
a_{1}^{2} & a_{2}^{2} & a_{3}^{2} & … & a_{n-1}^{2} & a_{n}^{2}\\
… & … & … & … & … & …\\
a_{1}^{n-2} & a_{2}^{n-2} & a_{3}^{n-2} & … & a_{n-1}^{n-2} & a_{n}^{n-2}\\
a_{1}^{n-1} & a_{2}^{n-1} & a_{3}^{n-1} & … & a_{n-1}^{n-1} & a_{n}^{n-1}
\end{vmatrix} \).

Într-o şcoală sunt F fete şi B băieţi. Pentru fiecare valoare a lui K de la 1 la F+B, aflaţi în câte moduri se poate alcătui o echipă formată din K elevi, care să conţină un număr impar de fete.

Numim suma cifrelor până la o cifră a unui număr X, o valoare mai mică decât 10 obținută prin adunarea cifrelor numărului X și repetarea procedurii dacă suma obținută este mai mare decât 10, de această dată având drept X suma obținută la pasul precedent.

Se dau două numere a și b. Calculați suma cifrelor pana la o cifra a lui \({a}^{b}\).